WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
ZAKA
AD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEGO
Przedmiot:
PODSTAWY AUTOMATYKI
(studia stacjonarne I stopnia)
ĆWICZENIE RACHUNKOWE Nr 2
OPIS WA
ASNOŚCI DYNAMICZNYCH
LINIOWYCH UKA
ADÓW CI
GA
YCH
Warszawa 2013
ĆWICZENIE RACHUNKOWE NR 2
Temat:
Opis własności dynamicznych liniowych układów ciągłych
Podczas ćwiczenia poruszane będą następujące zagadnienia:
�� zapis równań  wejście-wyjście dla prostych układów
dynamicznych;
�� przykładowe obliczanie transformat i oryginałów funkcji
zgodnie z prostym przekształceniem Laplace a;
�� wyznaczanie transmitancji operatorowej i widmowej;
�� zapisu modelu obiektu w postaci równań stanu i równania
wyjścia.
1. Przekształcenie Laplace a
1.1. Wprowadzenie
Rachunek operatorowy jest metodą rozwiązywania niektórych
równań i układów równań różniczkowych i pokrewnych, polegająca na
całkowitej lub częściowej  algebraizacji rozwiązywanego równania
lub układu równań.
Istota algebraizacji polega na tym, że rozwiązując za pomocą
rachunku operatorowego dane równanie, np. równanie różniczkowe
zwyczajne, wyznaczamy najpierw tzw. równanie operatorowe będące
równaniem algebraicznym. W zasadzie rachunek operatorowy jest
metodą rozwiązywania równań liniowych. Jego zastosowania
w zakresie równań nieliniowych są jednak dotąd znikome i ograniczają
się do niewielkiej liczby szczególnych przypadków. Dzięki swej
prostocie i efektywności, a także ze względu na inne zalety
w porównaniu ze znanymi metodami, stał się ogólną metodą badania
dynamiki układów liniowych, niezależnie od ich charakteru fizycznego.
Rachunek operatorowy okazał się szczególnie dogodny w zakresie teorii
obwodów elektrycznych i teorii automatycznej regulacji  w tych
dziedzinach znalazł najpełniejsze i najbardziej wszechstronne
zastosowanie.
Metody operatorowe można podzielić na trzy zasadnicze grup:
�� metody oparte na pojęciu operatora różniczkowania i operatora
całkowania (metoda operatorów Heaviside a);
�� metody oparte na przekształceniach całkowych (metoda
przekształcenia Lapalce a);
�� metody oparte na pojęciach algebry wyższej i analizy
funkcjonalnej (metoda operatorów Mikusińskiego).
2
Rozd ten w całości po j zie rowej
dział w oświęcony jest metodz operator na
przekszt zględnieniem powią z
tałceniu Laplace a z uwz m ązań
przekszt Fouriera.
tałceniem F
Prze e Laplace a określone jest zależnoś
ekształcenie ścią:
Ą�
t
=�
L{�f (t)}�=� f (t)e-�stdt =� F(s) (1)
��
0
która funkcji f( zmienn rzeczy ądkowuje
(t) nej ywistej t przyporzą
transform F(s), będącą f m polonej s =
matę funkcją zmienną zesp = u + jw�;
zmienna s odgryw w całko rolę parametru Całkę po prawej
a wa owaniu ę u. o
stronie w azywać całk a funkcji f(t)
wzoru (1) będziemy na ką Lapalce a t).
Oryg n ą (t) +jw�(t)
ginałem nazywamy funkcję zespoloną f(t) = u(
zmienne stej t, spełni ępujące waru
ej rzeczywis iającą nastę unki:
�� f(t) = 0 dla t < 0;
�� f(t) jest w przedzial (-Ą�, +Ą�) funkcję przedziałam ciągła
w le Ą�) p mi
wraz z pochodnymi d  tego;
do rzędu n 
�� f(t) jest fu u wykładnic ałe M > 0
unkcją rzędu czego, jeśli istnieją stał
i m > 0 takie, że dla wszy artości t z
ystkich wa zachodzi
nierównoś
ść:
m
f (t) Ł� Memt (2)
Licz m0 ł� 0 taką, że dla każdeg e� > 0 nierówność (2) jest
zbę go n
spełnion nie jest speł m=m0-e�, na
na dla m = m0 + e�, a n łniona dla m azywamy
wykładn wzra funk f(t). Na rys.1. prz o
nikiem astania kcji a zedstawiono wykres
funkcji t dniczego.
typu wykład
Rys1. Wykres fun ykładniczego (m>0)
nkcji typu wy
3
Jeśli funkcja f(t) jest oryginałem o wykładniku wzrastania m0, to:
�� całka po prawej stronie wzoru (1) jest jednostronnie zbieżna w
półpłaszczyz
nie Re s > m0;
�� funkcja F(s) określona wzorem (1) jest funkcją analityczną w
półpłaszczyz
nie Re s > m0;
�� lim F(�s)� =� 0 ;
Re s��+�Ą�
Funkcję F(s) nazywamy transformatą (obrazem) oryginału f(t), co
zapisujemy:
F(�s)� =� L[�f (�t)�]� (3)
1.2. Własności przekształcenia Laplace a
Praktyczne zastosowanie przekształcenia Lapalce a polega na tym,
że prowadzimy obliczenia nie na danych funkcjach, lecz na ich
obrazach. Podobnie, gdy mamy do wykonania operację mnożenia, to
korzystamy z logarytmów, gdyż to sprowadza się do prostych operacji
dodawania. Proces odwzorowania można uważać za coś w rodzaju
przekładu z jednego języka na inny, każdemu słowu odpowiada inne
słowo. W transformacji Laplace a każdej funkcji (oryginałowi)
odpowiada inna funkcja (transformata, obraz).
