2012-03-18
Wynik pomiaru  wcześniej (1995r)
Wynik pomiaru x odwzorowujący wartość prawdziwą xrz jest
sumą wartości potencjalnie obserwowalnej xo i poprawki "xp.
Jest ona określona z błędem granicznym "xmax.
xrz = xo + "xp
Podstawy metrologii
x = xrz Ä… ur
x = xrz Ä… "xmax
Wykład 3
Wynik pomiaru - dzisiaj
W trakcie pomiaru uzyskujemy wartości ró\
niÄ…ce siÄ™
Wynik pomiaru x, odwzorowujący wartość prawdziwą xrz jest
od przewidywań teorii. Gdy doświadczenie staje się
sumą wartości potencjalnie obserwowalnej xo i poprawki "xp.
doskonalsze, niepewności pomiarowe maleją. W
Jest ona określona z niepewnością ur dla poziomu
ogólności rozbie\
ność między teorią i
prawdopodobieństwa p.
eksperymentem zale\
y od:
xrz = xo + "xp
niedoskonałości człowieka (osoby wykonującej
pomiar)
x = xrz Ä… ur
niedoskonałości przyrządów pomiarowych
x = xrz Ä… k Å"u
niedoskonałości obiektów mierzonych
u = uA + uB
k = 1,96 (H"2) dla p=0,95
BÅ‚Ä…d metody i poprawka
Błędy pomiaru
W przypadku pojedynczych pomiarów stosujemy
określenia:
Błąd bezwzględny:
"x = x  xrz [wymiar x]
Błąd względny:
"x
[bezwymiarowe]
´x =
xrz
błąd metody "mU
"x
[%]
´x = 100
xrz
gdzie
x wartość zmierzona,
xrz wartość rzeczywista
1
2012-03-18
"x = x  xrz
"x
´x =
x wartość zmierzona,
xrz
xrz wartość rzeczywista
"x = x  xp H" x  xrz
POPRAWKA
Podział błędów
Wyniki pomiarów podlegają pewnym prawidłowościom,
tzw. rozkładom typowym dla zmiennej losowej. Z tego
względu błędy dzielimy na:
Błędy grube (pomyłki)  nale\
y je eliminować
"xp = -"x = xrz - x
Błędy systematyczne  nale\
y wprowadzać poprawki
Błędy przypadkowe  podlegają rozkładowi Gaussa,
wynikają z wielu losowych przyczynków, nie dają się
wyeliminować
2
2012-03-18
RODZAJE BA

DÓW
BÅ‚Ä…d instrumentalny
Pomiar bezpośredni
Błąd instrumentalny można traktować jako błąd systematyczny, tzn.
Pomiar bezpośredni jest to pomiar, w którym estymatę mezurandu
przyjmujący wartość niezmienną przy powtarzaniu pomiaru tej samej
(wartości prawdziwej) wyznacza się wprost ze wskazania przyrządu
wartości mezurandu w identycznych warunkach. Błąd instrumentalny
pomiarowego.
"x jest nieznany co do wartości, wiadomo o nim, że spełnia warunek:
Błąd pomiaru bezpośredniego ma w przypadku ogólnym trzy składowe:
" błąd instrumentalny wnoszony przez zastosowany przyrząd
pomiarowy,
" błąd odczytu popełniany przez człowieka przy odczytywaniu "x d" "xmax
wskazania przyrzÄ…du
Określa wytwórca
" błąd metody powodowany nieidealnym sprzężeniem informacyjnym
między przyrządem a obiektem mierzonym.
Błąd prawidłowego odczytu wskazania przyrządu cyfrowego jest równy
zeru, błąd prawidłowego odczytu wskazania przyrządu analogowego
jest zwykle wliczany do błędu granicznego określonego w danych
przyrządu, błąd metody zależy od szczegółowych warunków danego
pomiaru.
