Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
Wykład 4
Wykład 4
Wykład 4
Własności dynamiczne
Własności dynamiczne
Własności dynamiczne
układów liniowych
układów liniowych
układów liniowych
Janusz KOWAL
Janusz KOWAL
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Akademia Górniczo-Hutnicza
Akademia Górniczo-Hutnicza
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Plan wykładu:
Plan wykładu:
Wprowadzenie
Sposoby oceny własności układów liniowych
Wprowadzenie do charakterystyk czasowych
Przykłady podstawowych elementów automatyki i
ich charakterystyki czasowe
2
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Wprowadzenie
analizując i projektując układy automatyki musimy mieć
możliwość porównywania ich właściwości,
w tym celu stosuje się określone testowe sygnały wejściowe,
umożliwiające porównanie odpowiedzi badanych układów na te
sygnały,
powszechnie wykorzystywanymi testowymi sygnałami
wejściowymi są funkcje: skokowa, liniowa, impulsowa,
sinusoidalna, itp,
dla tych sygnałów testowych można łatwo przeprowadzić analizę
matematyczną i eksperymentalną układów sterowania,
ponieważ sygnały te są bardzo prostymi funkcjami do
3
wygenerowania.
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Sposoby oceny własności układów liniowych
właściwości układu liniowego o stałych parametrach
(stacjonarnego) można opisać za pomocą liniowego równania
różniczkowego o stałych współczynnikach, którego postać
ogólna jest następująca
n n-1 m m-1
d y d d x d x
an + an-1 n-1 + K + a0 y = bm + bm-1 m-1 + K + b0 x
n m
dt dt dt dt
przy czym n>m
z powyższego równania wynika charakterystyka statyczna, na
podstawie której wnioskujemy o właściwościach statycznych
układu
a0 y = b0x
4
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Sposoby oceny własności układów liniowych
właściwości dynamiczne układu ocenia się zwykle na
podstawie przebiegu sygnału wyjściowego y(t), będącego
wynikiem wprowadzenia określonego sygnału wejściowego x(t)
istnieją dwie drogi podejścia do rozwiązania tego zagadnienia:
analiza przybliżona (z aproksymacji odpowiedzi układu
wnioskujemy o cechach rozwiÄ…zania i o sposobie zmiany
konfiguracji układu, tak aby uzyskać wymaganą odpowiedz
)
metoda operatorowa (znalezienie przekształcenia pozwa-
lającego zastąpić równania różniczkowo-całkowe zwykłymi
równaniami algebraicznymi Ò! przeksztaÅ‚cenie Laplace a)
5
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Wprowadzenie do charakterystyk czasowych
Charakterystyki czasowe dają możliwość (w odniesieniu do
układów jednowymiarowych) bezpośredniej oceny układu
Charakterystyka czasowa jest przebiegiem w czasie odpowiedzi
układu dynamicznego y(t) na określone wymuszenie x(t)
6
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Najczęściej stosowanymi wymuszeniami są:
skok jednostkowy 1(t) (tzw. funkcja Heaviside a) -
skok jednostkowy 1(t)
mówimy wówczas o odpowiedzi skokowej h(t),
0, dla t < 0
Å„Å‚
x(t) =1(t) =
òÅ‚1, dla t e" 0
ół
impuls Diraca ´(t) (tzw. funkcja wagi ukÅ‚adu) -
impuls Diraca ´(t)
mówimy wówczas o odpowiedzi impulsowej g(t).
