WM Z5/3. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 3 1
Z5/3. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 
ZADANIE 3
Z5/3.1. Zadanie 3
Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki złożonej przedstawionej na rysunku
Z5/3.1. Wymiary belki podane sÄ… w metrach.
16,0 kN/m
18,0 kN
A D
E
B C
[m]
1,0 2,0 2,0 1,0
Rys. Z5/3.1. Belka złożona
Z5/3.2. Analiza kinematyczna belki
Rysunek Z5/3.2. przedstawia belkę złożoną traktowaną w analizie kinematycznej jako płaski układ
tarcz sztywnych.
A C D
E
1
C
I II
2 3
4
Rys. Z5/3.2. Belka złożona jako płaski układ tarcz sztywnych
Jak widać na rysunku Z5/3.2 układ składa się z dwóch tarcz sztywnych, które razem posiadają sześć
stopni swobody. Tarcze te są podparte czterema prętami podporowymi 1, 2, 3 i 4 oraz przegubem
rzeczywistym C. Wszystkie te więzy odbierają razem sześć stopni swobody. Został więc spełniony warunek
konieczny geometrycznej niezmienności (2.4). Belka może więc być układem geometrycznie niezmiennym
i statycznie wyznaczalnym.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie
przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana. Stanowi ona
więc podłoże dla tarczy sztywnej numer II.
Tarcza sztywna numer II jest podparta przegubem rzeczywistym C oraz prętem podporowym numer 4.
Przegub rzeczywisty C nie leży na kierunku pręta podporowego numer 4. Został więc spełniony warunek
dostateczny geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna
i statycznie wyznaczalana.
Ponieważ obie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne i statycznie wyznaczalne możemy więc
stwierdzić, że cały płaski układ tarcz sztywnych jest geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny.
Możemy więc przystąpić do dalszych obliczeń.
Z5/3.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Chcąc wyznaczyć reakcje podporowe musimy belkę złożoną rozłożyć na dwie składowe belki proste.
Rysunek Z5/3.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki złożonej.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z5/3. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 3 2
16,0 kN/m
18,0 kN
HC(CE)
D
E
C
VC(CE)
VD
MA
16,0 kN/m
C
HC(AC)
HA HC(AC)
HC(CE)
A
Y
B C
VC(AC) VC(CE)
VC(AC)
X
VA
[m]
1,0 2,0 2,0 1,0
Rys. Z5/3.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Zgodnie z rysunkiem Z5/3.3 wartości reakcji działających w przegubie rzeczywistym C spełniają
warunki.
śą źą
AC
H =HśąCEźą , (Z5/3.1)
C C
śą źą śą źą
AC CE
V =V . (Z5/3.2)
C C
Poziomą reakcję w przegubie rzeczywistym C wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił
działających na belkę CE na oś poziomą X
śąCEźą śąCE źą
²Ä… X =H =0
C
. (Z5/3.3)
śą źą
CE
H =0,0kN
C
Uwzględniając (Z5/3.1) otrzymamy
śą źą
AC
H =0,0 kN . (Z5/3.4)
C
Poziomą reakcję na podporze przegubowo-nieprzesuwnej A wyznaczymy z równania sumy rzutów
wszystkich sił działających na belkę AC na oś poziomą X
śą źą
AC
²Ä… X =H -Hśą ACźą=0
A C
. (Z5/3.5)
H =0,0kN
A
Wyznaczania reakcji pionowych zaczniemy od belki CE, ponieważ na belkę tą działają tylko dwie
takie reakcje, a my dysponujemy dwoma równaniami równowagi. Pionową reakcję na podporze przegubo-
wo-przesuwnej D otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na belkę CE
względem punktu C.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z5/3. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 3 3
1
śąCE źą
²Ä… M =-V Å"2,0ƒÄ…16,0Å"2,0Å" Å"2,0ƒÄ…18,0Å"3,0=0
C D
2 . (Z5/3.6)
V =43,0 kN
D
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Pionową reakcję przegubie rzeczywistym C otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił
działających na belkę CE względem punktu D.
1
śą CEźą śąCE źą
²Ä… M =V Å"2,0-16,0Å"2,0Å" Å"2,0ƒÄ…18,0Å"1,0=0
D C
2
. (Z5/3.7)
śą źą
CE
V =7,0kN
C
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił
działających na belkę CE na oś pionową Y.
śąCE źą
²Ä… Yśą CEźą=V ƒÄ…V -16,0Å"2,0-18,0=43,0ƒÄ…7,0-50,0=0 . (Z5/3.8)
C D
Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę CE znajdują się w równowadze.
