XLVIII KONFERENCJA NAUKOWA
KOMITETU INŻYNIERII L
DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole  Krynica 2002
Zbigniew KOWAL1
Andrzej SZYCHOWSKI2
O DOÅšWIADCZALNYM WYZNACZANIU NOÅšNOÅšCI
KRYTYCZNEJ PA
YT NA MODELACH OBARCZONYCH
IMPERFEKCJAMI GEOMETRYCZNYMI
1. Wprowadzenie
W pracy [1] zbadano numerycznie i pokazano przyczyny niezgodności wyników badań
doświadczalnych, nośności krytycznej prętów ściskanych klasyczną metodą Southwella,
z rezultatami teoretycznymi.
Metoda Southwella jest stosowana również w przypadku doświadczalnych badań
stateczności płyt np.[2, 3], przy czym, dokładność uzyskiwanych przez badaczy wyników
zależy silnie od postaci wstępnych niedokładności geometrycznych płyty.
Niedostatki metody Southwella w zastosowaniu do badań doświadczalnych płyt
polegają na tym, że postać losowych imperfekcji geometrycznych spotykanych w praktyce
pasm płytowych, jak wykazano w licznych badaniach eksperymentalnych, znacznie odbiega
od uporządkowanego kształtu utraty stateczności płyty.
Tereszkowski w pracy [4] skrytykował doświadczalne wyznaczanie nośności
krytycznej płyt na podstawie klasycznej metody Southwella, podając własną metodę
wyznaczania obciążenia krytycznego. Postęp wprowadzony przez Tereszkowskiego [4]
(wzory wyprowadzone na podstawie nieliniowej teorii płyt) częściowo kompensuje wpływ
losowych imperfekcji geometrycznych płyty (tzn. o postaci odmiennej od spodziewanej
postaci wyboczenia) na wynik eksperymentu.
W badaniach doświadczalnych lokalnej nośności krytycznej nieswobodnie skręcanych
prętów cienkościennych zbudowanych z pasm płytowych [5] zauważono, że postać
imperfekcji geometrycznych istotnie wpływa na dokrytyczną postać przemieszczeń
wyboczenia lokalnego pręta. Przy bardzo bliskich kolejnych wartościach własnych lokalnych
nośności krytycznych może to prowadzić do niewykrycia w eksperymencie najmniejszej
nośności krytycznej klasycznymi metodami, gdyż każdy model doświadczalny jest
obarczony indywidualnÄ… realizacjÄ… losowych imperfekcji geometrycznych. Analiza takich
sytuacji doświadczalnych doprowadziła do zaobserwowania istotności zjawiska tzw.
"porządkowania przemieszczeń" [5].
1
Prof.zw.dr hab.inż., Wydział Budownictwa Politechniki Świętokrzyskiej
2
Dr inż., Wydział Budownictwa Politechniki Świętokrzyskiej
102
W niniejszej pracy zajęto się identyfikacją przyczyn i eliminacją błędów wynikających
z wpływu indywidualnej (konkretnej) realizacji losowych imperfekcji geometrycznych płyty
(wywołujących często również efekt zmiany znaku przemieszczeń) na doświadczalne
wyznaczanie nośności krytycznej płyt.
2. Wyznaczanie "przedziału przemieszczeń uporządkowanych"
Niezgodność wyników doświadczalnych wyznaczanych klasyczną metodą Southwella
z rezultatami teoretycznymi występuje w płytach, których postać imperfekcji wstępnych
odbiega od kształtu wyboczenia płyty właściwego dla pierwszej nośności krytycznej
(wartości własnej).
Wytłumaczenie tego zjawiska można oprzeć na hipotezie "zaburzeń oczekiwanych
1
przemieszczeń" odpowiadających pierwszej nośności krytycznej ( Ncr ), przez dokrytyczne
powiększanie ugięć na "kierunkach" składowych imperfekcji wstępnych, zwłaszcza
zbliżonych do postaci odpowiadających wyższym wartościom własnym nośności krytycznej
j
płyty ( Ncr , j = 2,3,...). Powiększanie składowych przemieszczeń na "kierunkach" imper-
fekcji wstępnych jest sterowane kombinacją kolejnych wartoś ci własnych.
Hipotezę "zaburzeń oczekiwanych przemieszczeń" wyboczenia płyty udowodniono za
pomocą eksperymentów numerycznych, w których płyty obarczono geometrycznymi
imperfekcjami wstępnymi (rozwiniętymi w szereg) o kształcie zbliżonym do przemieszczeń
stowarzyszonych z wyższymi wartościami własnymi nośności krytycznej płyty.
