4.2 Wytrzymażÿożÿżÿ materiażÿów
Moment gnżÿcy (zginajżÿcy) M w danym przekroju jest sumżÿ momentów obciżÿżÿeżÿ
zewnżÿtrznych dziażÿajżÿcych po jednej stronie rozpatrywanego przekroju wzglżÿdem
Rozwiżÿzywanie belek prostych
żÿrodka masy tego przekroju.
i przegubowych
wyznaczanie reakcji
Sposób okreżÿlania dodatniego znaku siżÿy tnżÿcej oraz momentu gnżÿcego przedsta-
-5
i wykresów siżÿ przekrojowych 4
wiono na rys. 4.3. Liniżÿ przerywanżÿ oznaczono wżÿókna uprzywilejowane (dolne).
Rys. 4.3
W zadaniach prezentowanych w niniejszym rozdziale, przyjżÿto nastżÿpujżÿcżÿ kon-
Obciżÿżÿenie belki mogżÿ stanowiżÿ siżÿy skupione P , momenty skupione M oraz
wencjżÿ dotyczżÿcżÿ sporzżÿdzania wykresów siżÿ tnżÿcych i momentów gnżÿcych. Dodatnie
obciżÿżÿenia ciżÿgżÿe q (rys. 4.1).
wartożÿci momentów gnżÿcych M bżÿdziemy odkżÿadażÿ po stronie wżÿókien uprzywilejo-
wanych, natomiast dodatnie wartożÿci siżÿ tnżÿcych T
po stronie wżÿókien nieuprzywi-
lejowanych.
Cechy charakterystyczne wykresów siżÿ przekrojowych sżÿ nastżÿpujżÿce:
Rys. 4.1
sile skupionej P stanowiżÿcej obciżÿżÿenie belki odpowiada skok o wartożÿci P
Przed przystżÿpieniem do wyznaczenia wykresów siżÿ przekrojowych konieczne jest
na wykresie siżÿ tnżÿcych;
wyznaczenie reakcji. W tym celu, rozpatrywanżÿ belkżÿ uwalnia siżÿ z wiżÿzów, zastżÿpu-
momentowi skupionemu M stanowiżÿcemu obciżÿżÿenie belki odpowiada skok
jżÿc podpory/utwierdzenia odpowiednimi reakcjami (rys. 4.2).
o wartożÿci M na wykresie momentów gnżÿcych;
jeżÿeli siżÿa tnżÿca T ma wartożÿżÿ stażÿżÿ (dodatniżÿ/ujemnżÿ) w danym przedziale,
to moment gnżÿcy w rozpatrywanym przedziale opisany funkcjżÿ liniowżÿ
(rosnżÿcżÿ/malejżÿcżÿ);
jeżÿeli siżÿa tnżÿca T jest równa zeru w danym przedziale, to moment gnżÿcy
w rozpatrywanym przedziale jest stażÿy;
jeżÿeli siżÿa tnżÿca T ma wartożÿżÿ liniowo zmiennżÿ w danym przedziale,
to moment gnżÿcy w rozpatrywanym przedziale opisany funkcjżÿ kwadratowżÿ.
Na rys. 4.4a przedstawiono przykżÿad belki obciżÿżÿonej dwiema siżÿami skupionymi.
Rys. 4.2
Schemat obliczeniowy po uwolnieniu z wiżÿzów ilustruje rys. 4.4b.
Wartożÿżÿ reakcji okreżÿlamy wykorzystujżÿc równania równowagi statycznej:
suma rzutów siżÿ na ożÿ x jest równa zeru
żÿPix żÿ 0 (4.1a)
suma rzutów siżÿ na ożÿ y jest równa zeru
żÿPiy żÿ 0 (4.1b)
suma momentów wzglżÿdem dowolnego punktu jest równa zeru
żÿMi żÿ 0 (4.1c)
W przypadku belek prostych obciżÿżÿonych poprzecznie wzglżÿdem osi belki, reakcja
Rys. 4.4
pozioma jest zawsze równa zeru, dlatego równanie (4.1a) pomija siżÿ.
Wielkożÿci przekrojowe to siżÿa tnżÿca T oraz moment gnżÿcy M .