3
2012-03-18
Pomiar ze stałym błędem bezwzględnym Pomiar ze stałym błędem względnym
Dopuszczalny obszar błędu
Dopuszczalny obszar błędu
bezwzględnego i górna
bezwzględnego i górna
połówka dopuszczalnego
połówka dopuszczalnego
obszaru błędu względnego
obszaru błędu względnego
miernika cyfrowego o
miernika analogowego klasy k
granicznym błędzie:
´xR w % odczytu +
´
´
´
´xFS w % wartoÅ›ci zakresu;
´
´
´
PrzykÅ‚ad charakterystyki bÅ‚Ä™du ´ (górna połówka) woltomierza o podzakresach 0,1-1-10-
´Umax
´
´
100-1000V, odczycie czterocyfrowym (9999), bÅ‚Ä™dzie od wartoÅ›ci wskazanej ´Um = 0,05% i
´
´
´
bÅ‚Ä™dzie od koÅ„ca zakresu ´UFS = 0,01%
´
´
´
Niepewność pomiaru
, mezurand
4
2012-03-18
Błąd a niepewność pomiaru
BÅ‚Ä…d pomiaru jest pojedynczÄ… realizacjÄ… zmiennej
losowej (pomiaru) i ma charakter losowy. W praktyce
nie znamy wartości rzeczywistych wielkości
mierzonych i szacujemy niepewność pomiaru
(przedział, w którym z pewnym padopodobieństwem
będzie wynik) wynikający ze statystycznych praw
rozrzutu pomiarów.
Niepewność jest parametrem związanym z pomiarem.
Istotny jest równie\
problem niepewności
przypisywanej wielkości zło\
onej (wyliczanej ze wzoru
fizycznego) y=f(x1,x2,...xn).
Niepewność maksymalna
To podejście zakłada, \
e mo\
na określić przedział wielkości
mierzonej x, w którym na pewno znajdzie się wielkość
rzeczywista. W zapisie
x Ä…"x
gdzie:
"x jest niepewnością maksymalną
Nie trzeba posługiwać się rachunkiem prawdopodobieństwa.
Aby się o tym przekonać należy zakres pomiarowy podzielić na przedziały
Probabilistyczna teoria błędów Gaussa
o równej szerokości "X i obliczyć ile pomiarów z serii zmieściło się w
każdym z nich. Liczbą przedziałów k:
Błędy powinny kompensować się !!!
Przy skończonej ilości pomiarów, może się zdarzyć, że
d" k d"
2
wyniki nie rozłożą się równomiernie wokół wartości
Obwiednia dzwonowa poprowadzona po środkach schodków jest
rzeczywistej.
pewnym wyidealizowaniem - pokazuje jak rozkład normalny wyglądałby
gdyby był funkcją ciągłą (dla N = ")
Tym samym wartość średnia X jest jedynie blisko
położona wielkości rzeczywistej XR , ale nie równa jej.
Zbliżenie to jest tym lepsze im dłuższa jest seria
pomiarowa.
Równość X = XR moglibyśmy napisać tylko dla serii
nieskończenie długiej pomiarów, ale przecież wykonanie
takiej serii jest praktycznie niemożliwe.
5
2012-03-18
Probabilistyczna teoria błędów Gaussa
Rozkład normalny Gaussa
Z jednego pomiaru nie możemy wnioskować o jego Gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia wielkości x lub jej
błędu "x podlega rozkładowi Gaussa.
dokładności. Do tego konieczna jest ich seria.
Otrzymujemy ją przez kilkukrotne, niezależne powtórzenie
ëÅ‚
1 (x - x0)2 öÅ‚
÷Å‚
Åš(x) = expìÅ‚-
rozpatrywanego pomiaru.
2
ìÅ‚ ÷Å‚
à 2Ä„ 2Ã
íÅ‚ Å‚Å‚
Wyniki w serii będą różnić się losowo. Oznaczmy je
x0 jest wartością najbardziej prawdopodobną i mo\
e być nią
X1,X2,X3, ....... XN gdzie N jest ilością powtórzeń pomiaru
wartość średnia
w serii
à jest odchyleniem standardowym
1
x0 = xi
"
i=1
W przedziale x0-Ã< x< x0+à mieÅ›ci siÄ™ okoÅ‚o 68% wszystkich
pomiarów
Rozkład normalny Gaussa
Postać znormalizowana rozkładu Gaussa
Probabilistyczna teoria błędów Gaussa
Wyniki pomiarów w serii rozkładają się wokół wartości
średniej w tzw. krzywą Gaussa  mówi się o rozkładzie
Gaussa (normalnym)
Postać unormowana
x - X
x - X
X =
X =
Ã
Ã
Jest to podstawowe twierdzenie teorii błędów tzw.
pierwszy postulat Gaussa.
6
2012-03-18
Klasyfikacja czynników błędu pomiaru uwzględniająca ich wpływ na
BÅ‚Ä…d przypadkowy i systematyczny
wyznaczanie wyniku pomiaru i towarzyszącej mu niepewności
Obliczanie niepewności wg Przewodnika
Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement,
BIPM / IEC / IFCC / ISO / IUPAC / IUPAP / OIML, 1995.
