WM Z5/1. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 1 1
Z5/1. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 
ZADANIE 1
Z5/1.1. Zadanie 1
Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki złożonej przedstawionej na rysunku
Z5/1.1. Wymiary belki podane sÄ… w metrach.
16,0 kN/m 24,0 kN/m
12,0 kN
8,0 kNm
B
D
A
E
C
[m]
4,0 2,0 3,0 1,0
Rys. Z5/1.1. Belka złożona
Z5/1.2. Analiza kinematyczna belki
Rysunek Z5/1.2. przedstawia belkę złożoną traktowaną w analizie kinematycznej jako płaski układ
tarcz sztywnych.
A B C D E
1
C
I II
2
3
4
Rys. Z5/1.2. Belka złożona jako płaski układ tarcz sztywnych
Jak widać na rysunku Z5/1.2 układ składa się z dwóch tarcz sztywnych, które razem posiadają sześć
stopni swobody. Tarcze te są podparte czterema prętami podporowymi 1, 2, 3 i 4 oraz przegubem
rzeczywistym C. Wszystkie te więzy odbierają razem sześć stopni swobody. Został więc spełniony warunek
konieczny geometrycznej niezmienności (2.4). Belka może więc być układem geometrycznie niezmiennym
i statycznie wyznaczalnym.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie
przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana. Stanowi ona
więc podłoże dla tarczy sztywnej numer II.
Tarcza sztywna numer II jest podparta przegubem rzeczywistym C oraz prętem podporowym numer 4.
Przegub rzeczywisty C nie leży na kierunku pręta podporowego numer 4. Został więc spełniony warunek
dostateczny geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna
i statycznie wyznaczalana.
Ponieważ obie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne i statycznie wyznaczalne możemy więc
stwierdzić, że cały płaski układ tarcz sztywnych jest geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny.
Możemy więc przystąpić do dalszych obliczeń.
Z5/1.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Chcąc wyznaczyć reakcje podporowe musimy belkę złożoną rozłożyć na dwie belki proste. Rysunek
Z5/1.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki złożonej.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z5/1. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 1 2
24,0 kN/m
12,0 kN
HC(CE) C
D
E
8,0 kNm
16,0 kN/m
VC(CE)
HC(AC) C HC(CE)
VD
HA A
B
C
Y HC(AC)
VC(AC)
VB
VA VC(CE)
X VC(AC)
4,0 2,0 3,0 1,0
[m]
Rys. Z5/1.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Zgodnie z rysunkiem Z5/1.3 wartości reakcji działających w przegubie rzeczywistym C spełniają
warunki.
śą źą
AC
H =HśąCEźą , (Z5/1.1)
C C
śą źą śą źą
AC CE
V =V . (Z5/1.2)
C C
Poziomą reakcję w przegubie rzeczywistym C wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił
działających na belkę CE na oś poziomą X
śą źą śą źą
CE CE
²Ä… X =H =0
C
. (Z5/1.3)
śą źą
CE
H =0,0kN
C
Uwzględniając (Z5/1.1) otrzymamy
śą źą
AC
H =0,0 kN . (Z5/1.4)
C
Poziomą reakcję na podporze przegubowo-nieprzesuwnej A wyznaczymy z równania sumy rzutów
wszystkich sił działających na belkę AC na oś poziomą X
śą źą
AC
²Ä… X =H -Hśą ACźą=0
A C
. (Z5/1.5)
H =0,0kN
A
Wyznaczania reakcji pionowych zaczniemy od belki CE, ponieważ na belkę tą działają tylko dwie
takie reakcje, a my dysponujemy dwoma równaniami równowagi.
Pionową reakcję na podporze przegubowo-przesuwnej D otrzymamy z równania sumy momentów
wszystkich sił działających na belkę CE względem punktu C.
śą CEźą
²Ä… M =-V Å"3,0ƒÄ…24,0Å"3,0Å"1Å"3,0ƒÄ…12,0Å"4,0=0
C D
2 . (Z5/1.6)
V =52,0kN
D
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z5/1. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 1 3
Pionową reakcję przegubie rzeczywistym C otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił
działających na belkę CE względem punktu D.
1
śą CEźą śąCE źą
²Ä… M =V Å"3,0-24,0Å"3,0Å" Å"3,0ƒÄ…12,0Å"1,0=0
D C
2
. (Z5/1.7)
śąCEźą
V =32,0 kN
C
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił
działających na belkę CE na oś pionową Y.
śą źą
CE
²Ä… Yśą CEźą=V ƒÄ…V -24,0Å"3,0-12,0=32,0ƒÄ…52,0-84,0=0 . (Z5/1.8)
C D
Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę CE zostały obliczone poprawnie i znajdują
się w równowadze.
