noRMalIzaCJa
Problem nośności granicznej płyt
żelbetowych w ujęciu aktualnych
przepisów normowych
Prof. dr hab. inż. Piotr Konderla, Politechnika wrocławska
1. Wprowadzenie i sił wewnętrznych. W przypad- wiązującymi normami [1] i [2].
ku stosowania do analizy metody Z uwagi na różnice w zapisach
Przedmiotem analizy jest płyta numerycznej MES, otrzymuje się normowych, otrzymuje się w zasa-
żelbetowa zbrojona ortogonalnie, rozwiązania w postaci dyskretnej. dzie różne zbrojenie przy ich sto-
parametryzowana układem współ- Kolejnym etapem jest wymiarowa- sowaniu. W niniejszym artykule
rzędnych {x,y} na powierzchni nie płyty, co w praktyce sprowadza dokonano porównania algorytmów
środkowej płyty. Zgodnie z proce- się do doboru zbrojenia płyty tak, wymiarowania wykonanych przy
durą stosowaną w praktyce pro- aby spełnione były warunki stanu użyciu obu norm. Miarą służącą
jektowej, dla przyjętego schematu granicznego zgodnie z obowiązu- do porównywania wyników analizy
statycznego i obciążenia wyko- jącymi normami. są miarodajne momenty zginające,
nuje się analizę statyczną płyty W artykule analizowano problem na podstawie których określa się
traktowaną zwykle jako sprężysta, wymiarowania płyt żelbetowych zbrojenie w przekroju płyty [3].
cienka płyta Kirchhoffa otrzymując w zakresie spełnienia I stanu gra- Prezentowany w artykule problem
w efekcie rozkład przemieszczenia nicznego zgodnie z aktualnie obo- został zastosowany w autorskim
51
PRzegl
d budowlany 2/2010
a R T y K u A
y P R o b l e M o w e
noRMalIzaCJa
ortogonalnÄ…, przy czym orienta-
cja siatki jest zgodna z przyjętym
układem współrzędnych {x,y}.
Dla pojedynczego zestawu obciÄ…-
żeń w wyniku analizy statycznej
otrzymano stan sił wewnętrznych
w wybranych punktach płyty (m ,
x
m , m =m ), który jest podstawą
y xy yx
wymiarowania płyty w tym punk-
cie. W przypadku rozwiÄ…zywania
płyty MES tymi punktami w spo-
Rys. 1. Dwuwymiarowy model płyty oraz schemat redystrybucji naprężeń
sób naturalny są punkty węzło-
w warstwie
we modelu MES. We wszystkich
programie komputerowym o ko- i normÄ… [2], natomiast drugi algo- dotychczasowych normach zwiÄ…-
mercyjnej nazwie PL-WIN 2. Pro- rytm bazujący na normie [1] był zanych z konstrukcjami żelbeto-
gram ten jest programem wspo- sformułowany przez autora. wymi, płytę wymiaruje się nieza-
magania projektowania złożonych leżnie na dwóch ortogonalnych
układów płytowo-żebrowo-słupo- 2. Miarodajne momenty zgina- kierunkach traktując ją jako belkę
wych. W programie tym zaimple- jące o szerokości jednostkowej. Jeżeli
mentowano równolegle dwa algo- do wymiarowania zbrojenia przy-
rytmy wymiarowania. Pierwszy al- W dalszych rozważaniach zakłada jąć odpowiednio momenty m
x
gorytm jest zgodny z Eurokodem 2 się, że płyta jest zbrojona siatką i m to wówczas pomijamy wpływ
y
momentów skręcających m
xy
na wytężenie płyty. Norma PN-B-
03264 [1] w zasadzie bezpośred-
nio nie odnosi siÄ™ do tego oczywi-
stego faktu. Zgodnie z [1] projek-
tant powinien tak dobrać orientacje
zbrojenia, aby była ona zgodna
z kierunkami głównymi momen-
tów zginających, a wówczas znika
wpływ momentów skręcających,
które na kierunkach głównych są
równe zeru. Tego typu procedu-
ra jest nieefektywna w praktyce,
szczególnie kiedy jest ona imple-
mentowana w programach kom-
puterowych. Stąd konieczność sfor-
mułowania uniwersalnego algo-
rytmu, który uwzględniałby wpływ
momentów skręcających m na
xy
wytężenie płyty niezależnie od
wzajemnej orientacji siatki zbro-
jeniowej i kierunków momentów
Rys. 2. Schemat blokowy wyznaczania miarodajnych momentów wg Eurokodu 2
głównych.