Wartożÿżÿ reakcji wyznaczamy wykorzystujżÿc warunki równowagi (4.1b) i (4.1c):
Siżÿa tnżÿca (poprzeczna) T w danym przekroju jest sumżÿ rzutów siżÿ zewnżÿtrznych
żÿPiy żÿ 0 : żÿ RAy żÿ RDy żÿ P żÿ 2P żÿ 0
dziażÿajżÿcych po jednej stronie rozpatrywanego przekroju na kierunek styczny do
żÿMiA żÿ 0 : RDy żÿ 3l żÿ P żÿl żÿ 2P żÿ 2l żÿ 0
przekroju.
Rozwiżÿzywanie belek prostych i przegubowych
wyznaczanie reakcji i wykresów siżÿ przekrojowych 4.3 4.4 Wytrzymażÿożÿżÿ materiażÿów
4 5 4 1
RAy żÿ P RDy żÿ P T (x) żÿ RAy żÿ P żÿ P żÿ P żÿ P
3 3 3 3
W rozpatrywanej belce możÿemy wyróżÿniżÿ trzy przedziażÿy
AB, BC i CD. W każÿdym
1
M (x) żÿ RAy x żÿ P (x żÿ l ) żÿ P x żÿ P l
z tych przedziażÿów wyznaczamy siżÿy tnżÿce T oraz momenty gnżÿce M zgodnie z defi-
3
nicjżÿ. Przykżÿad rozwiżÿzano od lewej strony:
1 4
M (x żÿ l ) żÿ P żÿl żÿ P l żÿ P l
przedziażÿ AB: 0 żÿ x żÿ l (rys. 4.5)
3 3
1 5
M (x żÿ 2l ) żÿ P żÿ 2l żÿ P l żÿ P l
3 3
przedziażÿ CD: 2l żÿ x żÿ 3l (rys. 4.7)
Postżÿpujżÿc analogicznie, jak w dwóch poprzednich przedziażÿach, zapiszemy:
Rys. 4.5
Siżÿa tnżÿca w przekroju oddalonym o wartożÿżÿ x od punktu A jest równa sumie
rzutów siżÿ zewnżÿtrznych dziażÿajżÿcych po lewej stronie rozpatrywanego przekroju
na kierunek styczny do przekroju. Zapiszemy zatem:
Rys. 4.7
4
T (x) żÿ RAy żÿ P
3
4 5
T (x) żÿ RAy żÿ P żÿ 2P żÿ P żÿ P żÿ 2P żÿ żÿ P
Siżÿa tnżÿca ma wartożÿżÿ stażÿżÿ w cażÿym przedziale AB.
3 3
Z kolei, moment gnżÿcy w rozpatrywanym przekroju jest sumżÿ momentów obciżÿżÿeżÿ
5
M (x) żÿ RAy x żÿ P (x żÿ l ) żÿ 2P (x żÿ 2l ) żÿ żÿ P x żÿ 5P l
zewnżÿtrznych dziażÿajżÿcych po lewej stronie przekroju wzglżÿdem żÿrodka masy tego
3
przekroju. Zapiszemy to w nastżÿpujżÿcy sposób:
5 5
M (x żÿ 2l ) żÿ żÿ P żÿ 2l żÿ 5P l żÿ P l
4
3 3
M (x) żÿ RAy x żÿ P x
3
5
M (x żÿ 3l ) żÿ żÿ P żÿ 3l żÿ 5P l żÿ 0
3
Moment gnżÿcy zmienia siżÿ liniowo z przedziale AB
jego wartożÿci na krażÿcach
przedziażÿu sżÿ równe:
Wykresy siżÿ przekrojowych przedstawiono na rys. 4.8.