Eksperymenty numeryczne pozwoliły na wysuniecie tezy, iż podczas badań stateczności
płyt obarczonych losowymi realizacjami imperfekcji geometrycznych, dominacja przyrostów
przemieszczeń "uporządkowanych" wg kształtu wyboczenia stowarzyszonego z pierwszą
1
nośnością krytyczną płyty ( Ncr ), odbywa się w indywidualnie realizowanym przedziale
obciążenia, który nazwano "przedziałem przemieszczeń uporządkowanych".
W celu doświadczalnego oszacowania nośności krytycznej płyt, obarczonych
realizacjami losowych imperfekcji geometrycznych, należy zatem wyznaczyć każdorazowo
"przedział przemieszczeń uporządkowanych", w którym kształtowana postać ugięć płyty
zmierza do postaci wyboczenia z warunku minimum całkowitej energii potencjalnej układu.
2.1. Model eksperymentu numerycznego
W celu "doświadczalnego" wyznaczenia nośności krytycznej płyty obarczonej
indywidualną realizacją imperfekcji geometrycznych, rozpatrzono jednokierunkowo ściskaną
siłami N płytę przegubowo podpartą na obwodzie.
x
Przemieszczeniowe równanie różniczkowe nieliniowego zginania płyty obarczonej
indywidualną realizacją losowych imperfekcji geometrycznych wo( x, y ) ma postać (1):
"4w1 "4w1 "4w1 Nx "2( wo + w1 )
+ 2 + = Å" ,
(1)
"x4 "x2"y2 "y4 D "x2
Każdą realizację losowych imperfekcji geometrycznych płyty przegubowo podpartej na
obwodzie da się opisać szeregiem (2):
mo no
mĄx nĄy
wo( x, y ) = sin( )Å" sin( ).
(2)
""amn
l b
m=1 n=1
 103
Płyty jednokierunkowo ściskane szczególnie nadają się do "badań numerycznych"
wpływu konkretnej realizacji losowych imperfekcji geometrycznych na "doświadczalną
nośność krytyczną", z uwagi na niewielkie różnice pomiędzy kolejnymi obciążeniami
krytycznymi (wartościami własnymi) stowarzyszonymi z odmiennymi postaciami
wyboczenia płyty.
Teoretyczne nośności krytyczne rozumiane jako wartości własne płyty przegubowo
podpartej na obwodzie i ściskanej siłami N można wyznaczyć ze znanego wzoru (3) wg [2]:
x
2
2 2
ëÅ‚ öÅ‚
Ä„ D 1 l
T
ìÅ‚ ÷Å‚
N = m + Å" (3)
x,cr
2
ìÅ‚
l m b2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie: l, b - długość, szerokość płyty, D - sztywność zginania płyty, m - liczba "fal" wybo-
czenia w kierunku długości płyty.
Wstawiając realizację wo( x, y ) wg (2) losowych imperfekcji geometrycznych płyty do
równania różniczkowego (1) otrzymujemy przyrost przemieszczeń w1( x, y ) płyty
obarczonej ugięciem wstępnym wo( x, y ) , wywołany równomiernie rozłożonym na krawę-
dziach x = 0 i x = l obciążeniem ściskającym N w obszarze dokrytycznym postaci (4) [2]:
x
mo no
mĄx nĄy
w1( x, y ) = sin( )Å" sin( )
(4)
""bmn
l b
m=1 n=1
gdzie:
amn N
x
bmn =
2 (5)
2 2
ëÅ‚ öÅ‚
Ä„ D n2 l
ìÅ‚ ÷Å‚
m + Å" - N
2
ìÅ‚
l m b2 ÷Å‚ x
íÅ‚ Å‚Å‚
Wyznaczając z równania (4) przemieszczenia poprzeczne płyty ui = w1( xi , yi ) w
funkcji obciążenia N uzyskano numerycznie punkty pomiarowe (w obszarze
x
dokrytycznym) nadające się do analizy "doświadczalnego" szacowania nośności krytycznej
w zależności od postaci geometrycznych imperfekcji wstępnych.
Badane płyty obarczano realizacjami imperfekcji rozwiniętymi w szereg (2) o postaci
zbliżonej do przemieszczeń stowarzyszonych z wyższymi nośnościami krytycznymi płyty
j
( Ncr , j = 2,3,4... ).