Wydanie polskie:
Wyrażanie niepewności pomiaru. Przewodnik, Główny
UrzÄ…d Miar, 1999
Wykład 4
Na najprostszÄ… (ale nie najlepiej uzasadnionÄ… teoretycznie)
metodę wg Przewodnika składają się działania, które
rozpoczyna określenie dwóch rodzajów tzw. niepewności
standardowych:
o niepewności standardowej obliczanej metodą typu A,
o niepewności standardowej obliczanej metodą typu B.
Typy oceny niepewności
Typ A
Metody wykorzystujące statystyczną analizę serii pomiarów:
" wymaga odpowiednio du\
ej liczby powtórzeń pomiaru
" ma zastosowanie do błędów przypadkowych
Szacowanie błędu granicznego i
Typ B niepewności pomiaru na podstawie
Opiera siÄ™ na naukowym osÄ…dzie eksperymentatora
serii pomiarów
wykorzystujÄ…cym wszystkie informacje o pomiarze i z
ródłach
jego niepewności
" stosuje siÄ™ niestatystyczne metody analizy
" dla błędu systematycznego lub dla jednego wyniku pomiaru
7
2012-03-18
Niepewność standardowa u typu A
Obliczanie niepewności wg Przewodnika
Jest miarą dokładności pomiaru uznawaną za podstawową.
ur = k Å"u
Definicja mówi:
Niepewność standardowa u jest oszacowaniem odchylenia
Przewodnik zaleca stosowanie wartości
standardowego.
współczynnika rozszerzenia k, w następujący
1.Rezultat pomiaru to realizacja zmiennej losowej, której sposób uzale\
nionego od poziomu ufności ą:
rozrzut charakteryzuje parametr zwany odchyleniem
standardowym
2.Dokładnej wartości odchylenia standardowego nie znamy.
Niepewność standardowa jest jego oszacowaniem.
Obliczanie niepewności wielkości złożonej
Niepewność u posiada wymiar, taki sam jak wielkość
(dla wielkości nieskorelowanych)
mierzona.
Niepewność standardową wielkości zło\
onej y=f(x1,x2,...xn)
Niepewność względna ur(x) to stosunek niepewności
szacuje się z tzw. prawa przenoszenia niepewności, jako sumę
(bezwzględnej) do wielkości mierzonej:
geometryczną różniczek cząstkowych.
u(x)
ur (x) =
x
Niepewność względna jest wielkością bezwymiarową i mo\
e
być wyra\
ona w %
Błędy przypadkowe w pomiarach pośrednich
Jak obliczyć niepewność wyznaczonej wartości średniej?
1.
2.
wynosi 1
8
2012-03-18
3.
Przyjęto pewne uproszczenie!
Brak związku (korelacji) pomiędzy wielkościami wejściowymi
Przykład - niepewność pomiaru
Błąd od zakłóceń ma zwykle charakter przypadkowy (losowy) i jego wartość nie
jest znana. Zakłócenia powodują losowe zmiany wartości wskazywanej. Jeśli n-
krotnie odczyta się wskazania woltomierza w pewnych odstępach czasu, to
otrzyma się wartości: Uw,1, Uw,2, ..., Uw,i, ..., Uw,n.
Niepewność pomiaru Niepewność pomiaru
Przykład
Woltomierz odczytano 5-krotnie (dokonano n = 5 obserwacji) i otrzymano
wartości Uw,i
Czy to jest błąd pomiaru ?
9
2012-03-18
Odchylenie standardowe à w teorii bÅ‚Ä™dów nazywa siÄ™
Najczęściej wyznaczany jest jednak jako optymalny średnie
odchyleniem średnim kwadratowym i oblicza się go z
odchylenie kwadratowe ÃX :
wyrażenia:
Odchylenie std. średniej
Odchylenie std. pojedynczego pomiaru
Odchylenie średnie kwadratowy jest najważniejszym i
najczęściej stosowanym wskaz
nikiem do oceny dokładności
pomiaru.
To jeszcze nie jest błąd pomiaru !
