Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
1
METODA NOÅšNOÅšCI GRANICZNEJ
Poprawnie zaprojektowana konstrukcja powinna być bezpieczna. Rozróżniamy kilka
metod sprawdzania bezpieczeństwa konstrukcji. Są to metody: naprężeń dopuszczalnych,
naprężeń granicznych, odkształceń plastycznych, nośności granicznej i stanów granicznych.
Ogólnie metody te różnią się sposobem sprawdzania nośności konstrukcji czy też jej elementu
Nośność konstrukcji lub jej elementu, zgodnie z metodą naprężeń dopuszczalnych (dalej
krótko MND), jest osiągnięta wtedy, gdy ekstremalne naprężenie choćby w jednym punkcie
danego elementu konstrukcji osiągnie wartość dopuszczalną np. granicę plastyczności Re (Rpl).
Obciążenie, przy którym zostanie osiągnięta nośność będziemy oznaczali z indeksem s np. qs, Ps,
Ms i nazywali obciążeniem dopuszczalnym. Obciążenie dopuszczalne nie jest obciążeniem
niszczącym. Zwykle konstrukcja jest zdolna do przenoszenia większych obciążeń
Nośność konstrukcji, zgodnie z metodą nośności granicznej (dalej krótko MNG) jest
osiągnięta wtedy, gdy zostanie osiągnięta nośność w takiej liczbie przekrojów, że konstrukcja
ulegnie zniszczeniu, czyli np. stanie się układem geometrycznie zmiennym. Obciążenie przy
którym zostanie osiągnięta nośność będziemy oznaczali z indeksem n np. qn, Pn, Mn i nazywali
obciążeniem granicznym lub niszczącym.
Rozciąganie (ściskanie) osiowe
s
2
1
R = R
pl
0, 002
stan
stan
plastyczny
sprężysty
e
e
e
Uproszczony wykres rozciągania materiału
sprężysto  plastycznego
1) materiał idealnie sprężysto-plastyczny
µ d" µe à = E · µ
µ > µe à = Re
2) materiał idealnie sprężysto-plastyczny ze wzmocnieniem
µ d" µe à = E · µ
µ > µe à = Re + E1 · ( µ - µe )
3) materiał sztywno-plastyczny
µ = 0 Ò! Ã < Re
µ " Ò! Ã = Re
Zgodnie MND: Ãmax d" R ; Ãzast d" Re
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
2
Ze względu na równomierny rozkład naprężeń w przekroju pręta rozciąganego lub ściskanego
stan uplastycznienia występuje równocześnie w całym przekroju i nośność określona wg MND i
MNG jest identyczna.
Pn
Ps = Pn = A · Rpl ; Pd =
n
n  współczynnik bezpieczeństwa
Skręcanie
Pręt o przekroju kołowym i pierścieniowym
a) b) c)
2r
Stan sprężysty Stan sprężysto-plastyczny Stan graniczny
Ms Mn
Wyznaczenie momentu uplastyczniającego włókna skrajne: Ms
R
Ms Á
pl
t
Ämax = R = (war.H - M - H)
pl
J0
3
14243
Ó!
t
R Ä„ r 3
pl
t
Ämax = R Ms =
pl
2
Wyznaczenie momentu uplastyczniającego cały przekrój: Mn
dr
r
df
f
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
3
t t
dT = R dA = R Á dÕ dÁ
pl pl
t
dMs = Á dP = R Á2dÕdÁ
pl
t
2Ä„ r
2R r3Ä„
pl
t 2
Mn = R
pl
+"dÕ +"Á dÁ =
3
0 0
t
Mn = R Wpl
pl
Porównując stwierdzamy, że Mn jest ponad 30% większe niż Ms .