Odmiennie do powyższego pro-
blemu podchodzi norma PN-EN
1992 [2] wywodzÄ…ca siÄ™ z Euro-
kodu 2. W przepisach tej normy
po raz pierwszy bezpośrednio przy
wymiarowaniu płyty uwzględnia się
fakt występowania w płycie pła-
skiego stanu naprężenia co impli-
kuje sprzężenie stanu wytężenia
na obu kierunkach (x,y). StÄ…d
w normie pojawiajÄ… siÄ™ wyraz
-
Rys. 3.
nie zdefiniowane pojęcia miaro-
52
PRzegl
d budowlany 2/2010
aRTyKuA
y PRobleMowe
noRMalIzaCJa
dajnych momentów zginających.
Przez miarodajne momenty zgina-
jÄ…ce m oraz m , rozumie siÄ™ ekwi-
ux uy
walentne momenty odpowiednio
na kierunkach x i y, których war-
tości uwzględniają wpływ pełnego
tensora momentów na wytężenie
płyty i są bezpośrednio wykorzy-
stywane przy wymiarowaniu płyty
traktowanej jak belka prostokÄ…tna
o wysokości h i szerokości jed-
nostkowej.
Miarodajne momenty zginajÄ…ce wg Rys. 4.
Eurokodu 2, jak również wg PN-EN
1992 wyznacza się przy założeniu szczegółowy algorytm wyznacza-
Ć Ć
dwuwarstwowego modelu pÅ‚yty, nia miarodajnych momentów zgi- (mux +"mi ) cos2 Õi +(muy + "mi ) sin2 Õi
której warstwy sÄ… w stanie granicz- najÄ…cych, którego schemat bloko- = mÕi , Ò! "mi ,
nym. Szczegółowy wywód takie- wy pokazany jest na rysunku 2.
Ć ą ą Ć ą ą
(mux +"mi ) cos2 Õi +(muy + "mi ) sin2 Õi
go podejścia, podany jest między Miarodajne momenty zginające wg
Ä…
= -mÕi , Ò! "mi ,
innymi w [3], składa się z następu- algorytmu autora, a bazujące na
jących kroków: normie PN-B-03264, wyznaczono (3)
 w analizowanym punkcie płyty posiłkując się następującym wy- stąd
siły wewnętrzne są równe: m , m , wodem:
x y
"m = max{"mi} Ò!
m (rys. 1a), a) w analizowanym punkcie płyty
xy
Ć Ć
mux = mux + "m, muy = muy + "m,
 w stanie granicznym w każdej siły wewnętrzne są równe: m , m ,
x y
z warstw pojawia się rysa pod m ; wstępnie przyjmuje się miaro-
Ä… Ä…
"m = max{"mi} Ò!
xy
kÄ…tem ¸ i ¸ odpowiednio w war- dajne momenty równe: ^ := m ,
m
ux x
ą Ć ą ą ą Ć ą ą
^ mux = mux + "m , muy = muy + "m .
stwie dolnej i górnej, m := m , oraz ^ := m , ^ := m , (4)
m m
uy y ux x uy y
 z warunku stanu granicznego b) dla każdej wartości ze zbioru fi
dla każdej z warstw, wyznacza się " (0,p), w praktyce dla dyskretne- W dalszym ciągu powyższe spo-
miarodajne momenty (m , m ) go zbioru wartości fi = ip/n (i=0, 1, soby wyznaczania miarodajnych
ux uy
i (m , m ) odpowiednio dla 2, ..., n) wyznacza się moment zgi- momentów będą nazywane Meto-
ux uy
wymiarowania zbrojenia dolnego najÄ…cy na kierunku osi x transfor- da-1 (wg Eurokodu 2) oraz Meto-
Õi
i górnego (rys. 1b) mując tensor momentów do ukła- da-2 (wg autorskiego algorytmu
du lokalnego {x ,yÕi}; w przypadku na bazie PN-B-03264).