Uwzględniając (Z5/1.2) otrzymamy
śą źą
AC
V =32,0 kN . (Z5/1.9)
C
Pionową reakcję na podporze przegubowo-przesuwnej B otrzymamy z równania sumy momentów
wszystkich sił działających na belkę AC względem punktu A.
1
śą ACźą śą ACźą
²Ä… M =-V Å"4,0ƒÄ…8,0ƒÄ…16,0Å"4,0Å" Å"4,0ƒÄ…V Å"6,0=0
A B C
2
1
. (Z5/1.10)
-V Å"4,0ƒÄ…8,0ƒÄ…16,0Å"4,0Å" Å"4,0ƒÄ…32,0Å"6,0=0
B
2
V =82,0 kN
B
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Pionową reakcję na podporze przegubowo-nieprzesuwnej A otrzymamy z równania sumy momentów
wszystkich sił działających na belkę AC względem punktu B.
1
śą ACźą śąAC źą
²Ä… M =V Å"4,0ƒÄ…8,0-16,0Å"4,0Å" Å"4,0ƒÄ…V Å"2,0=0
B A C
2
1
. (Z5/1.11)
V Å"4,0ƒÄ…8,0-16,0Å"4,0Å" Å"4,0ƒÄ…32,0Å"2,0=0
A
2
V =14,0 kN
A
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił
działających na belkę AC na oś pionową Y.
śą źą
AC
²Ä… Yśą ACźą=V ƒÄ…V -V -16,0Å"4,0=14,0ƒÄ…82,0-32,0-64,0=0 . (Z5/1.12)
A B C
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z5/1. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 1 4
Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę AC zostały obliczone poprawnie i znajdują
się w równowadze.
Rysunek Z5/1.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki
złożonej.
12,0 kN
24,0 kN/m
C
D
E
8,0 kNm
32,0 kN
16,0 kN/m
52,0 kN
A
C
B
32,0 kN
14,0 kN
82,0 kN
[m]
4,0 2,0 3,0 1,0
Rys. Z5/1.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki złożonej
Z5/1.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB
Rysunek Z5/1.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym
są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
8,0 kNm
16,0 kN/m
A
N(x)
X
T(x)
M(x)
14,0 kN
x
Rys. Z5/1.5. Siły działające w przedziale AB
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała
postać
kN
qśą xźą=16,0 . (Z5/1.13)
m
Jak widać na rysunku Z5/1.5 funkcja siły normalnej jest równa zero. Siłę poprzeczną wyznaczymy
z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na kierunek tej siły.
²Ä… T=T śą xźą-14,0ƒÄ…16,0Å"x=0
. (Z5/1.14)
T śąx źą=14,0-16,0Å"x
Analizując wzór (Z5/1.14) widać, że siłę, która ma zwrot zgodny z dodatnim zwrotem siły poprzecznej
zapisaliśmy z minusem natomiast siłę, która ma zwrot przeciwny zapisaliśmy z plusem. W dalszej części
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z5/1. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 1 5
będziemy już korzystali z tej zasady. Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować
należy wyznaczyć jej wartości na obu końcach przedziału. Wartości te wynoszą
T śą0,0źą=14,0 kN
. (Z5/1.15)
T śą4,0źą=14,0-16,0Å"4,0=-50,0 kN
Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału AB wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc miejsce
zerowe w tym przedziale. Znajduje siÄ™ ono
14,0-16,0Å"x0=0
(Z5/1.16)
x0=0,875 m
od początku przedziału AB czyli od punktu A.
Moment zginający wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą
część belki względem punktu, w którym wyznaczamy moment zginający.
x
²Ä… M =-M śą xźąƒÄ…8,0ƒÄ…14,0Å"x-16,0Å"xÅ" =0
2 . (Z5/1.17)
M x =-8,0Å"x2ƒÄ…14,0Å"xƒÄ…8,0
śą źą
Analizując wzór (Z5/1.17) widać, że moment od siły, która kręci zgodnie ze zwrotem dodatniego momentu
zginającego zapisaliśmy z minusem natomiast moment od siły, która kręci przeciwnie z plusem. W dalszej
części będziemy już korzystali z tej zasady. Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją
jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wynoszą one
M śą0,0źą=8,0kNm
M 0,875 =-8,0Å"0,8752ƒÄ…14,0Å"0,875ƒÄ…8,0=14,13 kNm . (Z5/1.18)
śą źą
M śą4,0źą=-8,0Å"4,02ƒÄ…14,0Å"4,0ƒÄ…8,0=-64,0 kNm
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze, dodatnie zaś na dole.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (5.22) i (5.23). Mają one postać
dT śą xźą=-16,0=-qśą xźą .