Dla przekroju pierścieniowego na podobnej zasadzie otrzymujemy:
t
2R pl Ä„
Mn = (R23 - R 13 )
3
wykres naprężeń stycznych
Pręty o przekrojach niekołowych
Wg analogii błonowej  wartość naprężeń
stycznych jest proporcjonalna do tangensa
kąta największego w danym punkcie
spadku powierzchni, jaką tworzy błona
rozpięta na konturze przekroju i
obciążona jednostronnym stałym
ciśnieniem. Moment skręcający jest
proporcjonalny do podwojonej
objętości bryły zawartej między
płaszczyzną przekroju, a powierzchnią
wygiętej błony.
Przy uplastycznieniu przekroju naprężenia styczne są w każdym punkcie równe są Rtpl wobec
czego wspomniana powierzchnia musi mieć jednakowy spadek. Warunek ten spełnia  wzgórze
piaskowe (analogia Nadaia). Jeżeli przyjmiemy, że tangens kąta nachylenia powierzchni równa
się Rtpl , to moment skręcający będzie równy podwojonej objętości  nasypanego piasku .
b
R
«#
t pl
R = = tgÄ… ;
pl
ª#
3
ª#
dla tgÄ… = 1
ª#
2
( b (3a - b ))ª#
ª#M = R W
t
W =
a
Ź#
pl n pl pl
6
ª#
gdy a *#*# b ª#
ª#
n
1
2
ª#
W = a b
"
pl i i
1
2 ª#
­#
a
a
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
4
Przykład 1.
Dla danego pręta wyznaczyć obciążenie niszczące msn przyjmując do obliczenia Rt raz
pl
hipotezÄ™ CTG i drugi raz hipotezÄ™ HMH.
Dane: L = 200cm; Rpl = 20kN/cm2; d1 = 4cm; d2 = 8cm.
d2
d1
L
m s
0, 3L 0, 2L 0, 5L
Mn
Mn
R
pl
t
Rpl = Ò! HMH
3
kN
t
Rpl = 11,55
cm2
Rpl
t
Rpl = Ò! CTG
2
kN
t
Rpl = 10
2
cm
2Mn = msn Å" 0,2L
t
Mn = R pl Wpl
Ä„
HMH Ò! Mn = 11,55 Å" Å"(83 - 43)= 1354,65kNcm
12
2Mn 2 Å"1354,65 kNcm
msn = = = 67,74
0,2 Å" L 0,2 Å" 200 cm
Ä„
CTG Ò! Mn = 10 Å" Å"(83 - 43)= 1172,86 kNcm
12
2M n 2 Å"1172,86 kNcm
msn = = = 58,65
0,2L 0,2 Å" 200 cm
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
5
Przykład 2
Dla skręcanego pręta o przekroju jak na rysunku stosując analogię Nadaia wyznaczyć wartość
granicznego momentu skręcającego.
Dane: Rplt = 12kN/cm2; a1 = 15cm; a2 = 25cm; a3 = 30cm; b1 = 0,3cm; b2 = 0,5cm; b3 = 0,4cm.
gdy a *#*# b
n
1 1
Wpl = hi2 = (15 Å" 0,32 + 25 Å" 0,52 + 20 Å" 0,42)= 5,4cm3
"ai
2 2
1
t
Mn = Rpl Wpl = 12 Å" 5,4 = 64,8 kNcm
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
6
Zginanie
b)
a)
L/ 2 R
p l
R
p l
P
x
y
Ps Pn
z
y
L
Rys. 1
a) Rozkład naprężeń w środku rozpiętości belki przy obciążeniu P = Ps uplastyczniającym
tylko włókna skrajne przekroju. Moment uplastyczniający włókna skrajne przekroju
oznaczamy przez Ms.
b) Rozkład naprężeń w środku rozpiętości belki przy obciążeniu P = Pn uplastyczniającym
niemal cały przekrój pod siłą P. Moment uplastyczniający cały przekrój oznaczamy Mn i
nazywamy momentem granicznym lub niszczÄ…cym.