Najważniejsze właściwości przekształcenia Laplace a mające
zasadnicze znaczenie dla praktyki i zastosowań, zostaną ujęte w postaci
kilku prostych wzorów i reguł, stanowiących w pewnym sensie
gramatykę rachunku operatorowego. Na nich oparta jest technika
stosowania metody operatorowej w konkretnych problemach:
�� Liniowość - przekształcenie Laplace a jest przekształceniem
liniowym, tzn. ma następującą własność:
jeśli
L{�f1(t)}�=� F1(s), L{�f2(t)}�=� F2(s) (4)
to
L{�c1 f1(t) +� c2 f2 (t)}�=� L{�c1 f1(t)}�+� L{�c2 f2 (t)}�=� c1F1(s) +� c2F2 (s) (5)
gdzie: c1, c2 są dowolnymi liczbami.
�� twierdzenie o podobieństwie:
1 s
L{�f (at)}�=� F( ) (6)
a a
4
lub
1 t
F(�as)� =� L�� f ( )ł� (7)
ę�a a ś�
�� ��
�� transformata pochodnej funkcji:
df (t)
L�� �� =� sF(s) -� f (0) (8)
�� ż�
dt
�� ��
�� transformata całki funkcji (t�>0):
(-�1)
t�
F(s) f (0)
L{��� f (t� )dt�}�=� +� (9)
-�t�
s s
�� przesunięcie w czasie:
L{�f (t -� T ) ��1(�t -� T )�}�=� e-�sT F(�s)� (10)
�� wartość początkowa:
lim f (t) =� lim sF s (11)
(� )�
t��0 s��Ą�
�� wartość końcowa,  jeżeli funkcja wymierna sF(s) ma bieguny
leżące wyłącznie w lewej półpłaszczyz
nie zmiennej zespolonej
s, to:
lim f (t) =� lim sF(�s)� (12)
t��Ą� s��0
�� mnożenie przez czas:
dF(s)
L{�tf (�t)�}�=� -� (13)
ds
�� zmiana skali czasu:
1 s
L{�f (�at)�}�=� Fć� ��, gdzie F(�s)� =� L{�f (�t)�}� (14)
�� ��
a a
Ł� ł�
�� zmiana częstotliwości:
5
 L{�e-�at f (�t)�}�=� F(�s +� a)�, gdzie F(�s)� =� L{�f (�t)�}� (15)
�� funkcje okresowe,  jeżeli f(t) jest funkcją okresową o okresie T,
wtedy transformata Laplace a jest dana jako:
F1(�s)�
L{�f (�t)�}�=� (16)
1-� e-�sT
gdzie: F1(s) = L{f1(t)} jest transformatą funkcji f(t) w pierwszym okresie
�� twierdzenie o pochodnej ilorazu funkcji,  jeżeli funkcje L(x) i
M(x) są różniczkowalne oraz funkcja M(x) jest w danym punkcie
różna od 0, wówczas tymże punkcie istnieje pochodna iloraz
funkcji L(x) i M(x) i wyraża się wzorem
ó�
�� ł� ó� ó�
L(x) L (�x)�M (x) -� M (x)L(x)
=� (17)
ę�
2
M (x)ś�
[�M (x)]�
�� ��
2. Transmitancja operatorowa układu.
W układach liniowych wyróżnić można następujące rodzaje
elementów podstawowych:
�� elementy powodujące straty energii rozpraszanej na energię
cieplną  tracie, oporność czynna w układach elektrycznych,
opór przepływu gazów i cieczy;
�� elementy magazynujące energię w postaci kinetycznej  masa,
indukcyjność w układach elektrycznych, bezwładność gazów
i cieczy.
W dalszej części opiszemy szczegółowo równania opisujące
własności dynamiczne przedstawionych elementów. Założymy przy
tym, że ograniczamy się tylko do liniowego zakresu pracy, np.
przyjmiemy, że w układach elektrycznych wartości oporności,
indukcyjności i pojemności są stałe, niezależne od prądu i napięcia.
O układach mechanicznych załóżmy, że składają się z ciał idealnie
twardych i sprężyn idealnych o znikomo małej masie i że siła tarcia jest
proporcjonalna do prędkości w pierwszej potędze (tarcie lepkie).
O układach pneumatycznych załóżmy, że ciecze są nieściśliwe, a
spadek ciśnienia na oporach przepływu jest proporcjonalny do wielkości
tego przepływu, czyli że opory przepływu mają wartości stałe,
niezależnie od przepływu ani ciśnienia.
Transmitancją operatorową G(s) jednowymiarowego układu
liniowego stacjonarnego nazywamy wielkość określoną jako stosunek
6
transformaty Laplace a odpowiedzi Y(s) do transformaty Laplace a
wymuszenia U(s) tego układu przy zerowych warunkach
początkowych.