4
M (x żÿ 0) żÿ P żÿ 0 żÿ 0
3
4 4
M (x żÿ l ) żÿ P żÿl żÿ P l
3 3
przedziażÿ BC: l żÿ x żÿ 2l (rys. 4.6)
Rys. 4.6
Postżÿpujżÿc analogicznie, jak w poprzednim przedziale, możÿemy zapisażÿ: Rys. 4.8
Rozwiżÿzywanie belek prostych i przegubowych
wyznaczanie reakcji i wykresów siżÿ przekrojowych 4.5 4.6 Wytrzymażÿożÿżÿ materiażÿów
Na rys. 4.9 przedstawiono wykres siżÿ tnżÿcych T , wraz z naniesionymi siżÿami sku- Zadanie 4.1.
pionymi i reakcjami, użÿatwiajżÿcy interpretacjżÿ wyników. Wyznaczyżÿ reakcje oraz wykresy siżÿ tnżÿcych T i momentów gnżÿcych M dla belki
przedstawionej na rys. 4.10. Dane: P , l , M żÿ P l .
Rys. 4.10
Rozwiżÿzanie
Belkżÿ uwalniamy z wiżÿzów (rys. 4.11) i wyznaczamy wartożÿci reakcji, korzystajżÿc
z równażÿ równowagi statycznej (4.1b) i (4.1c).
Rys. 4.9
Pochodna momentu gnżÿcego M wzglżÿdem x jest równa sile tnżÿcej T , co możÿemy
zapisażÿ nastżÿpujżÿco:
d M
T żÿ Rys. 4.11
d x
żÿPiy żÿ 0 : żÿ RAy żÿ RDy żÿ P żÿ 0
Z kolei pochodna siżÿy tnżÿcej (poprzecznej) T wzglżÿdem x jest równa natżÿżÿeniu
obciżÿżÿenia ciżÿgżÿego:
RAy żÿ RDy żÿ P
dT
żÿ q żÿ
żÿMiA żÿ 0 : RDy żÿ 3l żÿ M żÿ P żÿ 2l żÿ 0
d x
W zwiżÿzku z powyżÿszym wykresy siżÿ przekrojowych, przedstawione na rys. 4.8 3RDy l żÿ P l żÿ 2P l żÿ 0
i 4.9, możÿemy zinterpretoważÿ nastżÿpujżÿco:
3RDy l żÿ P l
4
w przedziale AB siżÿa tnżÿca ma wartożÿżÿ stażÿżÿ dodatniżÿ ( P ), dlatego moment
3
1
gnżÿcy w tym przedziale rożÿnie liniowo
tangens nachylenia prostej opisujżÿcej
RDy żÿ P
4
3
przebieg zmian momentu gnżÿcego jest równy P ;
3
1
w przedziale BC siżÿa tnżÿca ma wartożÿżÿ stażÿżÿ dodatniżÿ ( P ), mniejszżÿ niżÿ w prze- 1 2
3
RAy żÿ P żÿ RDy żÿ P żÿ P żÿ P
dziale AB, dlatego moment gnżÿcy w przedziale BC rożÿnie liniowo, przy czym kżÿt 3 3
nachylenia prostej jest mniejszy, niżÿ w przedziale AB
tangens nachylenia
Wyznaczamy siżÿy tnżÿce T oraz momenty gnżÿce M w poszczególnych przedziażÿach:
1
prostej opisujżÿcej przebieg zmian momentu gnżÿcego jest równy P ;
3 przedziażÿ AB: 0 żÿ x żÿ l (rys. 4.12)
5
w przedziale CD siżÿa tnżÿca ma wartożÿżÿ stażÿżÿ ujemnżÿ ( żÿ P ), dlatego moment
3
2
T (x ) żÿ RAy żÿ P
gnżÿcy w tym przedziale maleje liniowo
tangens nachylenia prostej opisujżÿcej
3
5
przebieg zmian momentu gnżÿcego jest równy żÿ P ;
3
2
w przekroju B wystżÿpuje skok wartożÿci siżÿy tnżÿcej T równy P , co odpowiada
M (x ) żÿ RAy x żÿ P x
3
sile skupionej P stanowiżÿcej obciżÿżÿenie rozpatrywanej belki w tym punkcie;
2
w przekroju C wystżÿpuje skok wartożÿci siżÿy tnżÿcej T równy 2P , co odpowiada
M (x żÿ 0) żÿ P żÿ 0 żÿ 0
3
sile skupionej 2P stanowiżÿcej obciżÿżÿenie rozpatrywanej belki w tym punkcie;
2 2
rozpatrywana belka nie jest obciżÿżÿona momentem skupionym, dlatego teżÿ
M (x żÿ l ) żÿ P żÿl żÿ P l Rys. 4.12
3 3
nie wystżÿpujżÿ skoki wartożÿci na wykresie momentów gnżÿcych.
przedziażÿ BC: l żÿ x żÿ 2l (rys. 4.13)
2
T (x ) żÿ RAy żÿ P
3
Rozwiżÿzywanie belek prostych i przegubowych
wyznaczanie reakcji i wykresów siżÿ przekrojowych 4.7 4.16 Wytrzymażÿożÿżÿ materiażÿów
2
Zadanie 4.5.
