Mechanika ogólna
Mechanika ogólna
Wykład nr 3
Wykład nr 3
Wyznaczanie reakcji.
Wyznaczanie reakcji.
Belki przegubowe.
Belki przegubowe.
1
1
Podstawowe typy
Podstawowe typy
ustrojów prętowych
ustrojów prętowych
Pręt  element o wymiarach poprzecznych
Pręt  element o wymiarach poprzecznych
(np. grubość i szerokość) znacznie
(np. grubość i szerokość) znacznie
mniejszych od trzeciego wymiaru (długość)
mniejszych od trzeciego wymiaru (długość)
Belka  ustrój prętowy z prętami
Belka  ustrój prętowy z prętami
Belka  ustrój prętowy z prętami
Belka  ustrój prętowy z prętami
rozmieszczonymi w jednej linii. Siły często
rozmieszczonymi w jednej linii. Siły często
rozmieszczonymi w jednej linii. Siły często
rozmieszczonymi w jednej linii. Siły często
są prostopadłe do osi belki.
są prostopadłe do osi belki.
Rama  ustrój prętowy
Rama  ustrój prętowy
Krata  ustrój prętowy, który składa się z
Krata  ustrój prętowy, który składa się z
prętów połączonych przegubami. Siły mogą
prętów połączonych przegubami. Siły mogą
być przykładane tylko w węzłach.
być przykładane tylko w węzłach.
2
2
Stopnie swobody
Stopnie swobody
Liczba niezależnych ruchów, jakie ciało jest w
Liczba niezależnych ruchów, jakie ciało jest w
stanie zrealizować w przestrzeni.
stanie zrealizować w przestrzeni.
Punkt materialny:
Punkt materialny:
 w przestrzeni  3 (3 składowe przesuwu);
 w przestrzeni  3 (3 składowe przesuwu);
 na płaszczyz
nie  2 (2 składowe przesuwu);
 na płaszczyz
nie  2 (2 składowe przesuwu);
Ciało sztywne
Ciało sztywne
 w przestrzeni  6 (3 składowe przesuwu i 3
 w przestrzeni  6 (3 składowe przesuwu i 3
składowe obrotu);
składowe obrotu);
 na płaszczyz
nie  3 (2 składowe przesuwu i obrót).
 na płaszczyz
nie  3 (2 składowe przesuwu i obrót).
3
3
Podpory, pręty
Podpory, pręty
podporowe (1)
podporowe (1)
Podpora przegubowa przesuwna 
Podpora przegubowa przesuwna 
zablokowana jedna składowa
zablokowana jedna składowa
przesuwu, jeden pręt podporowy,
przesuwu, jeden pręt podporowy,
jedna reakcja.
jedna reakcja.
jedna reakcja.
jedna reakcja.
RA RA
RA
RA RA RA
4
4
Podpory, pręty
Podpory, pręty
podporowe (2)
podporowe (2)
Podpora przegubowa nieprzesuwna 
Podpora przegubowa nieprzesuwna 
zablokowane obie składowe przesuwu,
zablokowane obie składowe przesuwu,
dwa pręty podporowe, dwie
dwa pręty podporowe, dwie
dwa pręty podporowe, dwie
dwa pręty podporowe, dwie
niewiadome: reakcja i kierunek lub
niewiadome: reakcja i kierunek lub
dwie składowe reakcji.
dwie składowe reakcji.
H H H
A A A
R
A
a�
V
V
A
A
V
A
5
5
Podpory, pręty
Podpory, pręty
podporowe (3)
podporowe (3)
Sztywne zamocowanie  zablokowane
Sztywne zamocowanie  zablokowane
wszystkie przemieszczenia (dwie
wszystkie przemieszczenia (dwie
składowe przesuwu i obrót), trzy pręty
składowe przesuwu i obrót), trzy pręty
podporowe, trzy niewiadome  dwie
podporowe, trzy niewiadome  dwie
podporowe, trzy niewiadome  dwie
podporowe, trzy niewiadome  dwie
składowe siły i moment.
składowe siły i moment.
M
A
H
A
6
6
V
A
Inne sposoby podparcia
Inne sposoby podparcia
Sztywne zamocowanie z możliwością
Sztywne zamocowanie z możliwością
przesuwu:
przesuwu:
 poprzecznie do osi pręta;
 poprzecznie do osi pręta;
 poprzecznie do osi pręta;
 poprzecznie do osi pręta;
 wzdłuż pręta.
 wzdłuż pręta.