Wyznaczanie momentu granicznego (niszczÄ…cego) przekroju oraz wskaz
nika
zginania plastycznego
Przekrój z jedną osią symetrii
Rpl
h g
-
d A g
y
h d
+
d A d
Rpl
z
Rys. 2
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
7
Z sumy rzutów na oś poziomą :
d g
+"Ã dA + +"Ã dA = Rpl Ad - Rpl Ag = 0
Ad Ag
Ad = Ag
wynika, że oś zginania plastycznego dzieli przekrój na dwie części o równych polach.
Moment Mn graniczny (niszczący), czyli uplastyczniający cały przekrój jest równy momentowi
bryły naprężeń względem osi zginania plastycznego y :
h h
h h
g
g
d d
Mn = dAd + dAg = Rpl dAd + dAg
d g d g
+"Ã z +"Ã z +"z +"z
0 0 0 0
144 3
42444
d g
Wpl = S + S
y y
Mn = Rpl Wpl
Przekrój z dwiema osiami symetrii
h
OÅ› zginania plastycznego jest drugÄ… (poziomÄ…) osiÄ… symetrii hg = hd = i wtedy:
2
h h
2 2
M = 2 Ã z dA = R 2 z dA
+" +"
n pl
0 0
1 4
423
d
S
y
d
M = R W W = 2S
n pl pl pl y
Dla podstawowych przekrojów można wyznaczyć stosunek wskaz
nika zginania plastycznego do
wskaz
nika zginania sprężystego:
W
pl
Dla prostokÄ…ta: É = =1,5 , koÅ‚a É = 1,75 i dwuteownika É H" 1,17
W
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
8
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
9
STREFA UPLASTYCZNIONA W BELCE
Rys.4
Rozkład naprężenia w przekroju (rys. 4c) jest następujący:
(1)
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
10
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
11
Rys.5
Rys.6
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
12
Rys.7
Rys. 8
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
13
Przykład 1
Dla pręta zawieszonego na trzech cięgnach wyliczyć siłę niszczącą Pn.
Dane: A; Rpl; dla pręta EJ = "; dla cięgien EA = const.
N1 N2 N3
L
2a a
0, 4a
E
P
D1
D2
D3
Rys.9
ż#
"Y N1 + N2 + N3 = P
ª#
ª#
" M N2 2a - P 2,4a + N3 3a = 0
¨#
E
ª#
"2 - "1 "3 - "1
" "
=
ª#
©# 2a 3a
N1 L N2 L N3 L
"1 = ; "2 = ; "3 =
EA EA EA
N1 = 0,071P
N2 = 0,386P
N3 = 0,543P = Nn
Rpl A
Nn = Rpl A Ò! 0,543P = Rpl A Ò! P = = 1,841Nn
0,543
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
14
Pomimo uplastycznienia pręta (3) układ pozostaje geometrycznie niezmienny.
N1 N2
Nn
P
Zakładając, że pręt (3) osiągnie swoją nośność Nn, układ stanie się geometrycznie zmienny i
konstrukcja ulegnie zniszczeniu gdy np. pręt (2) też osiągnie nośność Nn, czyli z warunków
równowagi:
1
ż#N = Nn - 0,2P
ª#
1
2
¨#
ª#N2 = -1,5Nn +1,2P
©#
Pn Ò! Nn = N2 Ò! Nn = -1,5Nn +1,2P
Pn = 2,083Nn
Przedstawiony sposób obliczania nośności na drodze analizy kolejnych faz uplastyczniania się
ustroju byłby w przypadku ustrojów statycznie niewyznaczalnych bardzo uciążliwy, wymagałby
bowiem kolejnego rozwiązywania ustrojów sprężystych, których stopień statycznej
niewyznaczalności stopniowo obniżałby się w miarę uplastyczniania się kolejnych prętów.