W badaniach numerycznych analizowano wpływ kształtu imperfekcji oraz miejsc
"pomiaru ugięć" na dokrytyczny zakres "przedziału przemieszczeń uporządkowanych", oraz
dokładność "doświadczalnego" oszacowania nośności krytycznej płyty.
Algorytm przeprowadzania "eksperymentu numerycznego" przedstawiono na
przykładzie tak dobranym, aby pokazać wpływ właściwego przyjęcia "przedziału
przemieszczeń uporządkowanych" na wynik eksperymentu.
Przykład. Przegubowo podparta na obwodzie płyta prostokątna o wymiarach
b = 200mm, l = 400mm i grubości t = 2mm ściskana na krawędziach x = 0 i x = l
równomiernym obciążeniem N , jest obarczona geometryczną imperfekcją wstępną postaci
x
(2) o następujących składowych (n = 1, m = 6): a11 = 0.0475, a21 = 0.015, a31 = -0.005,
a41 = 0.005, a51 = 0.0035, a61 = 0.0025 [mm], (rys.1 dla y = b/2).
104
Wyznaczyć "doświadczalną" nośność krytyczną na podstawie "pomiaru" ugięć w
dokrytycznym zakresie obciążenia.
Z uwagi na dominację składowej a11, postać imperfekcji geometrycznych jest zbliżona
do kształtu wyboczenia płyty wg m=1 "fali" w kierunku jej długości, co odpowiada 3-ciej
T ,3
wartości własnej teoretycznej nośności krytycznej ( N = 231.6 N/mm) wyznaczonej z (3).
x,cr
wo [mm] u3
u1 y = b 2
0.05
0.04
0.03
u2
0.02
0.01
x [mm]
100 200 300 400
Rys. 1. Postać imperfekcji wstępnych (wo) płyty wg (2) dla y = b/2
Ugięcia (ui) płyty "mierzono" w miejscach przemieszczeń ekstremalnych teoretycznej
pierwszej postaci utraty stateczności dla m = 2 ( l b = 2 ) "fal" wyboczenia w kierunku
długości płyty. Ugięcia u1 wyznaczono dla współrzędnych: x = l 4 =100mm, y = b 2 ,
ugiÄ™cia u2 dla: x = 3Å"l 4 =300mm, y = b 2 , oraz ugiÄ™cia u3 w Å›rodku rozpiÄ™toÅ›ci pÅ‚yty w
pobliżu ekstremalnej współrzędnej imperfekcji wstępnych: x = l 2 =200mm, y = b 2 .
T ,1
Na rys. 2 pokazano wykres przemieszczenie - obciążenie (ui - N Nx,cr ) uzyskany w
x
"eksperymencie numerycznym" jednokierunkowego ściskania płyty obarczonej
geometryczną imperfekcją wstępną (wo) wg rys.1 w dokrytycznym zakresie obciążenia
T ,1 T ,1
( N d" 0.96 Å" Nx,cr ). TeoretycznÄ… pierwszÄ… noÅ›ność krytycznÄ… N = 148.2 N/mm wyzna-
x x,cr
czono z (3) przyjmujÄ…c m = 2.
T ,1
N N
x x,cr
0.8
0.6
u1
u2
0.4
u3
0.2
ui [mm]
- 0.3 - 0.2 - 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4
Rys. 2. "Numeryczna" ś cieżka dokrytycznej równowagi statycznej płyty
Na rys.2 nie pokazano przemieszczeń nadkrytycznych płyty, których nie da się
wyznaczyć z równań małych przemieszczeń (1,4). Nie utrudnia to numerycznej analizy
zbieżności metody w dokrytycznym zakresie obciążenia, dla płyty obarczonej realizacją
 105
losowych imperfekcji geometrycznych, o kształcie zbliżonym do "postaci wyboczenia" wg
wyższej (drugiej, trzeciej itd.) nośności krytycznej.
Postać przemieszczeń płyty w = wo + w1 dla y = b 2 w dokrytycznym zakresie
T ,1
obciążenia N = a Å" N , (a = 0.5, 0.7, 0.8, 0.9, 0.95) pokazano na rys.3.
x x,cr
w = wo + w1
a=
T ,1
[mm]
N = a Å" N
x x,cr
0.3
0.5
y = b 2
0.7
0.2
0.8
0.1
[mm]
0.9
x
0.95
100 200 300 400
- 0.1
wo
- 0.2
Rys. 3. Postać przemieszczeń płyty z przykładu
T ,1
W zakresie obciążenia do ok. 0.75 N płyta z imperfekcjami geometrycznymi (wo)
x,cr
"szuka" postaci przemieszczeń stowarzyszonych z minimalną nośnością krytyczną. Wpływ
przyrostów przemieszczeń na "kierunkach" składowych imperfekcji wstępnych wg wyższych
postaci wyboczenia (wyższych nośności krytycznych) w tym zakresie obciążenia jest
znaczny, wywołując błędne wskazania klasycznych "wykresów Southwella".