0, dla t `" 0
Å„Å‚
x(t) =´(t) =
òÅ‚
ół", dla t = 0
7
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykłady podstawowych elementów
automatyki i ich charakterystyki czasowe
Element proporcjonalny (bezinercyjny)
Element inercyjny pierwszego rzędu
Element całkujący
Element całkujący rzeczywisty
Element różniczkujący rzeczywisty
Element oscylacyjny
Element inercyjny drugiego rzędu
Element opóz
niajÄ…cy
8
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Element proporcjonalny (bezinercyjny)
Postać równania opisującego element proporcjonalny
y(t) = K Å" x(t)
gdzie: K - współczynnik wzmocnienia
x(t) - sygnał wejściowy
y(t) - sygnał wyjściowy
Transmitancja operatorowa
Y(s)
G(s) = = K
X (s)
9
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Charakterystyki czasowe elementów proporcjonalnych
h(t)
Odpowiedz
skokowa
K
y(t) = h(t) = K Å"1(t)
t
g(t)
Odpowiedz
impulsowa
y(t) = g(t) = K Å" ´ (t)
10
t
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykłady elementów proporcjonalnych
Mechaniczne układy dz
wigniowe Siłownik pneumatyczny
p=x
y
a b
A
x
x
y
a
k
b
b
y
y(t) = x(t)
a
A
a
y(t) = x(t)
y(t) = x(t)
k
a + b
11
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykłady elementów proporcjonalnych
Prasa hydrauliczna Rezystancyjny dzielnik napięcia
F1=x F2=y
R1
A1
Ux R2
i
A2
R2
A2
uy (t) = ux (t)
y(t) = x(t)
R1 + R2
A1
12
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Element inercyjny pierwszego rzędu
Postać równania różniczkowego
dy(t)
T + y(t) = Kx(t)
dt
gdzie: K - współczynnik wzmocnienia
T - stała czasowa
Transmitancja operatorowa
Y ( s) K
G (s ) = =
X ( s ) Ts + 1
13
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Charakterystyki czasowe elementów inercyjnych 1-go rzędu
h(t)
K
Odpowiedz
skokowa
1
ëÅ‚ - Å"t öÅ‚
T
÷Å‚
y(t) = h(t) = KìÅ‚1 - e
ìÅ‚ ÷Å‚
0,95 K
íÅ‚ Å‚Å‚
0,63 K
T 3T t
g(t)
K/T
Odpowiedz
impulsowa
1
- Å"t
K
T
y(t) = g (t) = e
T
14
T t
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykłady elementów inercyjnych 1-go rzędu
Masa wirujÄ…ca na wale Zbiornik z cieczÄ…
É
I
q0
µ
R
A
M
RH
Å‚
h
q1
dh(t)
dÉ(t)
T +É(t) = K M (t) T + h(t) = K q0 (t)
dt dt
I 1 ARH RH
gdzie : T = , K =
gdzie : T =
, K =
µ µ
Å‚ Å‚
15
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykłady elementów inercyjnych 1-go rzędu
Zbiornik z gazem Układ LR
L
C
p
py
i R uy
ux
R
V
p
px
du (t)
y
dpy (t)
T + u (t) = ux (t)
y
T + py (t) = px (t)
dt
dt
L
gdzie : T = , K =1
gdzie : T = C Rp , K = 1
p
R
16
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Element całkujący
Postać równania różniczkowego
dy(t) dy(t)
= K Å" x(t) lub T = x(t)
dt dt
gdzie: K - współczynnik wzmocnienia
T - stała czasowa
Transmitancja operatorowa
Y(s) K 1
G(s) = = lub G(s) =
X(s) s T Å" s
17
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Charakterystyki czasowe elementów całkujących
h(t)
Odpowiedz
skokowa
1
y(t) = h(t) = K Å"t = Å" t
T
Ä…=arctg K
Ä…
t
g(t)
Odpowiedz
impulsowa
K
1
y(t) = g(t) = K Å"1(t) = Å"1(t)
T
18
t
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykłady elementów całkujących
Przekładnia cierna Zbiornik z cieczą
x=Q
x
Õ=
y
r
A
h=y
É=cons
t
dÕ(t)
dh(t)
T = x(t)
T = Q(t)
dt
dt
r
gdzie : T = A
gdzie : T =
19
É