Liniowy stacjonarny układ dynamiczny można opisać liniowym
różniczkowym równaniem wejścia-wyjścia.
n n-�1
d y(t) d y(t) dy(t)
an n +� an-�1 n-�1 +� ... +� a1 +� a0 y(t) =�
dt dt dt
(18)
m m-�1
d u(t) d u(t) du(t)
=� bm m +� bm-�1 m-�1 +� ... +� b1 +� b0u(t)
dt dt dt
lub transmitancją operatorową w dziedzinie zmiennej zespolonej s.
Założywszy w poprzednim równaniu zerowe warunki początkowe
oraz stosując transformatę Laplace a:
n n-�1
�� ��
d y(t) d y(t) dy(t)
L��an n +� an-�1 n-�1 +� ... +� a1 +� a0 y(t)ż� =�
dt dt dt
�� ��
(19)
m m-�1
�� ��
d u(t) d u(t) du(t)
=� L��bm m +� bm-�1 m-�1 +� ... +� b1 +� b0u(t)ż�
dt dt dt
�� ��
czyli
n m
ć� ��
ć� ��
j
�� ��
�� si ��Y (s) =� s (s) (20)
��ai ��bj
�� ��U
Ł� i=�0 ł� j=�0
Ł� ł�
gdzie: U(s)=L{u(t)}, Y(s)=L{y(t)}.
można otrzymać wymierną funkcje zmiennej zespolonej s, nazywaną
transmitancją operatorową:
m
j
s
��bj
Y (s)
j=�0
G(s) =� =� . (21)
n
U (s)
si
��ai
i=�0
3. Transmitancji widmowa układu.
Transmitancją widmową G(jw�) liniowego układu stacjonarnego
nazywamy wielkość określoną jako stosunek wartości zespolonej
7
składow j wymuszen oidalnym
wej wymuszonej Y(jw�) wywołanej niem sinuso
do warto onej tego wy
ości zespolo wymuszenia U(jw�):
Y(� jw�)�
w�
G( jw�) =� (22)
(
U(� jw�)�
j
Tran ynamikę układu w dz
nsmitancja widmowa opisuje dy k ziedzinie
częstotli Dla analizy pr ejście mentu
iwości. a rzyjmuje się, że na we elem lub
układu liniowego wprow usoidalne
o wadza się wymuszenie sinu
u(t)=A1sinw�t. W takim przy ciu, niknięciu
s t ypadku na jego wyjśc po zan
procesu przejściow ustal się sygn sinusoidalny o te samej
wego, li nał ej
częstotli o innej amp azie niż wym
iwości, ale o plitudzie i fa muszenie o postaci:
y t =� A2 (w�)sin ��w� t +�j� w� ł� (23)
t
(� )� (� )���
2
��
Prze nego z
echodzenie sygnału sinusoidaln przez element liniowy
przedsta
awia rys.2.
Ry odzenie sygna lnego przez e wy.
ys.2. Przecho ału sinusoidal element liniow
Char i wościowe określa zach ę
rakterystyki częstotliw o howanie się układu
przy zm otliwości (p , podając
mianie często pulsacji) w� w zakresie od 0 do Ą�,
stosunek amplitud sygnału wyjściow do wejścioweg oraz
k dy u wego go
przesuni fazow między wyjściem a wejśc jako funkcję
ięcie we y m, ciem
częstotli
iwości.
Tran w uzyskuje się z transmi oper
nsmitancję widmową u ę itancji ratorowej
po podst peratora jw�:
tawieniu w miejsce operatora s op
Y jw�
(� )�G(� )�
G( jw�) =� =� G s (24)
=�
s=� jw�
U jw�
(� )�
8
Transmitancja widmowa jest zespoloną funkcją pulsacji w� i może
być przedstawiona:
�� w postaci wykładniczej - podstawiając za U(jw�) i Y(jw�) parę
odpowiadających sobie funkcji harmonicznych zapisanych w
postaci wykładniczej:
j w�t+�j� w�
jw�t (� (� )�)�
U ( jw�) =� A1(w�)e ; Y ( jw�) =� A2(w�)e ; (25)
wówczas transmitancję widmowa w postaci wykładniczej
przedstawia zależność:
j w�t+�j� w�
jj� w�
(� (� )�)� jw�t (� )�
A2 w�
A2(w�)e A2(w�)e e (� )�
jj� (w� ) jj� (w� )
G( jw�) =�=�=� e =� G( jw�) e
jw�t jw�t
A1(w�)e A1(w�)e A1 w�
(� )�
(26)
�� w postaci zespolonej (części rzeczywistej P(w�) i części urojonej
Q(w�)):
G( jw� ) =� P(w�) +� jQ(w� ) (27)
gdzie:
P(w�) =� Re[�G( jw�)]�
Q(w�) =� Im[�G( jw�)]�
Związek między postacią wykładniczą, a zespoloną określają
następujące zależności:
22
G jw� =�=� P(w�) +� Q(w�) (28)
(� )�A2(w�) [� ]� [� ]�
A1(w�)
Q(�w�)�
j�(�w�)� =� arctg (29)
P(�w�)�
Z powyższych zależności wynika, że moduł transmitancji widmowej
|G(jw�)| określa stosunek amplitudy sygnału wyjściowego A2(w�) do
wejściowego A1(w�), natomiast argument transmitancji j�(w�) określa
przesunięcie fazowe między sygnałem wyjściowym i wejściowym.
9
2. Opis podsta w d
s awowych elementów w dziedzinie czasu
i ope
eratorowej.