Na rys. 4 pokazano w układzie współrzędnych ( ui N , ui ) liniową aproksymację
x
"punktów pomiarowych" wyznaczonych na podstawie ugięć u1, u2 i u3 w klasycznie
T ,1
stosowanym zakresie obciążenia N d" 0.75 Å" N .
x x,cr
Przedstawienie wykresów w układzie współrzędnych ( ui N , ui ) umożliwia
x
bezpośrednie wyznaczenie poszukiwanego obciążenia krytycznego na podstawie
współczynnika kierunkowego "prostej Southwella" aproksymującej wyniki pomiarów.
Współczynniki kierunkowe uzyskanych prostych (rys.4) wyznaczają "doświadczalne"
obciążenia krytyczne obarczone znacznym błędem w stosunku do teoretycznej pierwszej
T ,1
nośności krytycznej rozpatrywanej płyty: Nx,cr = 148.2 N mm .
Tak znaczne rozbieżności wynikają z niewielkich różnic pomiędzy kolejnymi
wartościami własnymi nośności krytycznych płyty, stowarzyszonymi z odmiennymi
postaciami utraty stateczności, które dopełniając (amplifikując) składowe przemieszczeń na
"kierunkach" imperfekcji wstępnych, wyznaczają w początkowym zakresie obciążenia dość
skomplikowaną ś cieżkę giętnych przemieszczeń równowagi układu.
Na rys. 5 pokazano "wpływ" poszczególnych wyrazów (m =1, 2, 3 i 4 ) szeregu (2) na
T ,1
przemieszczenia u1 w zakresie obciążenia (0.1÷ 0.9 N ).
x,cr
Na podstawie wykresu można twierdzić, iż dopiero przy obciążeniu powyżej ok.
T ,1
0.85 N przemieszczenia płyty ulegają "uporządkowaniu", i decydującego znaczenia
x,cr
nabiera drugi (m=2) wyraz szeregu (2), zgodny z pierwszą postacią wyboczenia płyty.
106
ui
0.07
0.06
1) u1 = 170.5Å"( u1 N ) - 0.035
x
0.05
2) u2 = 103.7 Å"( u2 N ) - 0.000
x
3) u3 = 221.6Å"( u3 N ) - 0.054
x
0.04
u1
u2
0.03
u3
1
0.02
2
3
0.01
ui N
x
0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006
Rys. 4. "Wykresy Southwella" wyznaczone na podstawie ugięć u1, u2, u3, w początkowym,
T ,1
klasycznie stosowanym zakresie obciążenia ( N d" 0.75 Å" Nx,cr )
x
T ,1
N N
x x,cr
0.9
0.8
m=1
0.6
m=2
0.4 m=3
m=4
0.2
u1
0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125
Rys. 5. Wpływ wyrazów m =1, 2, 3 i 4 szeregu (2) na przemieszczenia u1
Wyznaczony dokrytyczny obszar "przemieszczeń uporządkowanych" (zakres
T ,1
obciążenia 0.86 ÷ 0.96 Å" Nx,cr ) jest potwierdzony przez: 1) liniowość "wykreÅ›lanych" w ukÅ‚a-
dzie współrzędnych ( ui N , ui) kolejnych punktów pomiarowych (wsp. korelacji powyżej
x
0.999), 2) symetrię błędów resztkowych współrzędnych klasyfikowanego przedziału wyzna-
czonych względem linii regresji, oraz 3) dokładność oszacowania nośności krytycznej.
 107
Wyznaczone dla dokrytycznego obszaru "przemieszczeń uporządkowanych"
"doświadczalne" siły krytyczne (rys. 6) wynoszą:
d ,1
T ,1
- dla ugięć u1: Nx,cr =149.9 N mm (w stosunku do Nx,cr błąd =1.16 %),
d ,1
T ,1
- dla ugięć u2: Nx,cr =146.3 N mm (w stosunku do Nx,cr błąd =1.27 %).
ui [mm]
0.4
1) u1 = 149.9Å"( u1 N ) - 0.021
x
2) u2 = 146.3Å"( u2 N ) - 0.010
x
0.3
u1
u2
1
0.2
2
ui N
x
0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003
Rys. 6. Współrzędne pomiarowe w "przedziale przemieszczeń uporządkowanych"
T ,1
W przypadku ugięć u3, również w zakresie obciążenia powyżej 0.86 N , uzyskane
x,cr
d ,1
"doświadczalne" obciążenie krytyczne N =209.9 N mm znacznie odbiega od
x,cr
najmniejszej nośności krytycznej płyty. Przyczyną tego jest kształt imperfekcji wstępnych
(rys.1) oraz wyznaczenie przemieszczeń u3 w środku rozpiętości płyty, gdzie dla postaci
wyboczenia wg najmniejszej nośności krytycznej (wg (3) dla m = 2) ugięcia nie występują.