Wyznaczymy teraz reakcje w belce AC. Uwzględniając (Z5/3.2) otrzymamy pionową reakcję
działającą w przegubie rzeczywistym działającą na belkę AC o wartości
śą źą
AC
V =7,0 kN . (Z5/3.9)
C
Moment w utwierdzeniu A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na
belkę AC względem punktu A.
1
śą ACźą śą AC źą
²Ä… M =M ƒÄ…16,0Å"2,0Å" 1,0ƒÄ… Å"2,0 ƒÄ…V Å"3,0=0
A A C
śą źą
2
1 . (Z5/3.10)
M ƒÄ…16,0Å"2,0Å" 1,0ƒÄ… Å"2,0 ƒÄ…7,0Å"3,0=0
A
śą źą
2
M =-85,0 kNm
A
Reakcja ma więc zwrot przeciwny do założonego.
Pionową reakcję w utwierdzeniu A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działają-
cych na belkę AC względem punktu C.
1
śą ACźą
²Ä… M =V Å"3,0ƒÄ…M -16,0Å"2,0Å" Å"2,0=0
C A A
2
1
. (Z5/3.11)
V Å"3,0-85,0-16,0Å"2,0Å" Å"2,0=0
A
2
V =39,0 kN
A
Reakcja ta ma zwrot zgodny z założonym.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z5/3. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 3 4
W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił
działających na belkę AC na oś pionową Y.
śą źą
AC
²Ä… Yśą ACźą=V -V -16,0Å"2,0=39,0-7,0-32,0=0 . (Z5/3.12)
A C
Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę AC zostały obliczone poprawnie i znajdują
się w równowadze.
Rysunek Z5/3.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki
złożonej.
16,0 kN/m
18,0 kN
D
E
C
7,0 kN
43,0 kN
16,0 kN/m
85,0 kNm
A
C
B
7,0 kN
39,0 kN
[m]
1,0 2,0 2,0 1,0
Rys. Z5/3.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki złożonej
Z5/3.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB
Rysunek Z5/3.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym
są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
85,0 kNm
A N(x) X
T(x)
M(x)
39,0 kN
x
Rys. Z5/3.5. Siły działające w przedziale AB
Jak widać na rysunku Z5/3.5 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa zero. Siłę
poprzeczną wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na
kierunek tej siły.
²Ä… T=T śą xźą-39,0=0
. (Z5/3.13)
T śąxźą=39,0 kN
Analizując wzór (Z5/3.13) widać, że siłę, która ma zwrot zgodny z dodatnim zwrotem siły poprzecznej
zapisaliśmy z minusem natomiast siłę, która ma zwrot przeciwny zapisaliśmy z plusem. W dalszej części
będziemy już korzystali z tej zasady.
Moment zginający wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą
część belki względem punktu, w którym wyznaczamy moment zginający.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z5/3. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 3 5
²Ä… M =-M śą xźą-85,0ƒÄ…39,0Å"x=0
. (Z5/3.14)
M śą xźą=39,0Å"x-85,0
Analizując wzór (Z5/3.14) widać, że moment od siły, która kręci zgodnie ze zwrotem dodatniego momentu
zginającego zapisaliśmy z minusem natomiast moment od siły, która kręci przeciwnie z plusem. W dalszej
części będziemy już korzystali z tej zasady. Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją
jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
M śą0,0źą=-85,0 kN
. (Z5/3.15)
M śą1,0źą=39,0Å"1,0-85,0=-46,0 kNm
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (5.22) i (5.23). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać
dM śą xźą=39,0=T śą xźą .
(Z5/3.16)
dx
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale AB przedstawia rysunek
Z5/3.9.
Z5/3.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC
Rysunek Z5/3.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym
są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
16,0 kN/m
N(x)
X
C
M(x)
T(x)
7,0 kN
x
Rys. Z5/3.6. Siły działające w przedziale BC
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała
postać
kN
qśą xźą=16,0 . (Z5/3.17)
m
Jak widać na rysunku Z5/3.6 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa zero. Siła poprzecz-
na ma postać
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z5/3. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 3 6
T śą xźą=16,0Å"xƒÄ…7,0 . (Z5/3.18)
Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć jej wartość na obu
końcach przedziału. Wartości te wynoszą
T śą0,0źą=7,0 kN
. (Z5/3.19)
T śą2,0źą=16,0Å"2,0ƒÄ…7,0=39,0 kN
Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału BC wartości tych samych znaków. Nie będzie ona miała więc
miejsca zerowego w przedziale BC
Moment zginający w przedziale BC ma postać
x
M śą xźą=-7,0Å"x-16,0Å"xÅ" =-8,0Å"x2-7,0Å"x . (Z5/3.20)
2
Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy
wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wartości w punktach końcowych przedziału BC wynoszą
M śą0,0źą=0,0kNm
. (Z5/3.21)
M 2,0 =-8,0Å"2,02-7,0Å"2,0=-46,0 kNm
śą źą
Trzecim punktem będzie fakt, że  brzuszek paraboli musi być skierowany w stronę obciążenia ciągłego
równomiernie rozłożonego czyli w dół. Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część
przekroju pręta i będziemy je odkładać na górze.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (5.31) i (5.32). Pierwsze z nich ma postać
dT śąxźą
. (Z5/3.22)
=16,0=qśą xźą
dx
Drugie z nich ma postać
dM śą xźą=-16,0Å"x-7,0=-T śą xźą .