Zestawienie opisu elementów elektryc edzinie cza i w
u w cznych dzie asu
dziedzin rowej.
nie operator
Lp. Na u w dziedzinie c edzinie
azwa elementu Zapis w czasu Zapis w dzie
operatorow
wej
1. Re
ezystor
)� R
uR (�t)� =� R i(�t)� UR(�s)� =� R I(�s)�
R
2. Ko
ondensator
Ą� 1
1
Uc(�s)� =� I(�s)�
)�
uc(�t)� =� i(�t)�dt
��
0
C s
s
C
3. Ce
ewka
)�
di(�t)�
uL (�t)� =� L UL(�s)� =� L s
sI(s)
dt
Właściw ów elektryc
wości układó cznych:
�� rezystancja zastępcza d storów połą zeregowo
r dwóch rezys ączonych sz
w
wynosi:
R R
Rz =� R1 +� R2
�� rezystancja zastępcz dwóch rezystor połą
r za h rów ączonych
r
równolegle wynosi:
1 1 1 R1R2
R
=� +� �� Rz =�
Rz R1 R2 R1 +� R2
R
2
�� pojemność zastępcza dwóch kondensato połą
p a orów ączonych
s wynosi:
szeregowo w
1 1 1 C1C2
=� +� �� Cz =�
+�
1 1 1
C1 +� C2
+�
Cz C1 C2
C
�� pojemność zastępcza dwóch kondensato połą
p a orów ączonych
r
równolegle wynosi:
C C
Cz =� C1 +� C2
10
Zestawienie opisu e powodujący opory).
elementów p ych straty (o
Lp Nazwa elementu Zapis edzinie
N s w dziedzinie czasu Zapis w dzied
. operatorow
wej
1. Rez
zystor
uR(�t)� =� R i(�t)� UR(�s)� =� R I(�s)�
u t R
2. Opó tarcia w ru
ór uchu
post
tępowym
f t =� Rm v t F s =� Rm V s
(� )� (� )� (� )� (� )�
(� (�
3. Opó tarcia w ru
ór uchu
obro
otowym
fr t =� Rr w� t Fr s =� Rr W� s
F
(� )� (� )� (� )� (� )�
4. Opó
ór przepływu
p1 t -� p2 t =� Rp ip t P1 s -� P2 s =� Rp Ip s
R =�
(� )� (� )� (� (� )� (� )� (�
)� (�
Zestawienie opisu elementó magazy
u ów ynujących energię w postaci
kinetycz
znej.
Lp Nazwa dziedzinie czasu Zapis e operatorowe
p. a elementu Zapis w d s w dziedzinie ej
1. Cewka el
lektryczna
di(�t)�
)� L
uL(�t)� =� L UL(�s)� =� L sI(s)
dt
2. Ciało twa o masie
arde
m w ruchu
w
dv t
(� )�
postępow
wym
F s =� m sV s
(� )� (� )�
f t =� m
=�
(� )�
dt
3. Ciało twa
arde w ruchu
obrotowy
ym
dw� t
(� )�
)�
Fr s =� Mr sW� s
F
(� )� (� )�
fr t =� Mr
=�
(� )�
dt
4. Bezwładn gazów i
ność
cieczy
dip
(�
p1 t -� p2 t =� mp
p
(� )� (� )�
P1 s -� P2 s =� mp sIp s
s =�
(� )� (� )� (� )�
)�
dt
11
Zestawienie opisu elementó magazy
u ów ynujących energię w postaci
potencja
alnej.
Lp Nazwa elementu Z zinie czasu Zapis w d
N Zapis w dziedz dziedzinie
. operato
orowej
1. Kon
ndensator
Ą� 1
1
Uc(�s)� =� I(�s)�
uc (�t)� =� i(�t)�dt
��
��
0
C s
C
C
2. Elem sprężysty w
ment
ukła
adach
t
1 1
mec
chanicznych ruchu
f t =� v t dt +� f (0 F s =� V s
(� )� (� )� (� )� (� )�
��
Cm 0 Cm s
C
post
tępowym
3. Elem sprężysty w
ment
ukła
adach
t
1 1
mec
chanicznych ruchu
fr t =� w� t dt +� fr(0 Fr s =� W� s
(� )� (� )� (� )� (�
(�
��
obro
otowym
Cr 0 Cr s
C
4. Sprę
ężystość gazu w
kom
morze
pneu
umatycznej
t
1 1
p t =� ip t dt +� p(0 P s =� Ip s
i (
(� )� (� )� (� )� (�
��
Cp 0 C s
Cp
5. Nap
pełnianie zbiornika
ciec nieściśliw w
czą wą
ukła
adach
t
1 1
hydraulicznych
p t =� ip t dt +� p(0 P s =� I s
i
(� )� (� )� (� )� (�
p
��
Ch 0 Ch s
C
3. Opis układów w ni stanu
w przestrzen
Liniowy, stacjo kt może być a pomocą li
onarny obiek ć opisany za iniowego
równani różniczkowego, tran wej
ia nsmitancji operatorow oraz za pomocą
równań stanu. Opis własności układów dynam
w micznych,
wykorzy p iennych sta m opisem
ystujących pojęcie zmi anu, jest nowoczesnym
o wiel zaletac Opisuj zarówn układy jedno-, jak i
lu ch. je no y
12
wielowymiarowe, przy czym jego postać w obu przypadkach jest taka
sama.