Õi
mux = mx + mxy tg¸
wielu wariantów obciążenia tym
sposobem otrzymuje się obwied- 3. Analiza porównawcza miaro-
muy = my + mxy ctg¸
nię momentu m jak to pokazano dajnych momentów
Õ
na rysunku 3b,
Ä… Ä…
mux = -mx + mxy tg¸
c) miarodajne momenty są pod- Porównywano wartości miaro-
Ä… Ä…
muy = -my + mxy ctg¸
(1) stawą obliczenia ilości zbrojenia, dajnych momentów wyznaczane
a tym samym są miarą nośno- Metodą-1 i Metodą-2. Zakłada się,
Miarodajne momenty mają sens ści płyty na określonym kierunku, że w analizowanym punkcie płyty
fizyczny, jeżeli są nieujemne w takim razie po transformacji par
^ ^
i w tym kontekście należy inter- momentów (^ , m ) i (^ , m )
m m
ux uy ux uy
pretować równania (1). KÄ…ty ¸ i ¸ na kierunek osi x powinny być
Õi
w wyrażeniach (1) nie są określone. spełnione następujące warunki
Wyznacza siÄ™ je zwykle z warun-
ku minimalizacji sum (m + m ) Ć Ć
mux cos2 Õi + muy sin2 Õi e" mÕi ,
ux uy
i (m + m ). Optymalne wielkości
ux uy
Ć ą Ć ą
mux cos2 Õi + muy sin2 Õi e" -mÕi ,
kÄ…tów ¸ i ¸ zależą od wzajemnych (2)
relacji pomiędzy składowymi ten-
sora momentów, przy czym w więk- d) jeżeli powyższe warunki nie
szoÅ›ci przypadków sÄ… to kÄ…ty ¸opt = sÄ… speÅ‚nione, to należy zwiÄ™kszyć
¸ = p/4. wartoÅ›ci miarodajnych momentów
opt
Na podstawie przedstawione- o moment "m, tak aby warunki (2)
Rys. 5.
go wywodu można sformuÅ‚ować byÅ‚y speÅ‚nione dla każdego Õi
53
PRzegl
d budowlany 2/2010
a R T y K u A
y P R o b l e M o w e
noRMalIzaCJa
mux= mx + mxy , muy = my + mxy
(6)
Miarodajne momenty MetodÄ…-2
wyznaczono zgodnie z algorytmem
przedstawionym w p. 2:
a) Wstępnie przyjmuje się miaro-
dajne momenty równe
^ ^
m := m ,m := m
ux x uy y
b) Moment zginajÄ…cy w przekroju
obróconym o dowolny kÄ…t ² wzglÄ™-
dem osi z1 jest równy
Rys. 6.
m² = m0 + r cos 2²
(7)
^ ^
Momenty zginajÄ…ce m , m , m²
ux uy
reprezentują nośność odpowied-
niego przekroju płyty (rys. 5).
c) Warunek wytrzymałości wyma-
ga, aby moment zginajÄ…cy otrzyma-
ny w wyniku transformacji momen-
^ ^
tów m , m , do układu współ-
ux uy
rzÄ™dnych {x²,y²} byÅ‚ nie mniejszy
niż m², tym samym speÅ‚niona byÅ‚a
relacja
Ć Ć
mux cos2(² - Õ) + muy sin2(² - Õ) e" m²
(8)
w przeciwnym przypadku miarodaj-
Rys. 7.
ne momenty należy zwiększyć o "m
aby spełniony był warunek (8)
występuje stan sił wewnętrznych gdzie
Ć
(mux + "m) cos2(² - Õ) +
określony momentami głównymi
m0 a" (m1+m2)/2, r a" |m1  m2|/2.
