ÿþ w i c z e n i e 9
W y z n a c z a n i e r e a k c j i s t r u m i e n i a c i e c z y n a p Ba s k p By t k
1 . C e l w i c z e n i a
C e l e m w i c z e n i a j e s t d o [w i a d c z a l n e o k r e [l e n i e r e a k c j i w y w i e r a n e j p r z e z s t r u m i e D
w o d y n a p Ba s k p By t k , a n a s t p n i e p o r ó w n a n i e w y n i k ó w d o [w i a d c z e n i a z w a r t o [c i
r e a k c j i u z y s k a n n a d r o d z e t e o r e t y c z n o - o b l i c z e n i o w e j .
2 . W y z n a c z a n i e s i By r e a k c j i h y d r o d y n a m i c z n e j w o p a r c i u o z a s a d z m i a n y p d u
S i B, z j a k s t r u m i e D c i e c z y d z i a Ba n a p r z e s z k o d u s t a w i o n w l i n i i j e g o d z i a Ba n i a
n a z y w a m y r e a k c j h y d r o d y n a m i c z n , k t ó r a j e s t s u m g e o m e t r y c z n e l e m e n t a r n y c h
r e a k c j i w y w i e r a n y c h p r z e z p o s z c z e g ó l n e c z s t k i p o r u s z a j c e j s i m a s y c i e k Be j .
R o z w a \m y s t r u m i e D c i e c z y n a p By w a j c y s t y c z n i e n a z a k r z y w i o n n i e r u c h o m
[c i a n w s p o s ó b p r z e d s t a w i o n y s c h e m a t y c z n i e n a r y s u n k u 1 . W p r o w a d zm y
n a s t p u j c e z a Bo \e n i a :
- r u c h c i e c z y j e s t u s t a l o n y ,
- r o z k Ba d p r d k o [c i w p o p r z e c z n y m p r z e k r o j u s t r u m i e n i a j e s t j e d n o r o d n y ,
- s t r u m i e D p o r u s z a s i w o [r o d k u n i e w y w i e r a j c y m w p By w u n a p r z e b i e g z j a w i s k a ,
- p o m i j a s i s i By t a r c i a p o m i d z y s p By w a j c y m s t r u m i e n i e m a p o w i e r z c h n i [c i a n y ,
- p o m i j a s i s i By c i \k o [c i d z i a Ba j c e n a e l e m e n t y c i e c z y s t r u m i e n i a .
P r z y p o w y \s z y c h z a Bo \e n i a c h p r d k o [ s t r u m i e n i a w z d Bu \ [c i a n y n i e u l e g a z m i a n i e ,
c o u j m o \n a z a p i s e m ( r y s . 1 ) :
r r r
U 0 = U 1 = U
R y s . 1 . R e a k c j a s t r u m i e n i a n a s t y c z n i e z a k r z y w i o n n i e r u c h o m [c i a n
r
J e d y n s i B z e w n t r z n w y w o Bu j c z m i a n p d u j e s t s i Ba o d d z i a By w a n i a P
z a k r z y w i o n e j p By t y i z a c h o d z i w ó w c z a s n a s t p u j c a r ó w n o [:
r r
R = - P
7 9
Z z a s a d y z m i a n y i l o [c i r u c h u ( z m i a n y p d u ) w y n i k a , \e d l a c i e c z y o g s t o [c i Á i
s t r u m i e n i u o b j t o [c i Q z m i a n a p d u m i d z y p r z e k r o j a m i k o n t r o l n y m i 0 - 0 i 1 - 1
b d z i e w y n o s i Ba :
r r r r
R = - P = ÁQ ( U 0 - U 1 ) ( 1 )
W y p r o w a d z e n i e z w i z k u ( 1 ) z o s t a Bo p r z e d s t a w i o n e w d o d a t k u d o w i c z e n i a .