Pod pojęciem zmiennych stanu rozumie się pewien minimalny
zestaw zmiennych, tak zdefiniowanych dla danego układu, że
znajomość zależności tych zmiennych od czasu określa jednoznacznie
jego właściwości. Liczba zmiennych, wystarczająca do opisu układu
jest zazwyczaj równa rzędowi równania różniczkowego, wiążącego
sygnał wyjściowy z sygnałem wejściowym.
Jeżeli kolejne zmienne stanu są zdefiniowane w taki sposób, że
każda następna jest równa pochodnej poprzedniej zmiennej, to takie
zmienne są nazywane zmiennymi fazowymi. Przykładem zmiennych
fazowych mogą być: droga, prędkość, przyspieszenie.
Zmienne stanu można przyjąć w taki sposób, aby były
kombinacjami liniowymi zmiennych fazowych. Odpowiednie
zdefiniowanie zmiennych stanu może prowadzić do uproszczenia
obliczeń oraz łatwiejszych interpretacji fizycznych.
Przestrzenią stanu nazywamy prostokątny układ współrzędnych, na
którego osiach odkładamy wartości zmiennych stanu. W miarę upływu
czasu punkt, wyznaczony przez zmienne stanu, przesuwa się w tej
przestrzeni wzdłuż linii nazywanej trajektorią. Jeżeli jako zmienne stanu
wybierzemy zmienne stanu fazowe, to przestrzeń stanu nosi nazwę
przestrzeni fazowej, a trajektoria jest nazywana trajektorią fazową.
Przebieg dowolnej wielkości fizycznej będącej nośnikiem
informacji nazywać będziemy zmienną lub sygnałem. Wielkości
oddziaływujące na układ u1(t), u2(t), & , up(t) nazywać będziemy
wymuszeniami lub zmiennymi wejściowymi, a miejsca ich oddziaływania
 wejściami układu. Wymuszenia przedstawiają wielkości generowane
w innym układzie niż badany. Wśród wymuszeń wyróżniać będziemy
wielkości reprezentujące oddziaływania celowe, zwane sterowaniami,
oraz wielkości reprezentujące oddziaływania niepożądane, zwane
zakłóceniami. Wielkości oddziaływujące na inne układy y1(t),
y2(t),& ,yq(t) nazywamy odpowiedziami lub zmiennymi wyjściowymi, a
miejsca ich oddziaływania  wyjściami układu.
Przebieg procesu dynamicznego w czasie zależy nie tylko od
wartości wymuszeń w danej chwili, ale również od wartości tych
wymuszeń w przeszłości. Można, więc powiedzieć, że proces (układ)
dynamiczny ma pamięć, w której są gromadzone skutki przeszłych
oddziaływań.
Stanem procesu nazywać będziemy najmniejszy liczebnie zbiór
wielkości x1(t), x2(t), & , xn(t), określających w pełni skutki
przeszłych oddziaływań na proces, który jest wystarczający do
przewidywania przebiegu procesu w przyszłości.
13
Wiel x1(t), x2(t), & , xn(t) okr roces ywać
lkości , reślające pr nazy
będz zmien (wsp i) najomość st
ziemy nnymi półrzędnymi) stanu. Zn tanu
proc w chw początko t0 ora wymusze w przedz
cesu wili kowej az eń ziale
[t0, t1] wystarcz ślenia przeb tanu
t za do okreś biegów odpowiedzi i st
proc dziale [t0,t1)
cesu w przed ).
Rys.3. Schem ynamicznego
mat układu dy
z nych niowo ależnych
Liczba zmienn stanu równa się liczbie lin nieza
warunkó iecznych do nacznego
ów początkowych koni o wyznaczenia jednozn
rozwiązania równań ych układ.
ń opisujący
Rów du w przest ną postać:
wnania układ trzeni stanu mają ogóln
&�
x t =� A t x t +� B t u t
A B
(� )� (� )� (� )� (� )� (� )�
(30)
y t =� C t x t +� D t u t
C D
(� )� (� )� (� )� (� )� (� )�
gdzie adu o wymiar  muszenia o
e: A(t)  macierz stanu ukła rze nxn, B(t)  macierz wym
wymiarze nxp, C(t)  ma iedzi o wymia )  macierz
n acierz odpowi arze qxn, D(t)
transmisyjna o wymiarze qxp.
Dla układów li niestacjonar eleme macier A(t),
iniowych n rnych enty rzy
B(t), C( D(t) są funkcjami czasu t. Powyższym równaniom można
(t), P m
przyporz następujący schemat bl
ządkować n lokowy:
Ry t blokowy ciąg estacjonarneg
ys.4. Schemat głego układu liniowego nie go.
Dla układów liniowych st h (o parametrach nieza
tacjonarnych ależnych
od czasu y macierzy A, B, C, D są stałe i n od czasu.
u) elementy nie zależą o
W tym p powyższe ró anu przyjmu
przypadku p ównania sta ują postać:
&�
x t =� Ax t +� Bu t
B
(� )� (� )� (� )�
(31)
y t =� Cx t +� Du t
D
(� )� (� )� (� )�
14
Dla układów dających się opisać za pomocą równań różniczkowych
równanie stanu i równanie wyjścia można opisać równaniem:
&�
x t =� F ��u t , x t ł�
(� )� (� )� (� )���
��
(32)
y t =� G ��u t , x t ł�
(� )� (� )� (� )���
��
Powyższe równanie stanu jest równaniem różniczkowym
pierwszego rzędu, w ogólnym przypadku nieliniowym i zależnym
jawnie od czasu, a funkcja F jest n  elementową funkcją wektorową.
