WM Z5/2. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 2 1
Z5/2. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 
ZADANIE 2
Z5/2.1. Zadanie 2
Narysować metodą punktów szczególnych wykresy sił przekrojowych dla belki złożonej przedsta-
wionej na rysunku Z5/2.1. Wymiary belki podane sÄ… w metrach.
16,0 kN/m 24,0 kN/m
12,0 kN
8,0 kNm
B
D
A
E
C
[m]
4,0 2,0 3,0 1,0
Rys. Z5/2.1. Belka złożona
Analiza kinematyczna belki złożonej przedstawionej na rysunku Z5/2.1 znajduje się w zadaniu 1.
Zgodnie z tamtym zadaniem rysunki Z5/2.2 i Z5/2.3 przedstawiają wartości i zwroty reakcji podporowych.
16,0 kN/m 24,0 kN/m
12,0 kN
8,0 kNm
B
D
A
E
C
52,0 kN
82,0 kN
14,0 kN
[m]
4,0 2,0 3,0 1,0
Rys. Z5/2.2. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji w belce złożonej
24,0 kN/m
12,0 kN
C
D
E
8,0 kNm
16,0 kN/m
32,0 kN
A
B 52,0 kN
C
82,0 kN
32,0 kN
14,0 kN
[m]
4,0 2,0 3,0 1,0
Rys. Z5/2.3. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki złożonej
Z5/2.2. Wykres siły poprzecznej
Zgodnie z rozdziałem 5 w przedziałach AB i CD siła poprzeczna będzie funkcją liniową natomiast
w pozostałych przedziałach będzie miała wartość stałą. Moment skupiony 8,0 kNm oraz przegub
rzeczywisty C nie będą wpływały na wartość siły poprzecznej. Pionowe reakcje na podporach A, B i D będą
powodowały skok siły poprzecznej o wartości bezwzględnej równej danej reakcji.
Rysowanie wykresu siły poprzecznej zaczniemy od punktu A. W punkcie tym działa reakcja o wartoś-
ci 14,0 kN do góry. Siła poprzeczna w tym punkcie wynosi więc
T =14,0 kN
. (Z5/2.1)
A
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z5/2. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 2 2
W przedziale AB działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone o wartości 16,0 kN/m w dół więc
siła poprzeczna w tym przedziale będzie liniowo opadać a w punkcie B tego przedziału wynosi
śą Lźą
T =14,0-16,0Å"4,0=-50,0 kN . (Z5/2.2)
B
Jak widać siła poprzeczna na obu końcach przedziału AB ma wartości przeciwnych znaków. W przedziale
tym będzie ona miała więc miejsce zerowe. Zgodnie ze wzorem (5.127) jego odległość od punktu A wynosi
xL=14,0 =0,875 m (Z5/2.3)
16,0
natomiast od punktu B, zgodnie ze wzorem (5.128) miejsce zerowe znajduje się w odległości
50,0
xP= =3,125 m . (Z5/2.4)
16,0
W punkcie B działa reakcja o wartości 82,0 kN w górę. Wartość siły poprzecznej z prawej strony
punktu B wynosi więc
śą Pźą
T =-50,0ƒÄ…82,0=32,0 kN . (Z5/2.5)
B
W przedziale BC nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna ma w całym przedziale oraz
z lewej strony punktu C wartość stałą równą
T =Tśą Lźą=32,0 kN . (Z5/2.6)
BC C
Przegub rzeczywisty C nie będzie wpływał na wartość siły poprzecznej więc z prawej strony punktu C siła
poprzeczna wynosi
śą źą
P
T =32,0 kN . (Z5/2.7)
C
W przedziale CD działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone o wartości 24,0 kN/m w dół więc
siła poprzeczna w tym przedziale będzie liniowo opadać a w punkcie D tego przedziału wynosi
śą źą
L
T =32,0-24,0Å"3,0=-40,0 kN . (Z5/2.8)
D
Jak widać siła poprzeczna na obu końcach przedziału CD ma wartości przeciwnych znaków. W przedziale
tym będzie ona miała więc miejsce zerowe. Zgodnie ze wzorem (5.127) jego odległość od punktu C wynosi
32,0
xL= =1,333 m (Z5/2.9)
24,0
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z5/2. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 2 3
natomiast od punktu D, zgodnie ze wzorem (5.128) miejsce zerowe znajduje się w odległości
40,0
xP= =1,667 m . (Z5/2.10)
24,0
W punkcie D działa reakcja o wartości 52,0 kN w górę. Wartość siły poprzecznej z prawej strony
punktu D wynosi więc
śąP źą
T =-40,0ƒÄ…52,0=12,0 kN . (Z5/2.11)
D
W przedziale DE nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna ma w całym przedziale
wartość stałą równą
T =12,0 kN
. (Z5/2.12)
DE
Rysunek Z5/2.4 przedstawia ostateczną postać wykresu siły poprzecznej w całej belce złożonej
wyznaczonego metodą punktów charakterystycznych.