(Z5/3.23)
dx
Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek
Z5/3.9.
Z5/3.6. Funkcje sił przekrojowych w przedziale CD
Rysunek Z5/3.7 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale CD. Na rysunku tym
są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała
postać
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z5/3. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 3 7
16,0 kN/m
N(x)
X
C
M(x)
T(x)
7,0 kN
x
Rys. Z5/3.7. Siły działające w przedziale CD
kN
qśą xźą=16,0 . (Z5/3.24)
m
Jak widać na rysunku Z5/3.7 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa zero. Siła pop-
rzeczna ma postać
T śą xźą=7,0-16,0Å"x . (Z5/3.25)
Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć jej wartości na obu
końcach przedziału. Wartości te wynoszą
T śą0,0źą=7,0 kN
. (Z5/3.26)
T śą2,0źą=7,0-16,0Å"2,0=-25,0 kN
Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału CD wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc
miejsce zerowe w przedziale CD. Znajduje siÄ™ ono
7,0-16,0Å"x0=0
(Z5/3.27)
x0=0,4375 m
od początku przedziału CD czyli od punktu C.
Moment zginający w przedziale CD ma postać
x
M śą xźą=7,0Å"x-16,0Å"xÅ" =-8,0Å"x2ƒÄ…7,0Å"x . (Z5/3.28)
2
Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy
wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wynoszą one
M śą0,0źą=0,0kNm
M 0,4375 =-8,0Å"0,43752ƒÄ…7,0Å"0,4375=1,531 kNm . (Z5/3.29)
śą źą
M śą2,0źą=-8,0Å"2,02ƒÄ…7,0Å"2,0=-18,0 kNm
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze, dodatnie zaś na dole.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z5/3. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 3 8
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (5.22) i (5.23). Pierwsze z nich ma postać
dT śąxźą
. (Z5/3.30)
=-16,0=-qśą xźą
dx
Drugie z nich ma postać
dM śą xźą=-16,0Å"xƒÄ…7,0=T śąxźą .
(Z5/3.31)
dx
Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale CD przedstawia rysunek
Z5/3.9.
Z5/3.7. Funkcje sił przekrojowych w przedziale DE
Rysunek Z5/3.8 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale DE. Na rysunku tym
są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
18,0 kN
T(x)
M(x)
X
E
N(x)
x
Rys. Z5/3.8. Siły działające w przedziale DE
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.
Jak widać na rysunku Z5/3.8 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła poprzeczna
ma postać
T śą xźą=18,0 kN . (Z5/3.32)
Moment zginający w przedziale DE będzie miał postać
M śą xźą=-18,0Å"x . (Z5/3.33)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
M śą0,0źą=0,0 kNm
. (Z5/3.34)
M śą1,0źą=-18,0Å"1,0=-18,0 kNm
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z5/3. SIA
Y PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH  ZADANIE 3 9
16,0 kN/m
85,0 kNm
18,0 kN
A D
E
B C
43,0 kN
39,0 kN
[m]
1,0 2,0 2,0 1,0
39,0
18,0
T(x) [kN]
0,4375 1,563
M(x) [kNm]
0,4375 1,563
Rys. Z5/3.9. Ostateczne wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (5.31) i (5.32). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać
dM śą xźą=-18,0=-T śą xźą .
(Z5/3.35)
dx
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale DE przedstawia rysunek
Z5/3.9.
Z5/3.8. Wykresy sił przekrojowych
Rysunek Z5/3.9 przedstawia ostateczne wykresy funkcji siły poprzecznej oraz momentu zginającego
w belce złożonej.
Dr inż. Janusz Dębiński
7,0
25,0
85,0
18,0
46,0
0,0
0,0
1,531