Równanie to można, więc rozpisać szczegółowo:
dx1 t
(� )�=� f1 x1, x2,..., xn, u1,u2,...,ukt
(�)�
dt
dx2 t
(� )�=� f2 x1, x2,..., xn, u1,u2,...,ukt
(�)�
(33)
dt
M�
dxn t
(� )�=� fn x1, x2,..., xn, u1,u2,...,ukt
(�)�
dt
Równanie wyjścia układu jest równaniem algebraicznym, przy czym
G jest l-elementowa funkcją wektorową. Rozpisując to równanie
otrzymamy:
y1 t =� g1 x1, x2,..., xn, u1,u2,...,ukt
(� )� (� )�
y2 t =� g2 x1, x2,..., xn, u1,u2,...,ukt
(� )� (� )�
(34)
M�
yn t =� gn x1, x2,..., xn, u1,u2,...,ukt
(� )� (� )�
Powyższe równania mogą być linearyzowane w otoczeniu punktu
wybranego stanu układ (punktu pracy).
Często współrzędne wektora stanu x1, x2, x3, & , xn wybiera się w ten
sposób, aby:
dx1 &�
x2 =� =� x1
dt
dx2 &�
(35)
x3 =� =� x2
dt
M�
dxn &�
xn =� =� xn-�1
dt
15
Tak wybrane współrzędne ywać będzie rzędnymi
w e stanu nazy emy współr
fazowym a wekto x o sk wektorem
mi, or kładowych x1, x2, x3, & , xn  w
fazowym układu. Współrzęd fazow x1, x2, x3, & , xn w każdej
m dne we w
3
wybrane ednoznaczn ą w przestrz miarowej
ej chwili t je nie określają zeni n - wym
położen punktu, zwanego pu fazo Punk ten przes się
nie unktem owym. kt suwa
po krzy zwane trajektor fazową. Trajektor fazowa stanowi
ywej ej rią ria
poglądo geome ustrację przebiegu proc dynam
ową, etryczną ilu cesu micznego
w układ Rodzi trajekt fazow nazywa się p
dzie. inę torii wych portretem
fazowym układu, natomiast powyższą n  wym rzestrzeń
m t ą miarową pr
nazywa się przest zową. p 2
trzenią faz W przypadku, gdy n = 2 mówić
będziem zyz
nie fazow
my o płaszcz wej.
Rys.5. Sche rowego układu liniowego.
emat blokowy jednowymiar
Na rys.5 przeds lokowo ukła o sygnale
r stawiono bl ad jednowymiarowy, o
wejściow ym a c yznaczyć
wym u(t) i wyjściowy y(t), dla którego chcemy wy
opis w p stanu.
przestrzeni s
Załó że dl tego ukł transm eratorowa G jest
óżmy, la ładu mitancja ope G(s)
znaną, w unkcją oper
wymierną fu ratora s:
ó� ó� ó� ó�
Y(�s)� amsm +� am-�1sm-�1 +�...+� a1s +� a0
a s
)�=� =�
G(�s)� (36)
n
ó� ó� ó� ó�
U(�s)� bnsn +� bn-�1sn-�1 +�...+� b1s +� b0
oraz że stopie wielomi w lic jest niższy od stopnia
z, eń ianu czniku d
wielomi nowniku (m
ianu w mian m < n).
Podz mianownik transmitancji przez bn sn i
zielmy licznik i m
wprowa e oznaczenia współczynników:
adz
my nowe
ó� ó� ó� ó�
am am-�1 n a1 -� a0
sm-�n +� sm-�1-�n +� ...+� s1-�n +� s-�n
+�
ó� ó� ó� ó�
)�
Y(�s)� bn bn bn bn
G(�s)� =� =� =�
G =�
ó� ó� ó�
bn-�1 b1 b0
b
)�
U(�s)�
1+� s-�1 +� ...+� s1-�n +� s-�n
(37)
ó� ó� ó�
bn bn bn
b
amsm-�n +� am-�1sm-�1-�n +� . a1s1-�n +� a0s-�n
a ...+�
=�
=�
n
b
1+� bn-�1sn-�1 +� ...+� b1s1-�n +� b0s-�n
Wpr mocniczy e(t) o tran
rowadz
my sygnał pom nsformacie E(s) w
następuj b:
jący sposób
16
Y(�s)� Y(�s)� E(�s)�
G(�s)� =� =� (38)
U(�s)� E(�s)�U(�s)�
Transmitancję daną wzorem (38) możemy przedstawić jako iloczyn
dwóch następujących czynników:
E(�s)�=� 1
(39)
U(�s)� 1+� bn-�1sn-�1 +� ...+� b1s1-�n +� b0s-�n
Y(�s)�=� amsm-�n +� am-�1sm-�1-�n +�...+� a1s1-�n +� a0s-�n
(40)
E(�s)�
Przekształcając wzory (39) i (40) można otrzymać następujące
zależności:
E(�s)� =� U(�s)�-� bn-�1sn-�1E(�s)�-�...-� b1s1-�nE(�s)�-� b0s-�nE(�s)� (41)
Y(�s)� =� amsm-�nE(�s)�+� am-�1sm-�1-�nE(�s)�+� ...+� a1s1-�nE(�s)�+� a0s-�nE(�s)� (42)
Na rys.6. przedstawiono schemat blokowy, będący ilustracją równań
(41) i (42). Umieszczono na nim w postaci trójkątów n członów
całkujących połączonych szeregowo. Transformatę Laplace a sygnału
wejściowego pierwszego z tych członów oznaczono E(s). Zgodnie z
zasadą działania członu całkującego na jego wyjściu uzyskamy sygnał o
transformacie s-1E(s). Na wyjściu ostatniego n - tego elementu
całkującego otrzymamy sygnał o transformacie s-nE(s).