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykłady elementów całkujących
Zespół rozdzielacz  siłownik Idealny kondensator
x y
i
i
P
A
C
S
uy
P
Z
P
S
v=co
nst
dy(t)
du (t)
y
T = x(t)
T = i(t)
dt
dt
A
gdzie : T = C
gdzie : T =
20
b Å"Å
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Element całkujący rzeczywisty
Postać równania różniczkowego
2
d y(t) dy(t)
T + = K Å" x(t)
2
dt
dt
gdzie K - współczynnik wzmocnienia
T - stała czasowa
Transmitancja operatorowa
Y (s) K
G(s) = =
X (s) s(Ts + 1)
21
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Charakterystyki czasowe elementów całkujących rzeczywistych
h(t)
Odpowiedz
skokowa
t
-
T
y(t) = h(t) = Kt - KT (1 - e )
T t
g(t)
K
Odpowiedz
impulsowa
t
ëÅ‚ - öÅ‚
ìÅ‚1 - e T ÷Å‚
y (t ) = g (t ) = K
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
22
T 3T t
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykłady elementów całkujących rzeczywistych
Silnik prądu stałego Czwórnik RC
R
R
Ä…(t)
i
Uw
C1 C2
U U
US(t)
=co
1 2
nst
i
2
2
d Ä…(t) dÄ…(t)
d U2 (t) dU2 (t)
T + = KUS (t)
T + = Ki(t)
2
dt2 dt
dt dt
RJ 1
1
gdzie : T = , K =
gdzie : T = RC2, K =
k1k2 k1
C1
23
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Element różniczkujący rzeczywisty
Postać równania różniczkowego
dy(t) dx(t)
T + y(t) = K
dt dt
gdzie K - współczynnik wzmocnienia
T - stała czasowa
Transmitancja operatorowa
Y (s) K Å" s
G(s) = =
X (s) Ts + 1
24
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Charakterystyki czasowe elementów różniczkujących
h(t)
rzeczywistych
K/T
Odpowiedz
skokowa
1
- Å"t
K
T
y(t) = h(t) = Å" e
T
T t
g(t) t
Odpowiedz
impulsowa
1
- Å"t
K K
T
y(t) = g(t) = ´ (t) - e
2
T T
25
-K/T2
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykłady elementów różniczkujących rzeczywistych
Tłumik hydrauliczny Układ RC
C
k
Ey
A ux R uy
R
H
x
dy(t) dx(t)
duy (t)
dux (t)
T + y(t) = K
T + u (t) = K
y
dt dt
dt dt
RH A2
gdzie : T = K = RC
gdzie : T = K =
26
k
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Element oscylacyjny (drugiego rzędu)
Postać równania różniczkowego
2
K - wsp. wzmocnienia
d y(t) dy(t)
2
T + 2Å›T + y(t) = K Å" x(t)
T - stała czasowa
2
dt
dt
ś - wsp. tłumienia
Warunek powstawania drgań
2 2 2
4Å› T - 4T < 0 - 1 < Å› < 1
czyli
Drgania tłumione
0 <Å› < 1
Transmitancja operatorowa
Y(s) K
G(s) = =
2
X (s)
T s2 + 2śTs +1
27
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Charakterystyki czasowe elementów oscylacyjnych 2-go rzędu
Odpowiedz
skokowa
t 2
îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
- Å›
1 - Å›
1
T ÷łśł
ïÅ‚
y(t) = h(t) = K 1 - e sinìÅ‚ Å" t + Ć
2
ìÅ‚ ÷łśł
T
ïÅ‚
1 - Å›
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Å›
Wartości współczynnika tłumienia decydują o rodzaju drgań
" dla ś = 0 drgania nietłumione
0 < Å› < 1
" dla drgania tłumione
" dla Å› e" 1 odpowiedz
aperiodyczna, nieoscylacyjna
Odpowiedz
impulsowa
t 2
-Å›
1 - Å›
1
T
y(t) = g(t) = e sin t
2
T
T 1 - Å›
28
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Charakterystyki czasowe elementów oscylacyjnych 2-go rzędu
h(t)
Odpowiedz
skokowa
ksi=0
ksi=0.3
ksi=0.7
K
t
g(t)
ksi=0
Odpowiedz
impulsowa
ksi=0.3
ksi=0.7
0
t
29
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykłady elementów oscylacyjnych drugiego rzędu