MA MA
HA HA
VA
7
7
Rodzaje obciążeń 
Rodzaje obciążeń 
układy płaskie
układy płaskie
Siły skupione;
Siły skupione;
Momenty skupione;
Momenty skupione;
Obciążenia liniowo rozłożone;
Obciążenia liniowo rozłożone;
Obciążenia liniowo rozłożone;
Obciążenia liniowo rozłożone;
Obciążenia momentem liniowo
Obciążenia momentem liniowo
rozłożone.
rozłożone.
8
8
Rodzaje obciążeń 
Rodzaje obciążeń 
układy przestrzenne
układy przestrzenne
Siły skupione;
Siły skupione;
Momenty skupione;
Momenty skupione;
Obciążenia liniowo rozłożone;
Obciążenia liniowo rozłożone;
Obciążenia liniowo rozłożone;
Obciążenia liniowo rozłożone;
Obciążenia momentem liniowo
Obciążenia momentem liniowo
rozłożone;
rozłożone;
Obciążenia rozłożone na powierzchni;
Obciążenia rozłożone na powierzchni;
Obciążenia rozłożone w objętości.
Obciążenia rozłożone w objętości.
9
9
Jednostki obciążeń
Jednostki obciążeń
Obciążenie ciągłe  kN/m
Obciążenie ciągłe  kN/m
Siła skupiona - kN
Siła skupiona - kN
Moment skupiony - kNm
Moment skupiony - kNm
Moment skupiony - kNm
Moment skupiony - kNm
Obciążenie ciągłe momentem 
Obciążenie ciągłe momentem 
kNm/m
kNm/m
10
10
Reakcje  belka
Reakcje  belka
swobodnie podparta
swobodnie podparta
P
X : H =� 0
�� A
l / 2 l / 2
P
H
��Y :VA +� RB -� P =� 0
A
V R
A B
l
: RB ��l -� P �� =� 0
��M A
P
2
H
A
V
A
R
B
11
11
Reakcje  belka
Reakcje  belka
wspornikowa
wspornikowa
P M
X : H =� 0
�� A
l / 2 l / 2
l / 2 l / 2
��Y :VA -� P =� 0
MA
P M
HA
l
: M +� P �� +� M =� 0
��M A A
2
VA
12
12
Reakcje  rama
Reakcje  rama
bezprzegubowa
bezprzegubowa
P
P
a�
h
X : H +� P +� P cosa� =� 0
M P
�� A
h
H
A ��Y :VA +� RB -� P -� P sina� =� 0
V
A
R
B
l l l
: M +� P ��l +� P �� h +� P cosa� �� 2h +� P sina� ��3l -� RB �� 2l =� 0
��M A
13
13
Obciążenie ciągłe
Obciążenie ciągłe
równomierne
równomierne
Miara wypadkowej obciążenia rozłożonego
Miara wypadkowej obciążenia rozłożonego
liniowo równa jest polu figury opisującej
liniowo równa jest polu figury opisującej
obciążenie i powinna zostać przyłożona w
obciążenie i powinna zostać przyłożona w
środku ciężkości tej figury.
środku ciężkości tej figury.
q
H
A
X : H =� 0
�� A
V
A
R
B
��Y :VA +� RB -� q ��l =� 0
l
l
��M : RB ��l -� q ��l �� 2 =� 0
A
ql
q
14
14
l / 2 l / 2
Obciążenie ciągłe
Obciążenie ciągłe
trójkątne
trójkątne
q
X : H =� 0
H
A
�� A
V
V
A
A
R
R
B
B
��Y :V +� R -� 1 q ��l =� 0
��Y :VA +� RB -� 1 q ��l =� 0
l
2
ql /2
q
��M : RB ��l -� 1 q ��l �� 2 l =� 0
A
2 3
2l / 3 l / 3
15
15
Obciążenie ciągłe
Obciążenie ciągłe
dowolne
dowolne
l
q( x )
W =�
��q(�x)�dx
0
HA
l
��q(�x)��� x dx
��q(�x)��� x dx
VA
RB
0
x0 =�
l
W
W
X : H =� 0
�� A
��Y :VA +� RB -�W =� 0
x0 l - x0
��M : RB ��l -�W �� x0 =� 0
A
16
16
Obciążenie ciągłe
Obciążenie ciągłe
momentem
momentem
m
HA
X : H =� 0
�� A
VA
RB
l
��Y :VA +� RB =� 0
m
l
m
��M : RB ��l -� m��l =� 0
A
l
17
17
Przegub
Przegub
Połączenie elementów prętowych w taki
Połączenie elementów prętowych w taki
sposób, że mogą się one swobodnie obracać
sposób, że mogą się one swobodnie obracać
(nie powstaje moment mogący
(nie powstaje moment mogący
przeciwdziałać obrotowi).
przeciwdziałać obrotowi).
przeciwdziałać obrotowi).
przeciwdziałać obrotowi).