R ó w n a n i e w e k t o r o w e ( 1 ) m o \e b y z a p i s a n e w p o s t a c i d w ó c h r ó w n a D s k a l a r n y c h n a
s k Ba d o w e s i By r e a k c j i w p r z y j t y m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h ( r y s . 1 ) :
R x = Á Q ( U 0 x - U 1 x )
R y = Á Q ( U 0 y - U 1 y ) ( 2 )
Z g o d n i e z r y s u n k i e m 1 s k Ba d o w e p r d k o [c i d l a p r z e k r o j ó w k o n t r o l n y c h w y n o s z
o d p o w i e d n i o :
U 0 x = U ; U 1 x = U c o s Ñ
U 0 y = 0 ; U 1 y = U s i n Ñ
c o p r o w a d z i d o n a s t p u j c y c h z a p i s ó w s k Ba d o w y c h r e a k c j i :
R x = ÁQ U ( 1 - c o s Ñ)
( 3 )
R y = - Á Q U s i n Ñ
M o d u B r e a k c j i w y p a d k o w e j w y n o s i :
Ñ
2 2
R = R x + R y = 2 Á Q U s i n . ( 4 )
2
W p r z y p a d k u , g d y s t r u m i e D u d e r z a w p Ba s k p By t u s t a w i o n p r o s t o p a d l e d o o s i
s t r u m i e n i a ( r y s . 2 ) , o d p o w i e d n i e s k Ba d o w e p r d k o [c i z a p i s a m o \n a n a s t p u j c o :
R y s . 2 . R e a k c j a s t r u m i e n i a p r z y n a p By w i e n a p Ba s k p By t u s t a w i o n p r o s t o p a d l e
U 0 x = U ; U 1 x = 0
U 0 y = 0 ; U 1 y = U
c o p o w y k o r z y s t a n i u z w i z k ó w ( 2 ) p o z w a l a o k r e [l i s k Ba d o w e r e a k c j i
h y d r o d y n a m i c z n e j s t r u m i e n i a :
R x = Á Q U
( 5 )
R y = - Á Q U
8 0
A l e p o n i e w a \ s t r u m i e D p o u d e r z e n i u w p By t r o z d z i e l a s i p r o m i e n i o w o s y m e t r y c z n i e
w z g l d e m o s i x , w i c e l e m e n t a r n e s k Ba d o w e p o p r z e c z n e s i By h y d r o d y n a m i c z n e j
z n o s z s i i w y p a d k o w a p o p r z e c z n a r ó w n a s i z e r u :
R y = 0
w ó w c z a s m o d u B r e a k c j i w y p a d k o w e j r ó w n y j e s t j e j s k Ba d o w e j p o z i o m e j :
R = R x = Á Q U ( 6 )
3 . O p i s s t a n o w i s k a p o m i a r o w e g o
S c h e m a t s t a n o w i s k a b a d a w c z e g o s Bu \c e g o d o w y z n a c z a n i a r e a k c j i s t r u m i e n i a
p r z e d s t a w i o n o n a r y s u n k u 3 . P By t a 1 p o d w p By w e m r e a k c j i s t r u m i e n i a c i e c z y
w y p By w a j c e j z d y s z y 3 p r z e m i e s z c z a s i , p r z y c z y m u k Ba d p r t ó w 4 z a p e w n i a
u t r z y m a n i e p r o s t o p a d Be g o p o Bo \e n i a p By t y w z g l d e m n a p By w a j c e g o s t r u m i e n i a
c i e c z y . W i e l k o [ o d c h y l e n i a p r t ó w m o \n a o d c z y t a z a p o m o c w s k a zn i k a 5 , a
s t r u m i e D o b j t o [c i c i e c z y m i e r z o n y r o t a m e t r e m 8 m o \n a z m i e n i a p r z y p o m o c y
z a w o r u 7 .