Mała ilość pomiarów
Odchylenie standardowe a błąd przypadkowy
Gdy liczba pomiarów jest skończona, do szacowania odchylenia
W zależności od przyjętego
standardowego zamiast rozkładu Gaussa stosuje się rozkład
poziomu prawdopodobieństwa
uwzględniający skończoną (często niewielką) liczbę pomiarów w
wyznaczany jest przedział w
postaci rozkładu t-Sudenta.
którym może znalez
ć się błąd
Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu t-Studenta ma kształt
przypadkowy. podobny do gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Gaussa.
Dla p=0,95
k = 1,96 (H"2) "x " X - kà ; X + kÃ
x x
Dla p=0,99
u = k Å"Ã = k Å"u
k=3
x
A
Czy to jest dobry estymator ?
Przykład  przyjęcie a priori rozkładu Gaussa
Wyznaczanie przedziału niepewności
uA = t Ãx = t u
Odchylenie pojedynczego pomiaru w serii
t = f ( , p) = f (k, p)
Ã
= 0,0136
X
Liczba stopni swobody Odchylenie średnie serii pomiarów
k= N-1 Ã = u = 0,0039
X
k p p p p
Dla p=0.95
uA = 2*0,0039 = 0,0078
uA = 0,008
Jedno miejsce znaczÄ…ce !
Zależnie od przyjętego poziomu prawdopodobieństwa
ocenia się granice przypadkowego błędu pomiaru.
10
2012-03-18
Przykład  przyjęcie rozkładu t-Studenta do obliczeń
Odchylenie pojedynczego pomiaru w serii
Ã
= 0,0136
X
Odchylenie średnie serii pomiarów
à = u = 0,0039
Szacowanie błędu granicznego i
X
Dla p=0.95
niepewności pomiaru
Dla N=12 czyli k=11
t= 2.21 bezpośredniego - model
uA = 2,21*0,0039 = 0,0086 zdeterminowany
uA = 0,009
Jedno miejsce znaczÄ…ce !
Wniosek: Dla małej liczby pomiarów przyjmujemy
współczynnik rozszerzenia z tablic t-Studenta
Przewodnik dopuszcza  randomizację błędu systematycznego i
Znajomość błędu granicznego może w takiej sytuacji stanowić
wprowadza do obliczeń założenie o hipotetycznym rozrzucie,
dobrÄ… podstawÄ™ dla skorzystania z metody typu B .
wynikającym z faktu, że ten sam błąd graniczny można
przyporządkować dużej populacji przyrządów wytwarzanych przez
Typowy przykład pomiaru, w którym występuje pewien mezurand
tego samego, bÄ…dz
różnych producentów.
xi, o którego wartości wiadomo na pewno, że zawiera się w
Można w takiej sytuacji, według Przewodnika, niepewność
przedziale (a-,a+), i że z jednakowym prawdopodobieństwem
pomiaru obliczyć tzw. metodą typu B, zakładającą, że
może przyjmować każdą wartość z tego przedziału.
hipotetyczny rozkład prawdopodobieństwa jest dobrze znany
wykonujÄ…cemu pomiar na podstawie:
Taka sytuacja ma miejsce przy pomiarach za pomocą większości
" wyników wcześniejszych pomiarów,
przyrządów pomiarowych stosowanych w pomiarach
" doświadczenia dotyczącego zachowania używanego przyrządu,
technicznych. Dotyczy to przede wszystkim przyrządów z
" danych z wzorcowania używanego przyrządu,
odczytem cyfrowym!
" danych producenta,
" danych uzyskanych z literatury,
" modelu badanych zjawisk.
Wartość średnia
Znana ze statystyki funkcja gęstości prawdopodobieństwa
rozkładu prostokątnego ma tu postać:
Można potraktować xi jako zmienną losową, której prawdopodobień-
stwo, że przybiera wartości spoza tego przedziału jest równe zeru, zaś
Odchylenie standardowe
prawdopodobieństwo, że należy do tego przedziału jest równe 1.
Mamy tu zatem do czynienia z rozkładem prostokątnym, w którym
wartość oczekiwana xi jest środkiem przedziału o granicach xi ą a, zaś
pole powierzchni tego rozkładu równa się 1 (prawdopodobieństwo p
= 1, czyli 100%)
11
2012-03-18
Przeliczenie błędu instrumentalnego granicznego To nie wszystko !
na niepewność standardową
Trzeba uwzględnić współczynnik rozszerzenia.
Dla rozkładu prostokątnego,
dla p=0,95
współczynnik k=1.65
Zatem:
"xmax
u(x)B = 1,65Å" H" 0,95Å""xmax
3
Jak już oszacowaliśmy niepewności typu A i B ?