8,0 kNm
12,0 kN
16,0 kN/m 24,0 kN/m
B D
A
E
C
14,0 kN
82,0 kN
52,0 kN
[m]
4,0 2,0 3,0 1,0
32,0
12,0
T(x) [kN]
1,333 1,667
0,875 3,125
Rys. Z5/2.4. Wykres siły poprzecznej w belce złożonej
a) b)
8,0 kNm 8,0 kNm
16,0 kN/m
MA MB(L)
A
A
14,0 kN
14,0 kN
[m]
4,0
Rys. Z5/2.5. Momenty zginające na obu końcach przedziału AB
Dr inż. Janusz Dębiński
14,0
40,0
50,0
WM Z5/2. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 2 4
Z5/2.3. Wykres momentu zginajÄ…cego
Zgodnie z rozdziałem 5 w przedziałach AB i CD moment zginający będzie funkcją kwadratową
natomiast w pozostałych przedziałach będzie funkcją liniową. Moment skupiony 8,0 kNm spowoduje skok
momentu zginającego w punkcie A. Poza tym wykres momentu będzie w całej belce ciągły. Moment
zginający w przegubie rzeczywistym C będzie miał wartość zero. W dalszej części, przy obliczaniu wartości
momentu zginającego w punktach charakterystycznych, siły, które kręcą zgodnie z założonym momentem
zginającym będziemy zapisywać z minusem, siły które kręcą przeciwnie z plusem.
Rysunek Z5/2.5 a) przedstawia moment zginajÄ…cy w punkcie A. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten
ma wartość
M =8,0 kNm
. (Z5/2.13)
A
Znak plus oznacza, że rozciąga on dolną część belki.
Rysunek Z5/2.5 b) przedstawia moment zginajÄ…cy w punkcie B z lewej strony podpory. Zgodnie z tym
rysunkiem moment ten ma wartość
1
śą Lźą
M =14,0Å"4,0ƒÄ…8,0-16,0Å"4,0Å" Å"4,0=-64,0kNm . (Z5/2.14)
B
2
Znak minus oznacza, że rozciąga on górną część belki.
a) b)
8,0 kNm
16,0 kN/m
16,0 kN/m
B C
A
M1
M1
32,0 kN
14,0 kN
82,0 kN
[m]
[m]
0,875
3,125 2,0
Rys. Z5/2.6. Ekstremalny moment zginajÄ…cy w przedziale AB
Rysunek Z5/2.6 przedstawia ekstremalny moment zginajÄ…cy w przedziale AB. Zgodnie z rysunkiem
Z5/2.6 a) wynosi on
1
M =14,0Å"0,875ƒÄ…8,0-16,0Å"0,875Å" Å"0,875=14,13 kNm (Z5/2.15)
1
2
Zgodnie z rysunkiem Z5/2.6 b) wynosi on
1
M =82,0Å"3,125-32,0Å"śą2,0ƒÄ…3,125źą-16,0Å"3,125Å" Å"3,125=14,13 kNm . (Z5/2.16)
1
2
Jak widać ekstremalne momenty zginające w przedziale AB obliczone dla lewej i prawej części belki AC są
takie same. Znak plus oznacza, że rozciąga on dolną część belki.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z5/2. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 2 5
a) b)
MB(P) MC(L)
C C
32,0 kN 32,0 kN
2,0
[m]
Rys. Z5/2.7. Momenty zginające na na obu końcach przedziału BC
Rysunek Z5/2.7 a) przedstawia moment zginajÄ…cy w punkcie B z prawej strony tego punktu. Zgodnie
z tym rysunkiem moment ten ma wartość
śą źą
P
M =-32,0Å"2,0=-64,0 kNm . (Z5/2.17)
B
Moment ten jest równy momentowi wyznaczonemu ze wzoru (Z5/2.14). Znak minus oznacza, że rozciąga on
górną część belki.