Jak widać z tego rysunku, sygnał o transformacie E(s) uzyskujemy z
wyjścia pierwszego węzła sumacyjnego, do którego wejść
doprowadzony sygnał u(t) układu przedstawionego na rys.6. oraz
sygnały sprzężenia zwrotnego pobrane z wyjść odpowiednich członów
całkujących poprzez elementy proporcjonalne, zgodnie z równaniem
(41).
Wytworzenie sygnału wyjściowego y(t) układu z rys.6 wymaga,
zgonie ze wzorem (42), zsumowania odpowiednich sygnałów
wyjściowych członów całkujących, doprowadzonych do drugiego węzła
sumacyjnego poprzez odpowiednie elementy proporcjonalne.
17
Rys blokowy ilust b wyboru zmie wych
s.6. Schemat b trujący sposób ennych fazow
18
Zdefiniujemy obecnie fazowe zmienne stanu. Jako zmienną stanu
x1(t) przyjmijmy sygnał wyjściowy ostatniego elementu całkującego.
Jako drugą zmienna stanu x2(t) przyjmijmy sygnał wyjściowy
przedostatniego elementu całkującego, który jako sygnał wejściowy
ostatniego elementu całkującego może być pochodną poprzedniej
zmiennej stanu. Ostatnia zmienną stanu jest xn(t), gdzie jak widać,
sygnał wyjściowy pierwszego elementu całkującego i będzie równy
pochodnej sygnału xn-1(t). Pochodna zmiennej stanu xn(t) jest równa
sygnałowi pomocniczemu e(t).
Wykorzystując zdefiniowane zmienne stanu, można utworzyć
następujący układ równań:
&�
x1 =� x2
&�
x2 =� x3
M� (43)
&�
xn-�1 =� xn
&�
xn =� -�b0x1 -� b1x2 -� b2x3 -�L�-� bn-�1xn +� u
Wprowadzając następujące oznaczenia macierzowe:
&�
x1 0 1 0 0 L� 0 0 0
�� ł� �� ł� �� ł�
ę�x ś� ę� ś� ę�0ś�
&�
0 0 1 0 L� 0 0
2
ę� ś� ę� ś� ę� ś�
ę� ś� ę� ś� ę� ś� (44)
x =� M� ; A =� M� M� M� M� M� M� M� B =� M�
ę� ś� ę� ś� ę� ś�
&�
0 0 0 0 L� 0 1
n-�1
ę�x ś� ę� ś� ę�0ś�
ę�xn ś� ę�-� b0 -� b1 -� b2 -� b3 L� -� bn-�2 -� bn-�1 ś� ę�1ś�
&�
�� �� �� �� �� ��
można układ równań (43) zapisać w postaci macierzowej:
&�
x =� Ax +� Bu (45)
Po wprowadzeniu zmiennych stanu równanie (44) przyjmuje postać:
y =� a0x1 +� a1x2 +� ...+� amxm+�1 (46)
którą dzięki oznaczeniu :
c =� [�a0 a1 L� am 0 L� 0]� (47)
można przekształcić do postaci macierzowej:
y =� Cx (48)
19
Otrz osób erzowy ukł równań układu
zymaliśmy w ten spo macie ład ń
w przest u:
trzeni stanu
&�
x =� Ax +� Bu
u
(49)
y =� Cx
który m układu pr nego na rys.5.
y jest opisem rzedstawion
5. Zada nkowe.
ania rachun
Przy
ykład 1.
Wyz nsmitancję c p onego na ry
znaczyć tran czwórnika przedstawio ys.7,
gdzi wielkości wejściow jest nap u1(t) a wielko
ie ią wą pięcie ), ością
wyjś ięcie u2(t).
ściową napi
Rys.7. Czw ryczny typu R
wórnik elektr RC.
Zakł e bciążenia czwórnika jest równ zeru,
ładając, że prąd ob c ny
zachowa omaw wórnika mo opisać układem równań
anie wianego czw ożna
wynikającym z met Kirchoffa:
tody praw K
t
1
u1 t =� Ri t +�
=�
(� )� (� )�
��i(�t)�dt
��
C
0
t
1
u2 t =� t
(� )�
(�
��i(�t)�dt
C
0
Tran d ratorowej
nsformują powyższe równania do dziedziny oper
(zgodnie z opisem elementów elektryczn otrzy oper
e w nych) ymamy ratorowy
układ ró
ównań:
1
U1 s =� RI s +� I s
(� )� (� )� (� )�
Cs
C
1
U2 s =� I s
(� )� (� )�
2
Cs
Pods p u smitancję
stawiając powyższe równania do wzoru na trans
operator u otrzymam
rową układu my:
20
1 1
RI s +� I s R +�
s
(� )� (� )�
U1 s
U
(� )� 1
Cs Cs
G s =� =� =� =�
(� )�
1 1
U2 s RCs +�1
U
(� )�
I s
(� )�
Cs Cs
Pods ik tawiony na rys.7. opisuje
sumowując, czwórni przedst n
transmit atorowa czło T=RC.
tancja opera onu inercyjnego stałej czasowej T
Przy
ykład 2.