Ć
+ (muy + "m)sin2(² - Õ) = m² (9)
m1 > 0, m2 = g m1, g " ( 1, 1)
a osie główne momentów pokry- Stosując Metodę-1 miarodajne stąd
wają się z osiami {z1, z2}. Należy momenty na kierunkach siatki
"m = m²-mx cos2(²- Õ)-my sin2(²-Õ)
wyznaczyć miarodajne momenty zbrojeniowej zgodnie z (1) dla ¸ =
zginające dla wymiarowania orto- p/4 są równe (10)
gonalnej siatki zbrojeniowej para-
metryzowanej układem współrzęd-
nych {x, y}, który obrócony jest
o kÄ…t Õ wzglÄ™dem ukÅ‚adu {z1, z2}
(rys. 4a). Analizowano dwa nieza-
leżne przypadki stanu sił wewnętrz-
nych.
Rys. 8.
Schemat płyty
Przypadek 1
w oknie głów-
Zakłada się, że momenty główne
nym programu
sÄ… nieujemne, tzn. g " (0, 1) (rys.
PL-Win 2
3b). Na kierunkach układu {x, y}
współrzędne tensora momentów
są równe
mx = m0 + r cos 2¸,
my = m0 - r cos 2¸,
mxy = r sin 2¸,
(5)
54
PRzegl
d budowlany 2/2010
aRTyKuA
y PRobleMowe
noRMalIzaCJa
d) W celu wyznaczenia maksymal-
a) b)
nej wartości "m zapisano warunek
ekstremum funkcji
"("m)
= 0 Ò! tan 2² = - tan-1 2Õ
"²
Ą iĄ
Ò! ²i = Õ - + dla i = 0, 1, ...
4 2
(11)
Dla pierwszego pierwiastka ²0 =
f  p/4 druga pochodna funkcji "m
jest równa
"2("m)
= -4sin 2Õ d" 0,
Rys. 9. Izolinie powierzchni przekroju zbrojenia w [cm2/m] (a) dolnego i (b)
"²2
górnego wyznaczone Metodą-1
(12)
stąd wynika, że funkcja "m osiąga
a) b)
ekstremum w punkcie ²0
"mmax = "m(²0 ) = m²0 - mx cos2(Ä„ / 4)
- my sin2(Ä„ / 4) = mxy
(13)
oraz
Ć
mux = mux + "mmax = mx + mxy ,
Ć
muy = muy + "mmax = my + mxy .
(14)
e) Z powyższego wynika, że
miarodajne momenty wyznaczone
MetodÄ…-2 sÄ… identyczne z miaro- Rys. 10. Izolinie powierzchni przekroju zbrojenia w [cm2/m] (a) dolnego i (b)
dajnymi momentami wyznaczony- górnego wyznaczone Metodą-2
mi Metodą-1. Rozkład miarodaj-
nych momentów dla wybranych wyznaczone Metodą-2. Analogicz- strujący efekty zastosowania obu
wartości g = 0,0 i g = 0,5 pokaza- ne wyniki pokazano na rysunku 7b metod wymiarowania analizowano
no na rysunku 6. dla g =  0,5, gdzie średnia różnica płytę kwadratową o wymiarach 8,0
wyników wynosi okoÅ‚o 3%, rów- × 8,0 m o staÅ‚ej gruboÅ›ci h =
Przypadek 2: nież na korzyść Metody-1. 20 cm podpartą przegubowo
Zakłada się, że w analizowanym Teoretycznie wyznaczanie miaro- na dwóch ścianach i obciążoną
punkcie płyty występuje taki stan dajnych momentów Metodą-1 wg równomiernie na zaznaczonej czę-
sił wewnętrznych, że momen- Eurokodu 2 jest bardziej ekono- ści powierzchni obciążeniem q =
ty główne są różnych znaków. miczne w stosunku do Metody-2. 5 kN/m2 (rys. 8). Przyjęto beton
Niech m1 > 0, m2 = gm1, g " ( 1, 0). Jednakże w praktyce różnice te klasy C25/30, stal klasy A-III, pręty
W tym przypadku występują róż- są niewielkie, ponieważ lokalne zbrojeniowe o średnicy 16 mm,
nice w wartościach miarodajnych występowanie w płycie głównych otulinę 2 cm oraz orientację siatki
momentów wyznaczonych obiema momentów zginających różnych zbrojenia zgodną z osiami (x,y)
metodami. Różnice te zależne są znaków nie jest zbyt częste, równolegle do krawędzi płyty.