M (x ) żÿ RAy x żÿ M żÿ P x żÿ P l
3
Wyznaczyżÿ reakcje oraz wykresy siżÿ tnżÿcych T i momentów gnżÿcych M dla belki
2 1
przedstawionej na rys. 4.34. Dane: P , l , q żÿ P /l , M żÿ 2P l .
M (x żÿ l ) żÿ P żÿl żÿ P l żÿ żÿ P l
3 3
2 1
M (x żÿ 2l ) żÿ P żÿ 2l żÿ P l żÿ P l
3 3
Rys. 4.13
przedziażÿ CD: 0 żÿ x żÿ l (rys. 4.14)
1
T (x ) żÿ żÿRDy żÿ żÿ P
Rys. 4.34
3
Rozwiżÿzanie
1
M (x ) żÿ RDy x żÿ P x
Belkżÿ uwalniamy z wiżÿzów (rys. 4.35) i wyznaczamy wartożÿci reakcji, korzystajżÿc
3
z równażÿ równowagi statycznej (4.1b) i (4.1c). Obciżÿżÿenie ciżÿgżÿe zastżÿpujemy siżÿżÿ sku-
1
M (x żÿ 0) żÿ P żÿ 0 żÿ 0
pionżÿ o wartożÿci 2P .
3
1 1
żÿPiy żÿ 0 : żÿ RBy żÿ RCy żÿ P żÿ q żÿ 2l żÿ 0
M (x żÿ l ) żÿ P żÿl żÿ P l Rys. 4.14
3 3
żÿ RBy żÿ RCy żÿ P żÿ 2P żÿ 0
Wykresy siżÿ przekrojowych przedstawiono na rys. 4.15.
RBy żÿ RCy żÿ P
żÿMiB żÿ 0 : RCy żÿ 2l żÿ M żÿ P żÿl żÿ (q żÿ 2l )żÿl żÿ 0
2RCy l żÿ 2P l żÿ P l żÿ 2P l żÿ 0
2RCy l żÿ P l
1
RCy żÿ P
2
1 1
RBy żÿ P żÿ RCy żÿ P żÿ P żÿ P
2 2
Rys. 4.35
Wyznaczamy siżÿy tnżÿce T oraz momenty gnżÿce M w poszczególnych przedziażÿach:
Rys. 4.15
przedziażÿ AB: 0 żÿ x żÿ l (rys. 4.36)
T (x) żÿ P
M (x) żÿ P x
M (x żÿ 0) żÿ P żÿ 0 żÿ 0
M (x żÿ l ) żÿ P żÿl żÿ P l
przedziażÿ BC: l żÿ x żÿ 3l (rys. 4.37)
1 P 3 P 5 P
T (x) żÿ P żÿ RBy żÿ q (x żÿ l ) żÿ P żÿ P żÿ (x żÿ l ) żÿ P żÿ x żÿ P żÿ P żÿ x
2 l 2 l 2 l
Rozwiżÿzywanie belek prostych i przegubowych
wyznaczanie reakcji i wykresów siżÿ przekrojowych 4.17 4.18 Wytrzymażÿożÿżÿ materiażÿów
Rys. 4.36 Rys. 4.38
Wykresy siżÿ przekrojowych przedstawiono na rys. 4.39.