O wiele wygodniejszy jest sposób polegający na analizowaniu konstrukcji tylko w stanie
zniszczenia i oparty na założeniu materiału sztywno  plastycznego. Przy tym sposobie
postępowania unikamy w ogóle  ale tylko w przypadku obciążenia stałego  rozwiązywania
ustrojów statycznie niewyznaczalnych.
Rozwiązanie problemu nośności będzie ścisłe (kompletne), jeśli spełnione będą następujące
trzy warunki:
a) powstanie stanu granicznego w dostatecznej liczbie prętów (lub ogólniej w dostatecznej
liczbie przekrojów ustroju prętowego),
b) równania równowagi (warunki statyczne)
c) równania wiążące przemieszczenia w ustroju zamienionym w geometrycznie zmienny
(warunki kinematyczne).
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
15
Otrzymane rozwiązania, spełniającego te trzy warunki i zwanego rozwiązaniem kompletnym,
jest często bardzo trudne i dlatego stosuje się metody, zwane statyczną i kinematyczną, z których
pierwsza spełnia warunki a) i b), druga zaś spełnia warunki a) i c). Metody te dają wyniki na
ogół przybliżone, stanowiące granice przedziału, w którym zawiera się rozwiązanie kompletne.
Metody te są oparte na dwóch twierdzeniach:
Twierdzenie 1
Ustrój nie ulega zniszczeniu lub co najwyżej znajduje się w stanie równowagi granicznej
pod obciążeniem Pst , jeżeli dla tego obciążenia można znalez
ć statycznie dopuszczalny stan
sił wewnętrznych. Odpowiadający temu stan przemieszczeń nie musi być kinematycznie
możliwy, tzn. nie musi oznaczać zmiany ustroju w geometrycznie zmienny.
Twierdzenie 2
Ustrój ulega zniszczeniu pod obciążeniem Pkin , czyli zmienia się w kinematycznie zmienny,
jeżeli może być znaleziony dla tego obciążenia taki kinematycznie możliwy stan
przemieszczeń, dla którego suma prac wirtualnych sił wewnętrznych i zewnętrznych jest co
najmniej równa zeru. Odpowiadający temu stan sił wewnętrznych nie musi być statycznie
dopuszczalny.
Z tych dwóch twierdzeń wynika, ze rozwiązanie kompletne Pn jest zawarte w granicach
Pst d" Pn d" Pkin ,
przy czym przedział ten będzie najwęższy, jeżeli wez
miemy największą ze znalezionych sił Pst i
najmniejszą ze znalezionych sił Pkin . Jeżeli okaże się, że wśród stanów statycznie
dopuszczalnych znajdzie się taki, który jest jednocześnie kinematycznie możliwy wówczas
maxPst = minPkin przedstawia rozwiÄ…zanie kompletne, czyli Pn.
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
16
Powyższy sposób postępowania zostanie objaśniony na przykładzie ustroju przedstawionego
poniżej.
2a a
N1 P N2 N3
N12 N3
a)
.
2
. W3 .
1 3
W3 W3
3
N1 P N2 N3
b)
.
2
.W1 .
1
3
W1 W1
3
N1 P N2 N3
.
Wp
c)
.
2 Wp
.
Wp
Metoda statyczna Rys. 10
Układamy równania równowagi:
N1 + N2 + N3  P = 0
2N1 - N3  P = 0.
W tych dwóch równaniach występują 4 niewiadome: N1 , N2 , N3 , P . Wiadomo, jednak, że w
stanie granicznym uplastycznić się muszą dwa pręty, gdyż ustrój jest jednokrotnie statycznie
niewyznaczalny. Dwie spośród sił Ni (i = 1,2,3) możemy więc przyrównać do ą Nn (znak ą, gdyż
uplastycznienie pręta może być osiągnięte zarówno przez rozciąganie, jak i ściskanie). Spośród
różnych otrzymanych w ten sposób stanów, statycznie dopuszczalne będą te, w których siła w
każdym pręcie będzie odpowiadać warunkowi |Ni|d" Nn = Rpl A.