Obliczanie niepewności wg Przewodnika
(przykład dla pomiaru jednoparametrycznego)
Przykład
Niepewność std. typu A
Niepewność std. typu B
Z pomiaru mierzonej wielkości grubościomierzem ultradz
więkowym uzyskano
wynik pomiaru, odczytany z wyświetlacza cyfrowego:
umax
(x - xsr )2
uB =
g = 12,3 mm
uA =
3
( -1)
Podana przez producenta informacja w DTR, wskazuje \
e dodatkowe błędy
(np. dla pomiaru z odczytem cyfrowym)
pomiaru są mniejsze od 0,05% grubości mierzonej.
Niepewność std. łączna
Błąd dyskretyzacji odczytu wynosi 0,1 mm. Podlega rozkładowi prostokątnemu.
Obliczony błąd dodatkowy wynosi 0,006 mm, co pozwala ją pominąć (ponad 10
razy mniejsza od błędu dyskretyzacji). u = uA + uB
0,1
Niepewność rozszerzona
uB = 1,65 = 0,09526 H" 0,1
3
ur = k Å"u
Czy zawsze?
Po zaokrągleniu niepewność rozszerzona typu B odpowiada wartości błędu
k = 1,96 (H"2) dla p=0,95
dyskretyzacji.
Komentarz
Gdy niepewności składowe podlegają rozkładowi normalnemu, albo gdy
występuje większa liczba składowych rozkład sumy rozkładów jest rozkładem
normalnym.
Ale suma dwóch rozkładów prostokątnych daje rozkład trójkątny.
ZaokrÄ…glenie
Natomiast suma rozkładu normalnego i prostokątnego daje w wyniku rozkład
normalny.
wyników pomiarów
W zwiÄ…zku z tym, \
e niepewność typu A, szacuje się metodą statystyczną i
opisuje parametrami rozkładu normalnego (przy małej licznie próbek t-Studenta),
mo\
na przyjmować \
e suma rozkładów te\
będzie podlegać rozkładowi
normalnemu.
p1(x) p2(x) p(x)
12
2012-03-18
ZaokrÄ…glanie ZaokrÄ…glanie
Wartość liczbową niepewności pomiaru należy podawać najwyżej z Przy wyznaczaniu wartości liczbowej niepewności pomiarowej oraz jej
dwiema cyframi znaczÄ…cymi. cyfr znaczÄ…cych
Wartość liczbową wyniku pomiaru należy w końcowej postaci zaokrąglić, posługujemy sie następującymi regułami zaokrąglania:
tak aby ostatnia znacząca cyfra wyniku pomiaru była na takim samym
1. Wartość niepewności zawsze zaokrąglamy w górę.
miejscu, jak ostatnia znacząca cyfra niepewności rozszerzonej związanej
2. Wstępnie niepewność zaokrąglamy do jednej cyfry (zwanej
z wartością wyniku pomiaru.
znaczÄ…ca).
Zaokrąglać należy zgodnie ze znanymi metodami zaokrąglania liczb
(bliższe dane dotyczące zaokrąglania znajdują się w ISO 31-0:1992, 3. Jeśli wstępne zaokrąglenie wartości niepewności powoduje wzrost
załącznik B). jej wartości o więcej niż 10%, to niepewność zaokrąglamy z
Jeżeli na skutek zaokrąglenia wartość liczbowa niepewności pomiaru dokładnością do dwóch cyfr znaczących.
zwiększy się nie więcej niż o 10 %, należy podać wartość zaokrągloną w
górę.
DLACZEGO MUSIMY ZAOKR
GLAĆ BA

DY I WYNIKI
Zaokrąglanie - Przykład
KOC
COWE:
u = 0,1234236
PRZYKA
AD:
PRZYKA
AD:
Zaokrąglenie w górę (reguła 1) do jednej cyfry znaczącej daje u =0,2 m.
Względna zmiana wartości (0,2 - 0,1234236)/0,1234236 = 62%.
Pewien eksperymentator wykonał kilkaset
Pewien eksperymentator wykonał kilkaset
Zatem należy niepewność należy zaokrąglić do dwóch cyfr znaczących,
pomiarów grubości włosa i uzyskał wynik:
pomiarów grubości włosa i uzyskał wynik:
u= 0,13.