R y s . 3 . S c h e m a t s t a n o w i s k a p o m i a r o w e g o
4 . W y z n a c z a n i e s i By r e a k c j i h y d r o d y n a m i c z n e j w o p a r c i u o z a s a d p r a c
p r z y g o t o w a n y c h
S i By d z i a Ba j c e n a b a d a n y u k Ba d z a z n a c z o n o s c h e m a t y c z n i e n a r y s u n k u 4 , z a [ w
o b l i c z e n i a c h w y k o r z y s t a n a z o s t a n i e z a s a d a p r a c p r z y g o t o w a n y c h [ 2 ] , s t o s o w a n a
c z s t o w k l a s y c z n e j m e c h a n i c e c i a Ba s t a Be g o , z g o d n i e z k t ó r :
w a r u n k i e m k o n i e c z n y m i w y s t a r c z a j c y m r ó w n o w a g i u k Ba d u m a t e r i a l n e g o j e s t , a b y
s u m a p r a c p r z y g o t o w a n y c h w s z y s t k i c h s i B c z y n n y c h i r e a k c j i w i z ó w p r z y d o w o l n y m
p r z e m i e s z c z e n i u p r z y g o t o w a n y m u k Ba d u b y Ba r ó w n a z e r u , c o m o \n a z a p i s a
r ó w n a n i e m :
n
P i Å"´r i = 0
"
i = 1
R e a k c j i s t r u m i e n i a c i e c z y R p r z e c i w d z i a Ba j s i By c i \k o [c i m ‡g e l e m e n t ó w r u c h o m y c h ,
k t ó r e m o \n a p r z y Bo \y w i c h [r o d k a c h c i \k o [c i ( d l a u p r o s z c z e n i a p o m i j a m y s i By
r e a k c j i w i z ó w ) . E l e m e n t a r n e p r z e s u n i c i a p r t ó w o k t ´± p o d w p By w e m
o d d z i a By w a n i a s t r u m i e n i a c i e c z y p o w o d u j p r z e s u n i c i e i c h [r o d k ó w c i \k o [c i .
8 1
P r z e s u n i c i a p r z y g o t o w a n e s i B w k i e r u n k a c h i c h d z i a Ba n i a ( z g o d n i e z r y s u n k i e m 4 )
w y n o s z o d p o w i e d n i o :
- d l a s i By c i \k o [c i o d p o w i a d a j c e j p r t o m p i o n o w y m ( m p r ‡ g ) :
l
´ y 1 = - ´± Å"s i n ±
2
- d l a s i By c i \k o [c i p By t k i z r a m k ( m p + m r ) g :
´ y 2 = - l ´± Å"s i n ±
- d l a s i By r e a k c j i R :
´ x = l ´± Å"c o s ±
R y s . 4 . S c h e m a t d z i a Ba n i a s i B n a e l e m e n t y r u c h o m e s t a n o w i s k a
R ó w n a n i e b i l a n s u p r a c p r z y g o t o w a w c z y c h , p o m i j a j c s i By t a r c i a , w y n o s i :
l
R Å" l ´± Å"c o s ± = 2 m p r g ´± Å"s i n ± + ( m p + m r ) g Å" l ´± Å"s i n ± ,
2
c o p o u p r o s z c z e n i u p r o w a d z i d o z a l e \n o [c i :
R = ( m p r + m p + m r ) g Å"t g ± ( 7 )
g d z i e :
m p r = 0 . 0 1 7 k g - m a s a p r t ó w ,
m p = 0 . 1 2 2 k g - m a s a p By t k i ,
m r = 0 . 0 9 4 k g - m a s a r a m k i ,
g = 9 . 8 1 m / s 2 - p r z y s p i e s z e n i e z i e m s k i e ,
± - k t w y c h y l e n i a u k Ba d u .