Uzyskuje się dodatkowy punkt, w którym
Uzyskuje się dodatkowy punkt, w którym
moment wewnętrzny jest równy zero.
moment wewnętrzny jest równy zero.
Moment w przegubie od sił zewnętrznych
Moment w przegubie od sił zewnętrznych
znajdujących się po jednej ze stron
znajdujących się po jednej ze stron
przegubu równy jest 0.
przegubu równy jest 0.
18
18
Podział ramy w przegubie
Podział ramy w przegubie
RC
P
C
P
RC
h
h
P
RB=RC
A B
RA
RC
RA
RB
l l
19
19
Dodatkowe równanie
Dodatkowe równanie
dla przegubu
dla przegubu
P
X : H +� HB +� P =� 0
�� A
h
��Y :VA +�VB =� 0
H H
A B
V V
A B
��M :VB �� 2l -� P �� h =� 0
A
l l
VC
Czwarte równanie:
Czwarte równanie: H
C
P
HC
V
C
l
��M :VA ��l -� H �� h =� 0
C A
H
HA
B
p
albo
albo
20
��M :VB ��l +� HB �� h =� 0 20
C
V
VA
B
Belki przegubowe 
Belki przegubowe 
rozkład na belki proste
rozkład na belki proste
q
P
A
D
B
C
l l l l
q
H
C
D
C
V
C
l
R
V
D
C
q
P
H
A H
A
C
B
C
l l l
V
21
21
A
R
B
Belki proste  równania
Belki proste  równania
równowagi
równowagi
q
X : HC =� 0
��
HC
D
C
��Y :VC +� RD -� q ��l =� 0
l
VC
l
: RD ��l -� q ��l �� =� 0
��
��MC
2
2
R
RD
VC
q
P
HA A
HC
B
C
l l l
VA
RB
X : H -� HC =� 0
�� A
��Y :VA +� RB -�VC -� P -� q ��l =� 0
22
: RB �� 2l -� P ��l -� q ��l �� 2,5l -�VC ��3l =� 0 22
��M A
Reakcje  belki
Reakcje  belki
przegubowe (1)
przegubowe (1)
q
P
HA A
D
B
C
l l l l
V
VA
RB RD
X : H =� 0
�� A
��Y :VA +� RB +� RD -� P -� q �� 2l =� 0
: RB �� 2l +� RD �� 4l -� P ��l -� q �� 2l ��3l =� 0
��M A
l
p
��M : RD ��l -� q ��l �� 2 =� 0
C
23
23
Rozwiązanie
Rozwiązanie
X : H =� 0
�� A
l l
p
: RD ��l -� q ��l �� =� 0 �� RD =� q ��
��MC
2 2
: RB ��2l +� RD �� 4l -� P ��l -� q �� 2l ��3l =� 0 ��
�� +� �� -� �� -� �� �� =� ��
��
��M A
-� RD �� 4l +� P ��l +� q �� 2l ��3l P P
�� RB =� =� -�2RD +� +� q ��3l =� +� q �� 2l
2l 2 2
��Y :VA +� RB +� RD -� P -� q �� 2l =� 0 ��
P l P l
�� VA =� P +� q �� 2l -� RB -� RD =� P +� q �� 2l -� -� q �� 2l -� q =� -� q
2 2 2 2
24
24
Podstawienie danych
Podstawienie danych
q =� 5kN / m
P =� 10kN
l =� 2m
H =� 0
H =� 0
A
A
l 2m
RD =� q �� =� 5kN / m �� =� 5kN
2 2
P 10kN
RB =� +� q �� 2l =� +� 5kN / m �� 2�� 2m =� 25kN
2 2
10kN 2m
VA =� -� 5kN / m �� =� 0
2 2
25
25