Tym razem względna zmiana wartości jest równa
100,543678723411 Ä… 5,8002341789443 µm
Ä… µ
Ä… µ
Ä… µ
(0,13- 0,1234236)/0,1234236 = 5%, 100,543678723411 Ä… 5,8002341789443 µm
Ä… µ
Ä… µ
Ä… µ
co oznacza, ze poprawna postacią niepewności jest u = 0,13 z dwiema
cyframi znaczÄ…cymi.
rozmiar jÄ…dra
rozmiar jÄ…dra
rozmiar kwarka
rozmiar kwarka
rozmiar atomu
rozmiar atomu
ZAPAMI
TAJ POJ
CIE: CYFRA Z ACZ
CA!
PRZEPIS A ZAOKR
GLA IE :
LiczbÄ™ cyfr znaczÄ…cych danego wyniku znajdujemy liczÄ…c z
1. Zaokrąglanie zaczynasz od niepewności
lewa na prawo cyfry: od pierwszej cyfry niezerowej.
" ZAWSZE W GÓR
DO JED EGO LUB
DWÓCH MIEJSC Z ACZ
CYCH
0,12501 - 5 cyfr znaczÄ…cych
0,012501 - 5 cyfr znaczÄ…cych
Do jednego miejsca znaczÄ…cego, gdy
0,0125010 - 6 cyfr znaczÄ…cych
na skutek zaokrąglenia błąd ten nie
zwiększy się nie więcej niż o 10%
13
2012-03-18
ZaokrÄ…glanie wyniku pomiaru
" Jeśli jest to 6,7,8 lub 9 to zaokrąglamy w
1. Wynik pomiaru musi być przedstawiony o kilka
górę tzn. dla wyniku 123,37602 zostanie:
miejsc dziesiętnych dalej niż niepewność np.
123,38 Ä…0,13
Ä…
Ä…
Ä…
123,37602
0,13
" Również zaokrąglamy w górę jeśli jest to 5, a
2. Patrzymy na cyfrÄ™:
po niej następują jakiekolwiek cyfry różne od
3. W zależności od wartości tej cyfry postępujemy
zera
według następujących zasad:
W sytuacji np. wyniku 123,3750000001
" Jeśli jest to 0,1,2,3 lub 4 to zaokrąglamy w dół
lub 123,3753210023
tzn. gdyby wynik był 123,37489 to dostaniemy
zaokrÄ…glamy do 123,38 Ä… 0,13
Ä…
Ä…
Ä…
123,37 Ä…
Ä… 0,13
Ä…
Ä…
PRAWIDA
OWO: 36,35 Ä… 0,04 0C
Ä…
Ä…
Ä…
IE !!!
2,5 Ä… 0,4 kg
Ä…
Ä…
Ä…
R = 123, 35602 &! Ä… &!
&! Ä… 0,12501 &!
&! Ä… &!
&! Ä… &!
3,71Å" Ä… 0,02 Å"10-2 m
Å"10-2 Ä… Å"
Å" Ä… Å"
Å" Ä… Å"
TAK !!!!
NIEPRAWIDA
OWO: 36,35 Ä… 0,04
Ä…
Ä…
Ä…
R = 123,36 &! Ä… 0,13 &!
&! Ä… &!
&! Ä… &!
&! Ä… &!
2,51 Ä… 0,4 kg
Ä…
Ä…
Ä…
3,71Å" Ä… 0,023 Å"10-2 m
Å"10-2 Ä… Å"
Å" Ä… Å"
Å" Ä… Å"
Lepiej, ale czy dobrze ?
Parę słów o wykresach
14
2012-03-18
Prawie dobrze ! Prawie, prawie !
Jeszcze siÄ™ czepia ! No, nie !
OK !
Pomiar grubości pręta suwmiarką elektroniczną
Test Chi kwadrat  jako test normalności rozkładu
Wartość graniczna 7,8 dla p=095
Wartość obliczona 36,8
Może jeszcze siatka ?
Wniosek: nie spełnia hipotezy o normalności rozkładu
15
2012-03-18
Komentarz
x0  wartość prawdziwa
xi  wyniki pomiarów wartość średnia
dÅ›r = 15,414 mm Ã
x
uA = = 0,01911 mm
Ã
x = 0,147 mm
n
´ 0,01
uB = = 0,0057 mm
3 3
u = 2 uA2 + uB2 = 0,0399 mm
d = 15,41Ä…
Ä…0,04 mm
Ä…
Ä…
16