Rys. 4.37
5 P 3
T (x żÿ l ) żÿ P żÿ żÿl żÿ P
2 l 2
5 P 1
T (x żÿ 3l ) żÿ P żÿ żÿ 3l żÿ żÿ P
2 l 2
(x żÿ l )2 1 P
2
M (x) żÿ P x żÿ RBy (x żÿ l ) żÿ q żÿ P x żÿ P(x żÿ l ) żÿ (x2 żÿ 2x l żÿ l ) żÿ
2 2 2l
1 1 P 1 P 5
2
żÿ P x żÿ P x żÿ P l żÿ x2 żÿ P x żÿ P l żÿ żÿ x żÿ P x żÿ P l
2 2 2l 2 2l 2
P 5 1 5
2
M (x żÿ l ) żÿ żÿ żÿl żÿ P żÿl żÿ P l żÿ żÿ P l żÿ P l żÿ P l żÿ P l
Rys. 4.39
2l 2 2 2
P 5 9 15
M (x żÿ 3l ) żÿ żÿ żÿ(3l )2 żÿ P żÿ 3l żÿ P l żÿ żÿ P l żÿ P l żÿ P l żÿ 2P l
2l 2 2 2
Okreżÿlamy pożÿożÿenie przekroju, w którym siżÿa tnżÿca jest równa zeru:
5 P
P żÿ x żÿ 0
2 l
5
x żÿ l
2
W tym przekroju moment gnżÿcy osiżÿga lokalne ekstremum, równe:
2
5 P 5 5 5 25 25 17
żÿ żÿ żÿ żÿ
M x żÿ l żÿ żÿ żÿ l żÿ P żÿ l żÿ P l żÿ żÿ P l żÿ P l żÿ P l żÿ P l
żÿ żÿ żÿ żÿ
2 2l 2 2 2 8 4 8
żÿ żÿ żÿ żÿ
przedziażÿ CD: 0 żÿ x żÿ l (rys. 4.38)
T (x) żÿ 0
M (x) żÿ M żÿ 2P l
Rozwiżÿzywanie belek prostych i przegubowych
wyznaczanie reakcji i wykresów siżÿ przekrojowych 4.23 4.24 Wytrzymażÿożÿżÿ materiażÿów
Zadanie 4.8.
Wyznaczyżÿ reakcje oraz wykresy siżÿ tnżÿcych T i momentów gnżÿcych M dla belki
przedstawionej na rys. 4.52. Dane: P , l , q żÿ P /l , M żÿ 2P l .
Rys. 4.54
przedziażÿ BC: l żÿ x żÿ 2l (rys. 4.55)
Rys. 4.52
P P
T (x) żÿ RAy żÿ q x żÿ P żÿ 2P żÿ x żÿ P żÿ P żÿ x
l l
Rozwiżÿzanie
Belkżÿ uwalniamy z wiżÿzów (rys. 4.53) i wyznaczamy wartożÿci reakcji, korzystajżÿc P
T (x żÿ l ) żÿ P żÿ żÿl żÿ 0
l
z równażÿ równowagi statycznej (4.1b) i (4.1c). Obciżÿżÿenie ciżÿgżÿe zastżÿpujemy siżÿżÿ sku-
pionżÿ o wartożÿci 3P . P
T (x żÿ 2l ) żÿ P żÿ żÿ 2l żÿ żÿP
l
żÿPiy żÿ 0 : żÿ RAy żÿ P żÿ q żÿ 3l żÿ 2P żÿ 0
żÿ RAy żÿ P żÿ 3P żÿ 2P żÿ 0 x 1 P
2
M (x) żÿ M żÿ RAy x żÿ q x żÿ P(x żÿ l ) żÿ P l żÿ 2P x żÿ x żÿ P x żÿ P l żÿ
A
2 2 2l
RAy żÿ 2P
3 P
żÿ P l żÿ P x żÿ x2
3
2 2l
żÿMiA żÿ 0 : żÿ M żÿ M żÿ P żÿl żÿ (q żÿ 3l )żÿ l żÿ 2P żÿ 2l żÿ 0
A
2
3 P
2
M (x żÿ l ) żÿ P l żÿ P żÿl żÿ żÿl żÿ 2P l
9
żÿ M żÿ 2P l żÿ P l żÿ P l żÿ 4P l żÿ 0 2 2l
A
2
3 P 3
1
M (x żÿ 2l ) żÿ P l żÿ P żÿ 2l żÿ żÿ(2l )2 żÿ P l
M żÿ P l
A
2 2l 2
2
Rys. 4.53
Rys. 4.55
Wyznaczamy siżÿy tnżÿce T oraz momenty gnżÿce M w poszczególnych przedziażÿach:
przedziażÿ CD: 0 żÿ x żÿ l (rys. 4.56)
przedziażÿ AB: 0 żÿ x żÿ l (rys. 4.54)
P
P
T (x) żÿ q x żÿ x
T (x) żÿ RAy żÿ q x żÿ 2P żÿ x