Rysunek Z5/2.7 b) przedstawia moment zginajÄ…cy w punkcie C z lewej strony tego punktu. Zgodnie
z tym rysunkiem moment ten ma wartość
śą źą
L
M =0,0 kNm . (Z5/2.18)
C
a) b)
24,0 kN/m
MC(P) MD(L)
C C
32,0 kN
32,0 kN
3,0
[m]
Rys. Z5/2.8. Momenty zginające na na obu końcach przedziału CD
Rysunek Z5/2.8 a) przedstawia moment zginajÄ…cy w punkcie C z prawej strony tego punktu. Zgodnie
z tym rysunkiem moment ten ma wartość
śą źą
P
M =0,0 kNm . (Z5/2.19)
C
Rysunek Z5/2.8 b) przedstawia moment zginajÄ…cy w punkcie D z lewej strony podpory. Zgodnie z tym
rysunkiem moment ten ma wartość
1
śąLźą
M =32,0Å"3,0-24,0Å"3,0Å" Å"3,0=-12,0 kNm . (Z5/2.20)
D
2
Znak minus oznacza, że rozciąga on górną część belki.
Rysunek Z5/2.9 przedstawia ekstremalny moment zginajÄ…cy w przedziale CD. Zgodnie z rysunkiem
Z5/2.9 a) wynosi on
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z5/2. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 2 6
a) b)
12,0 kN
24,0 kN/m 24,0 kN/m
C M2
D
E
M2
32,0 kN
52,0 kN
[m]
1,333
[m]
1,667 1,0
Rys. Z5/2.9. Ekstremalny moment zginajÄ…cy w przedziale CD
1
M =32,0Å"1,333-24,0Å"1,333Å" Å"1,333=21,33 kNm (Z5/2.21)
1
2
Zgodnie z rysunkiem Z5/2.9 b) wynosi on
1
M =52,0Å"1,667-12,0Å"śą1,0ƒÄ…1,667źą-24,0Å"1,667Å" Å"1,667=21,33 kNm . (Z5/2.22)
1
2
Jak widać ekstremalne momenty zginające w przedziale CD obliczone dla lewej i prawej części belki CE są
takie same. Znak plus oznacza, że rozciąga on dolną część belki.
a) b)
12,0 kN
12,0 kN
MD(P)
E E
ME
[m]
2,0
Rys. Z5/2.10. Momenty zginające na na obu końcach przedziału DE
Rysunek Z5/2.10 a) przedstawia moment zginajÄ…cy w punkcie D z prawej strony tego punktu. Zgodnie
z tym rysunkiem moment ten ma wartość
śą źą
P
M =-12,0Å"1,0=-12,0 kNm . (Z5/2.23)
D
Moment ten jest równy momentowi wyznaczonemu ze wzoru (Z5/2.20). Znak minus oznacza, że rozciąga on
górną część belki.
Rysunek Z5/2.10 b) przedstawia moment zginajÄ…cy w punkcie E. Zgodnie z tym rysunkiem moment
ten ma wartość
M =0,0 kNm
. (Z5/2.24)
E
Rysunek Z5/2.11 przedstawia ostateczne wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego w belce
złożonej wyznaczone metodą punktów charakterystycznych.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z5/2. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 2 7
8,0 kNm
16,0 kN/m 24,0 kN/m
12,0 kN
B
D
A
E
C
52,0 kN
82,0 kN
14,0 kN
[m]
4,0 2,0 3,0 1,0
32,0
12,0
T(x) [kN]
1,333 1,667
0,875 3,125
M(x) [kNm]
0,875 3,125
1,333 1,667
Rys. Z5/2.11. Ostateczne wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego wyznaczone metodą punktów
charakterystycznych
Dr inż. Janusz Dębiński
14,0
40,0
50,0
64,0
12,0
0,0
14,13
21,33
0,0
8,0