Rozpatrzmy kilka spośród możliwych kombinacji.
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
17
1. N1 = N3 = Nn.
Podstawiając to do równań równowagi, otrzymamy P a" Pst = Nn ; N2 = -Nn , a
więc warunek |N| d" Nn jest spełniony, czyli stan jest statycznie dopuszczalny.
2. N1 = N2 = Nn.
StÄ…d; P a" Pst = 2Nn ; N3 = 0 <-Nn ; stan ten jest statycznie dopuszczalny.
3. N 2 = N 3 = Nn.
Stąd P a" Pst = 5Nn ; N1 = 3Nn > Nn stan nie jest więc statycznie dopuszczalny.
Jak widać, spośród dwóch statycznie dopuszczalnych rozwiązań drugie daje większą siłę Pst =
2Nn- Na podstawie twierdzenia 1 wiemy zatem, że Pn e" 2N
Metoda kinematyczna
Na rysunku pokazano kilka kinematycznie możliwych stanów przemieszczeń
wirtualnych (a, b, c)
1. Pierwszy z nich (a) odpowiada uplastycznieniu się prętów 2 i 3, a więc N2 = N3 = Nn.
&
w3
&
Moc obciążenia zewnętrznego wynosi L = P gdzie w3 jest prędkością
3
przemieszczania się punktu 3. Moc dyssypowana przez siły wewnętrzne będzie:
2 5
& & &
D = Nn w3 + Nn w3 = Nn w3
3 3
Z warunku L = D czyli równania:
&
w3 5
&
P = Nn w3
3 3
znajdujemy P a" Pkin = 5 Nn .
2. N1 = N2 = Nn (b)
&
2w1 1
& &
P = Nn w1 + Nn w1
3 3
StÄ…d P a" Pkin = 2 Nn
3. N1 = Nn N3= Nn (c)
Z warunku L = D czyli równania:
& & &
Pw = Nn 2w + Nn w
p p p
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
18
StÄ…d P a" Pkin = 3 Nn
Jak widać najmniejszą wartość Pkin otrzymano w przypadku 2, mianowicie Pkin = 2 Nn . Na
podstawie twierdzenia 2 wiemy zatem, że Pn d" 2Nn . Schemat, który w metodzie statycznej dał
największą siłę Pst , i schemat, który w metodzie kinematycznej dał najmniejszą siłę Pkin , są
identyczne, stąd też oba wyniki są takie same, mianowicie Pst = Pkin = 2Nn . Oznacza to, że
otrzymane rozwiÄ…zanie jest kompletne.
W bardziej złożonych wielokrotnie statycznie niewyznaczalnych konstrukcjach może się
zdarzyć, że rozpatrując stany statycznie dopuszczalne nie natrafiamy na taki, który jest również
kinematycznie możliwy, a rozpatrując stany kinematycznie możliwe  na taki, który jest
statycznie dopuszczalny. Wybierając wówczas największą spośród obliczonych Pst oraz
najmniejszą spośród obliczonych Pkin, będziemy mogli stwierdzić, że
max Pst < Pn < min Pkin ,
czyli jako przybliżone rozwiązanie będzie można przyjąć:
Pn = ½ (max Pst + min Pkin) .
Wyznaczanie nośności granicznej układu prętowego na przykładzie belki
Obliczenia nośności granicznej można wykonywać dwiema metodami: statyczną i
kinematycznÄ….
Algorytm dla metody statycznej jest następujący:
1. Ustalamy wielkości nadliczbowe (jeśli układ jest statycznie niewyznaczalny).
2. Sporządzamy wykresy momentów zginających od obciążenia zewnętrznego dla
zastępczego układu statycznie wyznaczalnego.
3. Sporządzamy wykres momentów od obciążenia wielkościami nadliczbowymi.
4. A
ączymy tak wykresy z punktów 2 i 3, aby w dostatecznej liczbie przekrojów został
osiągnięty warunek stanu granicznego.