l
l
P
P
T (x żÿ 0) żÿ żÿ 0 żÿ 0
T (x żÿ 0) żÿ 2P żÿ żÿ 0 żÿ 2P
l
l
P
P
T (x żÿ l) żÿ żÿl żÿ P
T (x żÿ l ) żÿ 2P żÿ żÿl żÿ P
l
l
x P
x 1 P
M (x ) żÿ M żÿ q x żÿ 2P l żÿ x2
M (x) żÿ M żÿ RAy x żÿ q x żÿ P l żÿ 2P x żÿ x2
A
2 2l
2 2 2l
P
1 P 1
M (x żÿ 0) żÿ 2P l żÿ żÿ 02 żÿ 2P l
M (x żÿ 0) żÿ P l żÿ 2P żÿ 0 żÿ żÿ 02 żÿ P l
2l
2 2l 2
P 3
1 P 2
2
M (x żÿ l ) żÿ 2P l żÿ żÿl żÿ P l
M (x żÿ l ) żÿ P l żÿ 2P żÿl żÿ żÿl żÿ 2P l
2l 2
2 2l
Rozwiżÿzywanie belek prostych i przegubowych
wyznaczanie reakcji i wykresów siżÿ przekrojowych 4.25 4.26 Wytrzymażÿożÿżÿ materiażÿów
Zadanie 4.9.
Wyznaczyżÿ reakcje oraz wykresy siżÿ tnżÿcych T i momentów gnżÿcych M dla belki
przedstawionej na rys. 4.58. Dane: P , l , q żÿ P /l , M żÿ P l .
Rys. 4.56
Rys. 4.58
Wykresy siżÿ przekrojowych przedstawiono na rys. 4.57.
Rozwiżÿzanie
Belkżÿ uwalniamy z wiżÿzów (rys. 4.59) i wyznaczamy wartożÿci reakcji, korzystajżÿc
z równażÿ równowagi statycznej (4.1b) i (4.1c). Obciżÿżÿenie ciżÿgżÿe zastżÿpujemy siżÿżÿ sku-
pionżÿ o wartożÿci q żÿl żÿ P .
żÿPiy żÿ 0 : żÿ RAy żÿ REy żÿ q żÿl żÿ P żÿ 0
żÿ RAy żÿ REy żÿ P żÿ P żÿ 0
RAy żÿ REy żÿ 2P
1
żÿMiA żÿ 0 : REy żÿ 4l żÿ M żÿ (q żÿl )żÿ l żÿ P żÿ3l żÿ 0
2
1
4REy l żÿ P l żÿ P l żÿ 3P l żÿ 0
2
5
4REy l żÿ P l
2
5
REy żÿ P
8
Rys. 4.57
5 11
RAy żÿ 2P żÿ REy żÿ 2P żÿ P żÿ P
8 8
Rys. 4.59
Wyznaczamy siżÿy tnżÿce T oraz momenty gnżÿce M w poszczególnych przedziażÿach:
przedziażÿ AB: 0 żÿ x żÿ l (rys. 4.60)
11 P
T (x) żÿ RAy żÿ q x żÿ P żÿ x
8 l
11 P 11
T (x żÿ 0) żÿ P żÿ żÿ 0 żÿ P
8 l 8
11 P 3
T (x żÿ l ) żÿ P żÿ żÿl żÿ P
8 l 8
x 11 P
2
M (x) żÿ RAy x żÿ q x żÿ P x żÿ x
2 8 2l
Rozwiżÿzywanie belek prostych i przegubowych
wyznaczanie reakcji i wykresów siżÿ przekrojowych 4.27 4.28 Wytrzymażÿożÿżÿ materiażÿów
Rys. 4.60 Rys. 4.62
11 P
M (x żÿ 0) żÿ P żÿ 0 żÿ żÿ 02 żÿ 0
8 2l
11 P 7
2
M (x żÿ l ) żÿ P żÿl żÿ żÿl żÿ P l
8 2l 8
przedziażÿ BC: l żÿ x żÿ 2l (rys. 4.61)
11 3 Rys. 4.63
T (x) żÿ RAy żÿ q l żÿ P żÿ P żÿ P
8 8
3 5
M (x żÿ l ) żÿ żÿ P żÿl żÿ P l żÿ P l
1 11
żÿ żÿ 1 3 1
8 8
M (x) żÿ RAy x żÿ q l żÿ x żÿ l żÿ P x żÿ P x żÿ P l żÿ P x żÿ P l
żÿ żÿ
2 8 2 8 2
żÿ żÿ
3 1
M (x żÿ 2l ) żÿ żÿ P żÿ 2l żÿ P l żÿ P l
3 1 7
8 4
M (x żÿ l ) żÿ P żÿl żÿ P l żÿ P l
8 2 8
3 1 5
Wykresy siżÿ przekrojowych przedstawiono na rys. 4.64.