Wyz nsmitancję w u dstawionego
znaczyć tran widmową układu przed o na
rys.8 wykładniczej
8, zarówno w postaci w j, jak i zespolone.
Rys.8. Czw ryczny typu RC
wórnik elektry C.
Wid ad ten opisa nsmitancją o ą:
dząc, że ukła any jest tran operatorową
U1 s
(� )� 1
G s =� =�
=�
(� )�
U2 s RCs +�1
R
(� )�
Pods yższej tra ć
stawiając do powy ansmitancji zależność s=jw�
otrzymu
ujemy:
1
j
G jw� =�
(� )�
RCjw� +�1
w�
W celu wyzn ransmitancj widmow układu należy
naczenia tr ji wej u
powyższ transmi mnożyć przez warto zespol do
zą itancję pom p ość loną
mianow czyl 1-RCjw� Dokonu dalsz przek
wnika, li: w�. ując zych kształceń
otrzyma
amy:
1 1-� RCjw� 1-� RCjw� 1-� RCjw�
Cj -�
G jw� =� �� =� =� j2 =�-�1 =�
=�
(� )�RCjw� +�1 1-� RCjw�
2 2
2 2
1-� RC j2w� 1+� RC w�
(� )� (� )�
(�
21
Na podstawie powyższej postaci transmitancji widmowej
wyznaczamy cześć rzeczywistą P(w�) i część urojoną Q(w�), które
przyjmują postać:
1
P w� =�
(� )�
2
2
1+� RC w�
(� )�
-�RCw�
Q w� =�
(� )�
2
2
1+� RC w�
(� )�
Przykład 3.
Dany jest układ o jednym wejściu i jednym wyjściu, opisany
Y(�s)� 2s +�1
transmitancją operatorową: G(�s)� =� =�
U(�s)� s2 +� 2s +� 3
W pierwszym korku licznik i mianownik dzielimy przez s2 i
rozdzielamy na dwa czynniki:
Y(�s)� Y(�s)� E(�s)� 1
G(�s)� =� =�
U(�s)� E(�s)�U(�s)�=� (�2s-�1 +� s-�2)�1+� 2s-�1 +� 3s-�2
Z podziału tego wynika, że:
Y(�s)�=� 2s-�1 +� s-�2; E(�s)� 1
=�
E(�s)� U(�s)� 1+� 2s-�1 +� 3s-�2
Przekształcające te zależności do postaci zgodnej z wzorami (41) i
(42) otrzymujemy:
E(�s)� =� U(�s)�-� 2s-�1E(�s)�-� 3s2E(�s)�
Y(�s)� =� 2s-�2E(�s)�+� s-�2E(�s)�
Na podstawie tych równań można zbudować schemat blokowy,
przedstawiony na rys.6 w skład którego wchodzą dwa elementy
całkujące. Sygnał na wyjściu drugiego elementu całkującego
oznaczymy jako zmienną x1, a na wyjściu pierwszego elementu
całkującego jako zmienną x2. Układamy następnie układ równań dla
zmiennych stanu:
&�
x1 =� x2
&�
x2 =� -�3x1 -� 2x2 +� u
22
oraz dla sygnału wyjścioweg
z równanie d go:
y =� x1 +� 2x2
y
Rów o przyjęciu o
wnania te po oznaczeń:
&�
x1 0 1 0
0
�� ł� �� ł� �� ł�
x =� ; B =� C =� [�1 2]�
B
ę�x ś�; A =� ę� ę�1ś�;
&�
3
��
�� 2�� ��-� 3 -� 2ś� �� ��
zapisujemy w o postaci:
ostatecznej p
&�
x =� Ax +� Bu
u
y =� Cx
R el układu w ni stanu o tr cji
Rys.9. Mode w przestrzen ransmitancj
Y(�s)� 2s +�1
+�
)�
G(�s)� =� =�
U(�s)� s2 +� 2s +� 3
2
6. Literatura
1. Zbig WA  Cybernetyk technic Częś I 
gniew AA
ACH  ka czna. ść
Eksp  , ział dawniczy WAT,
ploatacja osprzętu Wydz Wyd
War 3
rszawa 1983
2. Janu KOW  Pod utomatyki T1 , Uc
usz WAL dstawy au czelniane
Wyd o-Dydaktycz AGH, Kraków 2004,
dawnictwa Naukowo zne w
Sygn 78
natura: 6037
3. Tade a sterowania kłady liniow
eusz Kaczorek  Teoria a. Tom I Uk we ciągłe
i dys aństwowe W wo Naukow wa 1977.
skretne . Pa Wydawnictw we, Warszaw
4. Dari  Podstawy a we. Część
iusz Horla  automatyki. Ćwiczenia rachunkow
I , W wo Politech ńskiej, Pozn
Wydawnictw hniki Poznań nań 2003.
23