Algorytm dla metody kinematycznej:
1. Ustalamy liczbę przegubów plastycznych.
2. Zakładamy możliwy kinematycznie schemat zniszczenia.
3. Obliczamy moc sił zewnętrznych L i moc dyssypowaną sił wewnętrznych D dla
przyjętego schematu zniszczenia.
4. Z warunku L = D obliczamy obciążenie niszczące.
W wypadku, gdy obciążenie niszczące wyznaczone obiema metodami jest jednakowe
mówimy, że rozwiązanie zadania jest zupełne. Gdy rozwiązania są różne to mówimy o
oszacowaniu dolnym (statycznym) i górnym (kinematycznym) nośności granicznej.
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
19
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
20
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
21
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
22
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
23
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
24
Przykład 3
Dla belki jak na rysunku wyznaczyć siłę Ps oraz Pn metodą statyczną. Dane: L, P, h, b, Rpl.
b
L/ 2 R R
pl pl
P
h
x
y
Ps Pn
z
y
L
Pl / 4
PL h
2Rplb h2
M z 12PL
4 2
à = = = = Rpl Ò! Ps =
J 3L
b h 3 8b h2
y
12
Rpl b h2 Rpl b h2
Mn = = M Ò! Pn =
4 L
Pn Wpl
m = = = É = 1,5
Ps W
Przykład 4
Dla belki jak na rysunku obliczyć Pn. Dane: L = 400cm; Rpl = 20kN/cm2.
6 cm
L 4 cm
3 cm
P
17 cm
z
3 cm
L / 3
2L / 3
10 cm
P
M
n
M
n
M
n
-
+
+
2 P / 9
L
=
M
n
M
n
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
25
Wyznaczenie momentu granicznego (niszczącego) przekrój:
Mn = Rpl Wpl
d g
Wpl = Sy + Sy
3Å"10 + 3Å" z = 4 Å" 6 + (10 - z ) Å" 3 czyli : z = 4cm
Wpl = 3Å"10 Å" 5,5 + 4 Å" 3Å" 2 + 6 Å" 4 Å"(- 8)+ 3Å" 6 Å"(- 3) = 437cm 3
Mn = 20 Å" 437 = 8740 kNcm
Warunek stanu granicznego i wyznaczenie obciążenia niszczącego:
2
PL - Mn = Mn
9
9Mn 9 Å"8740
P = Pn = = = 196,65 kN
L 400
Przykład 5
Wyznaczyć maksymalną wartość siły P = Pn, przy której przedstawiona belka ulegnie
zniszczeniu. Dane: L = 400cm; Rpl = 25kN/cm2; siły rozstawione są co L/4.
L
3P
4P 2P
2 cm
a b c
20 cm
y
3P
4P 2P
M
n
z
10 cm
M
n
-
+
PL
5 P / 4
L
3 P / 2
L
Wyznaczenie momentu granicznego (niszczącego) przekrój:
Mn = Rpl Wpl ; Wpl = 2 Å" Sy ; z = 10cm
Wpl = 2 Å" 10 Å"10 Å" 5 - 6 Å"8 Å" 4 = 616 cm3
Mn = 25 Å" 616 = 15400 kNcm
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
26
Warunek stanu granicznego i wyznaczenie obciążenia niszczącego:
5 3 7Mn
a ) PL - Mn = Mn Ò! Pna = = 53,9 kN
4 4 5L
3 1 Mn
b ) PL - Mn = Mn Ò! Pnb = = 38,5 kN
2 2 L
1 5Mn
c ) P L - M n = Mn Ò! Pna = = 48,1 kN
4 4L
Pn = Pn (min) = Pnb = 38,5 kN
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
27
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
28
Notatki ( na prawach rękopisu) do zajęć z Wytrzymałości Materiałów II. Opracował dr inż. Jan Raczka . Luty 2006.
29