M (x żÿ 2l ) żÿ P żÿ 2l żÿ P l żÿ P l
8 2 4
Rys. 4.61
przedziażÿ DE: 0 żÿ x żÿ l (rys. 4.62)
5
T (x) żÿ żÿREy żÿ żÿ P
8
5
M (x) żÿ REy x żÿ P x
8
5
M (x żÿ 0) żÿ P żÿ 0 żÿ 0
8
Rys. 4.64
5 5
M (x żÿ l ) żÿ P żÿl żÿ P l
8 8
przedziażÿ CD: l żÿ x żÿ 2l (rys. 4.63)
5 3
T (x) żÿ żÿREy żÿ P żÿ żÿ P żÿ P żÿ P
8 8
5 3
M (x) żÿ REy x żÿ P (x żÿ l ) żÿ P x żÿ P x żÿ P l żÿ żÿ P x żÿ P l
8 8
Rozwiżÿzywanie belek prostych i przegubowych
wyznaczanie reakcji i wykresów siżÿ przekrojowych 4.37 4.38 Wytrzymażÿożÿżÿ materiażÿów
RAy żÿ 4P żÿ RDy
Zadanie 4.12.
Wyznaczyżÿ reakcje oraz wykresy siżÿ tnżÿcych T i momentów gnżÿcych M dla belki
2(4P żÿ RDy ) żÿ 3RDy żÿ 10P
przegubowej przedstawionej na rys. 4.81. Dane: P , l , M żÿ P l .
8P żÿ 2RDy żÿ 3RDy żÿ 10P
RDy żÿ 2P
RAy żÿ 4P żÿ 2P żÿ 2P
Rys. 4.81 M żÿ 2 żÿ 2P żÿl żÿ 3P l żÿ P l
A
Rozwiżÿzanie
Wyznaczamy siżÿy tnżÿce T oraz momenty gnżÿce M w poszczególnych przedziażÿach:
Belkżÿ uwalniamy z wiżÿzów (rys. 4.82) i wyznaczamy wartożÿci reakcji, korzystajżÿc
przedziażÿ AB: 0 żÿ x żÿ l (rys. 4.83)
z równażÿ równowagi statycznej (4.1b) i (4.1c):
T (x) żÿ RAy żÿ 2P
żÿPiy żÿ 0 : żÿ RAy żÿ RDy żÿ RHy żÿ 3P żÿ 2P żÿ 0
M (x) żÿ żÿM żÿ RAy x żÿ żÿP l żÿ 2P x
A
RAy żÿ RDy żÿ RHy żÿ 5P
M (x żÿ 0) żÿ żÿP l żÿ 2P żÿ 0 żÿ żÿP l
żÿMiA żÿ 0 : M żÿ RDy żÿ 3l żÿ RHy żÿ7l żÿ M żÿ 3P żÿl żÿ 2P żÿ 6l żÿ 0
A
M (x żÿ l ) żÿ żÿP l żÿ 2P żÿl żÿ P l
M żÿ 3RDy l żÿ 7RHy l żÿ P l żÿ 3P l żÿ12P l żÿ 0
A
M żÿ 3RDy l żÿ 7RHy l żÿ 14P l
A
Rys. 4.83
przedziażÿ BD: l żÿ x żÿ 3l (rys. 4.84)
Rys. 4.82
T (x) żÿ RAy żÿ 3P żÿ 2P żÿ 3P żÿ żÿP
Dodatkowe równania wynikajżÿ z faktu, iżÿ momenty w punktach C i F (przeguby),