Z uwagi na postać imperfekcji wstępnych zbliżonych do kształtu utraty stateczności
płyty dla m = 1 (jedna "fala" wyboczenia), "doświadczalne" współrzędne obciążenie-
T ,3
przemieszczenie ( N - u3 ) przybliżają wyższą (3-cią) nośność krytyczną N = 231.6
x x,cr
N/mm, którą można wyznaczyć z wzoru (3) dla m = 1. W tym przypadku "przedział
przemieszczeń uporządkowanych" odpowiada propagacji ugięć na "kierunku" składowej a11
imperfekcji wstępnych stowarzyszonych z kształtem utraty stateczności wg wyższej (3-ciej)
nośności krytycznej płyty.
3. Wnioski, uwagi i zalecenia
Jeżeli w realizacji imperfekcji geometrycznych płyty dominują składowe postaci
odpowiadającej wyższym obciążeniom krytycznym, prawdopodobieństwo dokładnego
oszacowania doświadczalnej najmniejszej (pierwszej) nośności krytycznej znanymi
metodami, w klasycznie stosowanych przedziałach obciążenia, istotnie się zmniejsza. Błąd
108
oszacowania jest tym większy, im mniejsza jest różnica pomiędzy kolejnymi wartościami
własnymi nośności krytycznej płyty.
Dostatecznie dokładne szacowanie najmniejszej nośności krytycznej na podstawie
modelu płyty obarczonej indywidualną realizacją losowych imperfekcji geometrycznych jest
możliwe, jeżeli współrzędne pomiarowe obciążenie - przemieszczenie ( Ni - ui ) wybierzemy
z "przedziału przemieszczeń uporządkowanych", w którym postać przyrostów ugięć płyty
zmierza do postaci utraty stateczności wg pierwszej nośności krytycznej.
Wykorzystanie "przedziału przemieszczeń uporządkowanych" ma znaczenie ogólne we
wszystkich przypadkach doświadczalnego szacowania nośności krytycznej ustrojów,
obarczonych indywidualnymi realizacjami losowych imperfekcji geometrycznych.
Literatura
[1] KOWAL Z., SZYCHOWSKI A., Doświadczalne wyznaczanie nośności krytycznej
prętów obarczonych losowymi realizacjami imperfekcji geometrycznych, X Mię-
dzynarodowa Konferencja Naukowo-Techniczna "Konstrukcje Metalowe", Gdańsk 2001.
[2] TIMOSHENKO S.P., GERE J.M., Teoria stateczności sprężystej, Arkady, Warszawa,
1963.
[3] JAKUBOWSKI S., Analiza stanu zakrytycznego tarczy prostokątnej poddanej działaniu
mimośrodowego ściskania, praca doktorska, Politechnika A
ódzka, A
ódz
1981.
[4] TERESZKOWSKI Z., Doświadczalna metoda wyznaczania obciążeń krytycznych w
płytach. Archiwum Budowy Maszyn. 1970, Tom XVII, Z 3.
[5] SZYCHOWSKI A., Lokalna nośność krytyczna nieswobodnie skręcanych prętów
cienko-ściennych o przekroju otwartym, praca doktorska, Politechnika Świętokrzyska,
Kielce 2001.
THE EXPERIMENTAL DETERMINATION
OF CRITICAL BEARING CAPACITY OF SLABS ON MODELS
WITH GEOMETRICAL IMPERFECTIONS
Summary
This paper investigates in the numerical way and reports the incompatibility between the
results of the experimental tests of the critical bearing capacity of slabs by classical methods
and the theoretical results. It is also shown that in order to determine experimentally the
critical bearing capacity of slabs with individual, random geometrical imperfections, it is
necessary to determine the so-called "range of ordered displacements", where the shaped
form of slab flexures tends to the stability loss from the condition of minimum total potential
energy of the system. The method and significance of the determination of the "range of
ordered displacements" are shown by an example.