masa-tłumik-sprężyna siłownik pneumatyczny
p
F(
c
A
t)
ab
m
Õ
k
k
c
y
m
2
2
d Õ(t) dÕ(t)
d y(t) dy(t)
2
2
T + T1 + Õ(t) = K F(t)
T + T1 + y(t) = K p(t)
2
2
dt
dt
dt
dt
m(a + b), T1 = c 1
2 m c A
2
gdzie : T = , K =
gdzie : T = , T1 = , K =
ak k ak
k k k
30
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykłady elementów oscylacyjnych drugiego rzędu
układ RLC układ zbiornika z cieczą
A
L
R
A1
2
p=
h=
x
u C
i u y
x y
R
H
2
2
d h(t) dh(t)
2
d uy (t) du (t)
2 T + T1 + h(t) = K p(t)
2
T + T1 y + uy (t) = K ux (t)
dt dt
2
dt dt
m RH A1
2
2
gdzie : T = , T1 = , K =
gdzie : T = LC , T1 = RC , K = 1
A2Å‚ A2Å‚ A2Å‚
31
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Element inercyjny drugiego rzędu
Postać równania różniczkowego
2
d y(t) dy(t)
T2 2 + T1 + y(t) = K Å" x(t) T1 e" 2 T
2
2
dt
dt
Transmitancja operatorowa
Y (s) K
K
G (s) = =
lub G (s) =
2
X (s) T2 s + T1s + 1
(T3 s + 1)(T4 s + 1)
lub w wyniku rozkładu równania na ułamki proste
KT3 KT4
T3 - T4 T3 - T4
G(s) = G1 (s) + G2 (s) = -
1 + T3 s 1 + T4 s
32
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Element inercyjny drugiego rzędu
Element inercyjny drugiego rzędu można przedstawić w postaci
szeregowego połączenia dwóch elementów inercyjnych
pierwszego rzędu
K 1
K
2
=>
T2 2s + T1s + 1 T s + 1
T4 s + 1
3
T3 i T4 wynoszÄ… odpowiednio
T1 T12
T1 T12
T3 = + - T2 2
T4 = - - T2 2
oraz
2 4
2 4
33
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Element inercyjny drugiego rzędu
Odpowiedz
skokowa
t t
îÅ‚ Å‚Å‚
-
ëÅ‚ - öÅ‚
1
T3 T
4
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ śł
y (t ) = h (t ) = K 1 - T e - T e
3 4
ìÅ‚ ÷Å‚
T - T
ïÅ‚ śł
3 4
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Odpowiedz
impulsowa
t t
- -
K
T3 T4
y(t) = g (t) = (e - e )
T3 - T4
34
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Odpowiedzi czasowe elementów inercyjnych drugiego rzędu
Odpowiedz
skokowa Odpowiedz
impulsowa
h(t)
g(t)
K
t
t
35
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykład elementu inercyjnego drugiego rzędu
Podwójny czwórnik RC
R R
du1(t) u0 (t) - u1(t) u1(t) - u2 (t)
Å„Å‚
-
2
1 1
ôÅ‚C dt =
R1 R2
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
C1 C u2
u u
ôÅ‚
du2 (t) u1(t) - u2 (t)
2
0 1
ôÅ‚
C2 =
ôÅ‚ dt R2
ół
Po przekształceniach
2
d u2 (t) du (t)
2
T1T2 + (T +1 T2 + T21 ) + u2 (t) = u0 (t)
2
dt
dt
T1 = R1C1 , T2 = R2C2 , T12 = R1C2
gdzie:
36
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Element opóz
niajÄ…cy
Postać równania różniczkowego
y(t) = K Å" x(t - Ä )
Transmitancja operatorowa
G(s) = K Å" e-Äs
Odpowiedz
skokowa
y(t) = h(t) = K Å"1(t - Ä )
Odpowiedz
impulsowa
y(t) = g(t) = K Å"´ (t - Ä )
37
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Odpowiedzi czasowe elementów opóz
niajÄ…cych
h(t)
Odpowiedz
skokowa
K
Ä
t
g(t)
Odpowiedz
impulsowa
38
Ä
t
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Temat wykładu: Własności dynamiczne układów liniowych
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Przykłady elementów opóz
niajÄ…cych
transporter odcinek rurociÄ…gu
Q
v
1
l
a
v
x y
v
Q
l
2
y(t) = K x(t -Ä ) y(t) = K Q2 (t -Ä )
l
1 l
gdzie : K = 1, Ä =
gdzie : K = , Ä =
v
Q1 v
39