D l a w y \e j p o d a n y c h w a r t o [c i m a s p o s z c z e g ó l n y c h e l e m e n t ó w u k Ba d u m o \n a o k r e [l i
w i e l k o [ s i By R , k t ó r a j e s t w y Bc z n i e f u n k c j k t a ± w e d Bu g z a l e \n o [c i :
R o b l = 2 , 2 8 t g ±, N ( 8 )
8 2
5 . M e t o d y k a p o m i a r ó w
P r z e d p r z y s t p i e n i e m d o w i c z e n i a n a l e \y s p r a w d z i , c z y u k Ba d p r t ó w w y c h y l a
s i s w o b o d n i e . P o m i a r n a l e \y p r z e p r o w a d z i d l a d z i e w i c i u u s t a l o n y c h p r z e z
p r o w a d z c e g o w a r t o [c i w y c h y l e n i a p By t k i n o t u j c k a \d o r a z o w o w t a b e l i p o m i a r o w e j
w a r t o [ s t r u m i e n i a o b j t o [c i w o d y o d p o w i a d a j c u s t a l o n e m u k t o w i w y c h y l e n i a .
C a By c y k l p o m i a r o w y p o w t ó r z y n a l e \y t r z y k r o t n i e , b i o r c d o d a l s z y c h o b l i c z e D
[r e d n i w a r t o [ s t r u m i e n i a w o d y d l a k a \d e g o z u s t a l o n y c h w y c h y l e D k t o w y c h .
6 . M e t o d y k a o b l i c z e D
N a p o d s t a w i e d a n y c h p o m i a r o w y c h u z y s k a n y c h w t r a k c i e d o [w i a d c z e n i a p r z y
w s z y s t k i c h d z i e w i c i u p o Bo \e n i a c h p By t k i , o b l i c z a m y w a r t o [c i s i By r e a k c j i z e w z o r u
( 8 ) . R e z u l t a t p o w y \s z y c h o b l i c z e D p o r ó w n a n a l e \y z w i e l k o [c i a m i o b l i c z o n y m i
w e d Bu g z a l e \n o [c i ( 6 ) , k t ó r m o \n a p r z e k s z t a Bc i d o w y g o d n i e j s z e j p o s t a c i :
2
4 Á Q
R = Á Q U = , N ( 9 )
2
Àd
g d z i e :
Q - u [r e d n i o n y s t r u m i e D o b j t o [c i w o d y , m 3 / s ,
Á - m a s a w Ba [c i w a w o d y , k g / m 3 ,
d - [r e d n i c a o t w o r u d y s z y ( d l a o m a w i a n e g o s t a n o w i s k a d = 0 , 0 0 5 m ) .
P o r ó w n u j c r e a k c j e R o b l i c z o n e d w o m a o m a w i a n y m i m e t o d a m i o k r e [l i n a l e \y
w z g l d n r ó \n i c i c h w a r t o [c i , k t ó r a w y n o s i :
R - R o b l
µ = 1 0 0 , % ( 1 0 )
R o b l
S p r a w o z d a n i e z w i c z e n i a n a l e \y u z u p e Bn i a n a l i z w y n i k ó w i w Ba s n y m i
s p o s t r z e \e n i a m i .
L i t e r a t u r a
1 . B u k o w s k i J . : M e c h a n i k a p By n ó w , P W N , W a r s z a w a 1 9 6 9
2 . L e y k o J . : M e c h a n i k a o g ó l n a , P W N , W a r s z a w a 1 9 7 6
3 . P r o s n a k W . J . : M e c h a n i k a p By n ó w , P W N , W a r s z a w a 1 9 7 0
8 3
T a b e l a p o m i a r o w o - o b l i c z e n i o w a
Q
± t g ± Q R R o b l µ
1 2 3
L p .