(Z5/1.19)
dx
dM śą xźą=14,0-16,0Å"x=T śą xźą .
(Z5/1.20)
dx
Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale AB przedstawia rysunek
Z5/1.9.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z5/1. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 1 6
Z5/1.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC
Rysunek Z5/1.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym
są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
M(x)
X
C
N(x)
T(x)
32,0 kN
x
Rys. Z5/1.6. Siły działające w przedziale BC
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.
Jak widać na rysunku Z5/1.6 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła poprzeczna
ma postać
T śą xźą=32,0 kN . (Z5/1.21)
Moment zginający w przedziale BC będzie miał postać
M śą xźą=-32,0Å"x . (Z5/1.22)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
M śą0,0źą=0,0kNm
. (Z5/1.23)
M śą2,0źą=-32,0Å"2,0=-64,0 kNm
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (5.31) i (5.32). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać
dM śą xźą=-32,0=-T śą xźą .
(Z5/1.24)
dx
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek
Z5/1.9.
Z5/1.6. Funkcje sił przekrojowych w przedziale CD
Rysunek Z5/1.7 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale CD. Na rysunku tym
są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z5/1. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 1 7
24,0 kN/m
C N(x) X
T(x)
M(x)
32,0 kN
x
Rys. Z5/1.7. Siły działające w przedziale CD
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała
postać
kN
qśą xźą=24,0 . (Z5/1.25)
m
Jak widać na rysunku Z5/1.7 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa zero. Siła
poprzeczna ma postać
T śą xźą=32,0-24,0Å"x . (Z5/1.26)
Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć jej wartości na obu
końcach przedziału. Wartości te wynoszą
T śą0,0źą=32,0 kN
. (Z5/1.27)
T śą4,0źą=32,0-24,0Å"3,0=-40,0 kN
Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału CD wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc
miejsce zerowe w tym przedziale. Znajduje siÄ™ ono
32,0-24,0Å"x0=0
(Z5/1.28)
x0=1,333 m
od początku przedziału CD czyli od punktu C.
Moment zginający w przedziale CD ma postać
x
M śą xźą=32,0Å"x-24,0Å"xÅ" =-12,0Å"x2ƒÄ…32,0Å"x . (Z5/1.29)
2
Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy
wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wynoszą one
M śą0,0źą=0,0kNm
M 1,333 =-12,0Å"1,3332ƒÄ…32,0Å"1,333=21,33 kNm . (Z5/1.30)
śą źą
M śą3,0źą=-12,0Å"3,02ƒÄ…32,0Å"3,0=-12,0 kNm
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z5/1. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 1 8
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze, dodatnie zaś na dole.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (5.22) i (5.23). Pierwsze z nich ma postać
dT śąxźą
. (Z5/1.31)
=-24,0=-qśąxźą
dx
Drugie z nich ma postać
dM śą xźą=32,0-24,0Å"x=T śąxźą .
(Z5/1.32)
dx
Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale CD przedstawia rysunek
Z5/1.9.
Z5/1.7. Funkcje sił przekrojowych w przedziale DE
Rysunek Z5/1.8 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale DE. Na rysunku tym
są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
12,0 kN
M(x)
T(x)
X
E
N(x)
x
Rys. Z5/1.8. Siły działające w przedziale DE
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.
Jak widać na rysunku Z5/1.8 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła poprzeczna
ma postać
T śą xźą=12,0 kN . (Z5/1.33)
Moment zginający w przedziale DE będzie miał postać
M śą xźą=-12,0Å"x . (Z5/1.34)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
M śą0,0źą=0,0 kNm
. (Z5/1.35)
M śą1,0źą=-12,0Å"1,0=-12,0 kNm
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z5/1. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 1 9
16,0 kN/m 24,0 kN/m
12,0 kN
8,0 kNm
B
D
A
E
C
52,0 kN
82,0 kN
14,0 kN
[m]
4,0 2,0 3,0 1,0
32,0
12,0
T(x) [kN]
1,333 1,667
0,875 3,125
M(x) [kNm]
0,875 3,125
1,333 1,667
Rys. Z5/1.9. Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w belce złożonej
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (5.31) i (5.32). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać
dM śą xźą=-12,0=-T śą xźą .
(Z5/1.36)
dx
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale DE przedstawia rysunek
Z5/1.9.
Z5/1.8. Wykresy sił przekrojowych
Rysunek Z5/1.9 przedstawia ostateczne wykresy funkcji siły poprzecznej oraz momentu zginającego
w belce złożonej.
Dr inż. Janusz Dębiński
14,0
40,0
50,0
64,0
12,0
0,0
14,13
21,33
0,0
8,0