od proporcji momentów głównych, a jedynie wówczas obserwujemy Na rysunku 9 pokazano izolinie
przy czym największe różnice co najwyżej kilkuprocentowe róż- rozkładu zbrojenia dolnego i gór-
występują dla g = -1. nice w wynikach. nego na kierunku x wyznaczoną
Na rysunku 7a pokazano funkcje MetodÄ…-1. Podobnie na rysunku
miarodajnego momentu wyzna- 4. Wymiarowanie płyty w pro- 10 pokazano rozkłady zbrojenia
czonego MetodÄ…-1 i MetodÄ…-2 gramie PL-Win 2 wyznaczone MetodÄ…-2. Lokalne
w zależności od orientacji zbroje- różnice są widoczne, chociaż
nia względem kierunków głównych Przedstawione powyżej metody ilość sumarycznego zbrojenia jest
dla g =  1. Wartości miarodajnych wymiarowania płyty są zaimple- podobna.
momentów wyznaczone Metodą-1 mentowane w autorskim progra- W podsumowaniu należy stwier-
są średnio około 8% mniejsze niż mie PL-Win 2. Jako przykład ilu- dzić, że obie metody są względem
55
PRzegl
d budowlany 2/2010
a R T y K u A
y P R o b l e M o w e
noRMalIzaCJa
W przykładzie drugim pokaza-
no wpływ orientacji siatki zbroje-
niowej na rozkład miarodajnych
momentów zginających wyzna-
czonych MetodÄ…-1. Analizowano
płytę kwadratową jak w przy-
kładzie pierwszym różniącą się
jedynie warunkami brzegowymi.
Rys. 11. W tym przypadku płyta oparta jest
Schemat
przegubowo na wszystkich czte-
statyczny płyty
rech krawędziach (rys. 11).
Na rysunku 12 pokazano rozkłady
miarodajnych momentów zgina-
jących dla kierunku równoległe-
go do krawędzi płyty, natomiast
na rysunku 13 pokazano rozkłady
miarodajnych momentów zginają-
cych dla kierunku przekÄ…tnej pola
płyty. Z uwagi na symetrię, miaro-
dajne momenty w kierunkach pro-
siebie równoważne. Teoretycznie tyce projektowej dla wielu warian- stopadłych są odpowiednio syme-
Metoda-2, metoda bazująca na tów obciążenia oraz konieczności tryczne. Pokazane na rysunkach
Eurokodzie 2, daje pewne dodat- automatyzacji obliczeń, te moż- 12 i 13 wartości momentów należy
kowe możliwości optymalizacji liwości trudno efektywnie wyko- użyć do wymiarowania siatki zbro-
ilości zbrojenia, jednakże w prak- rzystać. jeniowej o orientacji odpowied-
nio zgodnej z przyjętym układem
współrzędnych {x,y} oraz siatki
zbrojeniowej o orientacji obróco-
nej o 450 w stosunku do przyjęte-
go układu współrzędnych. Wyniki
wskazują, że w przypadku obróco-
nej siatki zbrojenia otrzymuje siÄ™
mniejszą ilość stali zbrojeniowej
o około 25% w stosunku do orien-
tacji siatki zbrojeniowej zgodnej
z układem współrzędnych {x,y}.
BIBLIOGRAFIA
[1] PN-B-03264: 2002 Konstrukcje betonowe,
żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne
Rys. 12. Miarodajne momenty zginajÄ…ce m ,  m dla osi s pokrywajÄ…cej siÄ™
us us
i projektowanie
z osiÄ… x
[2] PN-EN 1992:2008 Eurokode 2:
Projektowanie konstrukcji z betonu  Część
1 1: Reguły ogólne i reguły dla budynków
[3] Podstawy projektowania konstrukcji
żelbetowych i sprężonych według Eurokodu
2. Praca zbiorowa. DWE Wrocław 2006
Rys. 13. Miarodajne momenty zginajÄ…ce m ,  m dla osi s nachylonej pod
us us
kÄ…tem 45° w stosunku do osi x
56
PRzegl
d budowlany 2/2010
aRTyKuA
y PRobleMowe