o
- l / m i n m 3 / s N N %
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8 4
D o d a t e k B
d o w i c z e n i a n r 9
W y z n a c z a n i e s i By r e a k c j i h y d r o d y n a m i c z n e j s t r u m i e n i a c i e c z y n a p By w a j c e g o
s t y c z n i e n a z a k r z y w i o n n i e r u c h o m [c i a n k
Z a s a d a z a c h o w a n i a p d u w m e c h a n i c e p By n ó w d l a p r z y p a d k u p r z e p By w u p By n u
d o s k o n a Be g o ( t z n . p r z y p o m i n i c i u n a p r \e D s t y c z n y c h ) m o \e b y z a p i s a n a w p o s t a c i
r ó w n a n i a :
r r
r
( Á U U n + p n ) d S = ( B 1 )
+"+" +"+"+"ÁF d V
S V
g d z i e : r
U - w e k t o r p r d k o [c i ,
S - p o w i e r z c h n i a k o n t r o l n a o g r a n i c z a j c a w y d z i e l o n c z [ p By n u ,
U n - s k Ba d o w a w e k t o r a p r d k o [c i n o r m a l n a d o p o w i e r z c h n i k o n t r o l n e j ,
d e f i n i o w a n a j a k o :
r r r
r r r
U = U " n = U n c o s ( U , n )
n
p - c i [n i e n i e ,
r
n - j e d n o s t k o w y w e k t o r n o r m a l n y d o p o w i e r z c h n i k o n t r o l n e j , s k i e r o w a n y n a
z e w n t r z o b j t o [c i p By n u ,
V - o b j t o [ p By n u o g r a n i c z o n a p o w i e r z c h n i k o n t r o l n S .
W p r z y p a d k u p r z e p By w u g a z ó w , a t a k \e p r z e p By w u c i e c z y w p r z e w o d a c h p o z i o m y c h
l u b n i e z n a c z n e p o c h y l o n y c h m o \n a - b e z p o p e Bn i e n i a w i k s z e g o b Bd u - p o m i n s i By
m a s o w e ( g r a w i t a c y j n e ) i w ó w c z a s r ó w n a n i e ( B 1 ) p r z y j m i e p o s t a :
r
r
( Á U U + p n ) d S = 0 ( B 2 )
n
+"+"
S
W p r z y p a d k u s t y c z n e g o n a p By w u s w o b o d n e g o s t r u m i e n i a c i e c z y n a w y g i t
p o w i e r z c h n i c i a Ba s t a Be g o , p o w i e r z c h n i k o n t r o l n S ( p a t r z r y s . B 1 ) m o \n a p o d z i e l i
n a p o w i e r z c h n i e s k Ba d o w e :
- p o w i e r z c h n i e S 0 i S 1 o k r y w a j c e s i z p r z e k r o j a m i p o p r z e c z n y m i s t r u g i n a
w l o c i e i n a w y l o c i e w y g i t e j p o w i e r z c h n i c i a Ba ,
- p o w i e r z c h n i s w o b o d n s t r u g i S a ,
- p o w i e r z c h n i s t y k u s t r u g i i c i a Ba S c .
