Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokes'a




Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokes'a .

(102)


OPIS TEORETYCZNYW wielu przypadkach ciecze
rzeczywiste zachowują się w przyblizeniu jak ciecz doskonała, tzn. nielepka i
nieściśliwa. Dla cieczy nieściśliwej słuszne jest prawo
ciągłości przepływu. Wynika z niego, że rurze ciecz osiąga największą
prędkość w miejscach o małej powierzchni przekroju. Z drugiej strony
prędkość cieczy w rurze zależy od ciśnień: statycznego i hydrodynamicznego, o
czym mówi równanie
Bernoulliego. Oba te prawa nie uwzględniają różnicy prędkości cząsteczek
cieczy znajdujących się w różnej odległości od ścianek rury, gdyż nie
uwzględniają tarcia między cząsteczkami cieczy, tzw. tarcia wewnętrznego.
Wskutek tarcia wystepującego między cząsteczkami cieczy, poruszająca się
cząsteczka pociąga za sobą sąsiadujące cząsteczki tym silniej, im większa jest
siła lepkości. Te cząsteczki pociągają następne itd... Każda następna warstwa
porusza się jednak nieco wolniej, tym wolniej, im mniejsza lepkość cieczy.
Prędkość spada do zera dla cząstek przy ściankach, które są jakby "przyklejone",
a więc nieruchome.Tak więc maksymalną prędkość mają cząsteczki na osi rury, jak
pokazuje to rysunek:
Taka
sytuacja ma miejsce przy małych prędkościach cieczy przez gładką rurę. Mówimy,
że przepływ jest laminarny, czyli warstwowy. Kolejne warstwy cieczy płyną
nie zakłócając się wzajemnie.Przy dużych prędkościach w cieczy popjawiają
się zawirowania i ruch z laminarnego zmienia się w turbulentny. Rozkład
prędkości jest wtedy nieco inny:
Do
określenia lepkości cieczy posłużymy się takim modelem:
Płaską
deseczkę leżąca na powierzchni cieczy w szerokim, płytkim naczyniu, ciągniemy
siłą F, nadając jej stałą prędkość v0. Warstwa cieczy
przylegająca do deseczki ma prędkość taką samą jak deseczka, a kolejne, leżące
coraz głębiej warstwy, mają prędkości coraz mniejsze. Warstwa cieczy
przylegająca do dna jest nieruchoma. Zatem im płytsze naczynie, tym szybciej
maleje wraz z głębokością prędkość cieczy.Z doświadczenia wynika, że
wielkość tych zmian powiązna jest z działającą siłą zależnością:
lub
ogólniej
S
to powierzchnia deseczki,
to takzwany gradient prędkości, czyli zmiana wartości prędkości weraz z
głębokością x, to współczynnik proporcjonalności pełniący tu rolę
współczynnika lepkości dynamicznejKorzystając z powyższego wzoru można
wyprowadzić wzór, zwany prawem Poiseuille'a
Wzór
ten podaje, jaka objętość cieczy o współczynniku lepkości przepływa w czasie t przez rurę o promieniu 
R i długości  l, przy różnicy ciśnień na końcach rury 
p1-p2 Korzystając z tego wzoru, można
określić wielkość siły tarcia na jakie napotyka ciecz płynąca w rurze z
średnią pędkością cząsteczek vśr w przypadku przepływu
laminarnego. Siła ta hamuje prędkość przepływu cieczy.Wzór ten ma
postać:
Zlepkością
cieczy wiąże się też zjawisko hamowania ruchu ciał poruszających się w lepkiej
cieczy.W przypadku gdy ciałem tym jest kulka, poruszająca się na tyle wolno,
aby opływ cieczy był laminarny
jak na tym rysunku a nie turbulentny
jak na tym rysunku Siłę tę opisuje prawo
Stokesa:
Korzystając
z tego wzoru, można łatwo wyprowadzić
wzór na prędkość kulki spadającej w lepkiej cieczy.
Jest
to wzór wyjściowy do doświadczalnego wyznaczenia współczynnika lepkości
dynamicznej.
CEL ĆWICZENIACelem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika
lepkości dynamicznej cieczy w oparciu o badanie spadku kulek ołowianych w
badanej cieczy.
METODA POMIAROWAKorzystając z podanego wyżej wzoru można
wyznaczyć współczynnik lepkości z zależności:
We wzorze nie występuje prędkość kulki, gdyż wyznaczamy ją mierząc
czas opadania t na znanym odcinku drogi h ()Podana powyżej zależność jest
słuszna dla naczyń bardzo szerokich. Uwzględniając szerokość naczynia, należy
wprowadzić poprawkę, po uwzględnieniu której wzór przyjmie postać:             R
oznacza tu promień kulki,
a             R1
promień cylindra, w którym opada kulka.
OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓWDo doświadczenia wykorzystujemy
niewielkie, ołowiane kuleczki. Ponieważ pomiar współczynnika lepkości dla każdej
kuleczki indywidualnie byłby dosyć żmudny, zmierzymy przy pomocy mikrometru
wymiary (średnice d) partii kulek (10 do 20 szt), wybierzemy te, najmniej
różniące się od siebie i przyjmiemy do dalszych pomiarów ich średni promień jako
promień R (połowa średniej średnicy). Teraz wrzucamy kolejno (po np. 10
kulek) do każdej rury z badaną cieczą i mierzymy czas opadania każdej kulki na
wybranym odcinku h. Miejsce, od którego zaczynamy mierzyć czas opadania
kulki nie może być wybrany zbyt blisko powierzchni cieczy. Chodzi o to, aby w
momencie pomiaru kulka poruszała się już ruchem jednostajnym.Wypełnimy tabelkę , np.
taką:



scrollText(0)

Zapisujemy niepewności systematyczne :R1=
...        R=
...          h=
...        t=
...Dodatkowo należy wyznaczyć niepewności przypadkowe dla promienia kulki
Rp
i czasu opadania tp.
Niepewności przypadkowe wyliczymy jako odchylenia
standardowe tych wartości od średniej.(Właściwie powinno być konsekwentnie oznaczane jako ,   a    jako , ale chciałem przez moje oznaczenie podkreślić, że jest to
wkład do całkowitego błędu odpowiednio: R  i
 t).Niepewność pomiaru
określimy zgodnie z wzorem na niepewność
całkowitą pomiarów pośrednich W tym konkretnym przypadku będzie to wymagało
obliczenia kilku pochodnych z funkcji :Gdzie
i dokonania wyliczeń według wzoru:
Wysokość
h mierzymy tylko raz, możemy więc ocenić tylko jej błąd
systematyczny.Dokładność pomiaru rury podana jest przy ćwiczeniu, jest to
więc błąd całkowity (brak trójki w mianowniku przy pochodnej po
R1) Wartości gęstości cieczy i kulki
oraz 1
należy odczytać z tablic. (Obecnie badanymi cieczami są gliceryna i olej
parafinowy, a kulki są ołowiane). Powrót do Strony tytułowej