M (x ) żÿ żÿM żÿ RAy x żÿ 3P (x żÿ l ) żÿ żÿP l żÿ 2P x żÿ 3P x żÿ 3P l żÿ 2P l żÿ P x
sżÿ równe zeru:
A
L P
M żÿ M żÿ 0
M (x żÿ l ) żÿ 2P l żÿ P żÿl żÿ P l
C C
L P
M żÿ M żÿ 0 M (x żÿ 2l ) żÿ 2P l żÿ P żÿ 2l żÿ 0
F F
Równanie zapisane dla lewej strony punktu C, jest nastżÿpujżÿce: M (x żÿ 3l ) żÿ 2P l żÿ P żÿ 3l żÿ żÿP l
L
żÿM żÿ 0 : żÿ M żÿ RAy żÿ2l żÿ 3P żÿl żÿ 0
C A
M żÿ 2RAy l żÿ 3P l
A
natomiast równanie dla prawej strony punktu F ma postażÿ:
P
żÿM żÿ 0 : RHy żÿ2l żÿ 2P żÿl żÿ 0
F
RHy żÿ P
Rys. 4.84
Podstawiajżÿc wyznaczonżÿ reakcjżÿ RHy oraz wyprowadzonżÿ zależÿnożÿżÿ na moment
przedziażÿ DE: 3l żÿ x żÿ 4l (rys. 4.85)
M do równażÿ równowagi, otrzymujemy nastżÿpujżÿcy ukżÿad dwóch równażÿ z dwiema
A
T (x) żÿ RAy żÿ 3P żÿ RDy żÿ 2P żÿ 3P żÿ 2P żÿ P
niewiadomymi:
żÿ
Ay
żÿR żÿ RDy żÿ 4P
M (x ) żÿ żÿM żÿ RAy x żÿ 3P (x żÿ l ) żÿ RDy (x żÿ 3l ) żÿ
A
żÿ
żÿ2RAy żÿ 3RDy żÿ 10P
żÿ
żÿ żÿP l żÿ 2P x żÿ 3P x żÿ 3P l żÿ 2P x żÿ 6P l żÿ P x żÿ 4P l
Rozwiżÿzywanie belek prostych i przegubowych
wyznaczanie reakcji i wykresów siżÿ przekrojowych 4.39 4.40 Wytrzymażÿożÿżÿ materiażÿów
Rys. 4.85
M (x żÿ 3l ) żÿ P żÿ 3l żÿ 4P l żÿ żÿP l
M (x żÿ 4l ) żÿ P żÿ 4l żÿ 4P l żÿ 0
przedziażÿ GH: 0 żÿ x żÿ l (rys. 4.86)
T (x) żÿ żÿRHy żÿ żÿP
M (x) żÿ RHy x żÿ P x
M (x żÿ 0) żÿ P żÿ 0 żÿ 0
Rys. 4.88
M (x żÿ l ) żÿ P żÿl żÿ P l
Rys. 4.86
przedziażÿ FG: l żÿ x żÿ 3l (rys. 4.87)
T (x) żÿ żÿRHy żÿ 2P żÿ P
M (x) żÿ RHy x żÿ 2P (x żÿ l ) żÿ P x żÿ 2P x żÿ 2P l żÿ żÿP x żÿ 2P l
M (x żÿ l ) żÿ żÿP żÿl żÿ 2P l żÿ P l
M (x żÿ 2l ) żÿ żÿP żÿ 2l żÿ 2P l żÿ 0
M (x żÿ 3l ) żÿ żÿP żÿ 3l żÿ 2P l żÿ żÿP l
Rys. 4.87
Wykresy siżÿ przekrojowych przedstawiono na rys. 4.88.