R y s . B 1 . D e f i n i c j a o b j t o [c i k o n t r o l n e j p By n u
8 5
D l a t a k z d e f i n i o w a n e j p o w i e r z c h n i k o n t r o l n e j z a s a d a z m i a n y p d u ( B 2 ) p r z y j m u j e
n a s t p u j c p o s t a :
r r r r
Á U U n 0 d S 0 + Á U U d S 1 + Á U U d S a + Á U U d S c +
n 1 n a n c
+"+" +"+" +"+" +"+"
S 0 S 1 S a S c
( B 2 )
r r r r
+ p a n 0 d S 0 + p a n 1 d S 1 + p a n a d S a + p n c d S c = 0
c
+"+" +"+" +"+" +"+"
S 0 S 1 S a S c
g d z i e c i [n i e n i a p o d z n a k a m i c a Be k s c i [n i e n i a m i b e z w z g l d n y m i . P o n i e w a \
r o z p a t r u j e m y o d d z i a By w a n i e s t r u g i s w o b o d n e j t o n a p o w i e r z c h n i a c h k o n t r o l n y c h S 0 , S 1
i S a , a t a k \e p o d p o w i e r z c h n i c i a Ba p a n u j e c i [n i e n i a p a , w i c w y s t p u j c e n a
p o w i e r z c h n i S c n a d c i [n i e n i e j e s t r ó \n i c
p = p c p a ( B 3 )
S t r u g a c i e c z y o d d z i a Bu j e n a p o w i e r z c h n i c i a Ba s t a Be g o ( p o w i e r z c h n i k o n t r o l n S c ) z
r
s i B r e a k c j i h y d r o d y n a m i c z n e j R , r ó w n c o d o w a r t o [c i l e c z p r z e c i w n i e s k i e r o w a n d o
r
s i By o d d z i a By w a n i a P , i j e s t w y p a d k o w e l e m e n t a r n y c h s i B c i [n i e n i o w y c h o d
n a d c i [n i e n i a p w y s t p u j c e g o n a p o w i e r z c h n i S c :
r r
r
R = - P = p n c d S c ( B 4 )
+"+"
S c
W y k o r z y s t u j c w y r a \e n i a ( B 3 ) i ( B 4 ) , o s t a t n i c a Bk r ó w n a n i a ( B 2 ) m o \n a
p r z e k s z t a Bc i d o p o s t a c i :
r
r r r
p c n c d S c = p a n c d S c + R ( B 5 )
a
+"+" +"+"( p + p ) n c d S c = +"+"
S c S c S c
P o n i e w a \ s k Ba d o w e n o r m a l n e p r d k o [c i U n n a p o w i e r z c h n i p r d u S a i n a p o w i e r z c h n i
S c ( r ó w n i e \ b d c l i n i p r d u ) r ó w n e s z e r o , z a t e m p r z e z p o w i e r z c h n i e t e n i e
o d b y w a s i w y m i a n a p d u :
r r
ÁU U d S a = ÁU U d S c = 0 ( B 6 )
n a n c
+"+" +"+"
S a S c
Z a k Ba d a j c , \e s t r u m i e D j e s t j e d n o r o d n y w p r z e k r o j a c h S 0 i S 1 , d w i e p i e r w s z e c a Bk i
r ó w n a n i a ( B 2 ) m o \e m y n a p i s a w p o s t a c i :
r r
ÁU 0 U n 0 d S 0 = - Á Q U 0 ( U < 0 )
n 0
+"+"
S 0
r r
ÁU 1 U n 1 d S 1 = Á Q U 1 ( U > 0 ) ( B 7 )
n 1
+"+"
S 1
g d z i e : Q = U S 0 = U S 1 - s t r u m i e D o b j t o [c i o w y s t r u g i .
n 0 n 1
W y k o r z y s t u j c p o w y \s z e u p r o s z c z e n i a , w y r a \e n i e ( B 2 ) m o \n a z a t e m p r z e p i s a w
p o s t a c i :
r r r
r
- Á Q U + Á Q U 1 + p a
0
+"+"n d S + R = 0 ( B 8 )
S 0 + S 1 + S a + S c
C a Bk a w p o w y \s z y m r ó w n a n i u j e s t r ó w n a z e r u j a k o c a Bk a n o r m a l n e j j e d n o s t k o w e j
w z d Bu \ p o w i e r z c h n i z a m k n i t e j , o s t a t e c z n i e w i c r ó w n a n i e ( B 8 ) m o \n a z a p i s a :
8 6
r r r
- Á Q U 0 + Á Q U 1 + R = 0 ( B 9 )
S t d w y r a \e n i e n a r e a k c j h y d r o d y n a m i c z n a s t r u g i p r z y j m i e o s t a t e c z n p o s t a :
r r r
R = Á Q ( U - U 1 ) ( B 1 0 )
0
L i t e r a t u r a
1 . P r o s n a k W . , J . : M e c h a n i k a p By n ó w , t o m 1 , P W N , W a r s z a w a 1 9 7 0
8 7
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