2016-01-14
y
ródła nieliniowości
Nieliniowości w układzie mogą być pochodzenia:
- geometrycznego (np. wahadło fizyczne),
- fizycznego (np. w przypadku odstępstwa od prawa Hooke a) oraz
- konstrukcyjnego (np. oderwanie się belki od podłoża sprężystego, zmienność
powierzchni styku kuli odkształcalnej w kontakcie z podłożem sztywnym).
Nieliniowe charakterystyki sprężyste: a) charakterystyka sprężysta tzw. miękka, b)
charakterystyka niesymetryczna, c) charakterystyka symetryczna tzw. twarda
Charakterystyka siły tarcia F(�)
Elementy i układy o nieliniowych charakterystykach typu geometrycznego
1
Dynamika układów nieliniowych o jednym stopniu swobody
Dynamika układów nieliniowych o jednym stopniu swobody
2016-01-14
W wielu przypadkach nieliniowości nie prowadzą do jakościowych zmian charakteru
ruchu  powodują tylko nieznaczne zmiany ilościowe, np. w przypadku wahadła
matematycznego niewielkie wydłużenie okresu drgań własnych.
W sytuacjach takich uzasadniona jest tzw. linearyzacja układu, czyli zastąpienie
członów nieliniowych przez równoważne im w sensie energetycznym człony
liniowe.
Są jednak przypadki, kiedy nieliniowości są z
ródłem zjawisk nieoczekiwanych,
ważnych z punktu technicznego takich jak np.:
- przeskok i histereza,
- drgania samowzbudne,
- rezonansy subharmoniczne,
- rezonansy ultraharmoniczne itp.
Ścisłe rozwiązania nieliniowych równań różniczkowych istnieją tylko dla
szczególnych przypadków.
Badanie układów nieliniowych metodą kolejnych przybliżeń
 metodą Duffinga
Metoda kolejnych przybliżeń po raz pierwszy została z powodzenie zastosowana
przez Duffinga w 1918 roku do znalezienia przybliżonego rozwiązania równania
nazywanego obecnie równaniem Duffinga.
2
&�&�
x +� w�0 �� x +� e� �� x3 =� F ��cos(w� ��t)
��
2
&�&� (1)
x =� -�w�0 �� x -� e� �� x3 +� F �� cos(w� �� t)
Poszukujemy rozwiązania okresowego o takim samym okresie, jak okres siły
wymuszającej i przyjmujemy, że w zerowym przybliżeniu mieć będzie ono postać:
x0 =� A��cos(w� ��t)
Rozwiązanie to wstawiamy do prawej strony równania (1) otrzymując równanie,
które umożliwi wyznaczenie pierwszego przybliżenia:
2
&�&�
x1 =� -�w�0 �� A�� cos(w� �� t) -� e� �� A3 �� cos3(w� �� t) +� F �� cos(w� ��t) (2)
2
Dynamika układów nieliniowych o jednym stopniu swobody
Dynamika układów nieliniowych o jednym stopniu swobody
2016-01-14
Ponieważ:
3 1
cos3(w� ��t) =� �� cos(w� ��t) +� ��cos(3��w� ��t)
4 4
więc równanie 2 można zapisać w postaci:
3 e�
2
&�&�
x1 =� (-�w�0 �� A -� ��e� �� A3 +� F) �� cos(w� ��t) -� �� A3 �� cos(3��w� ��t) (3)
4 4
Po dwukrotnym scałkowaniu równania 3 i takim dobraniu warunków początkowych,
żeby zerowały się stałe całkowania otrzymujemy pierwsze przybliżenie rozwiązania
w postaci:
1 3 e� �� A3
ć�w� ��
2
x1 =� �� �� A +� ��e� �� A3 -� F �� cos(w� �� t) +� �� cos(�3��w� ��t)� (4)
�� ��
w�2 0 4 4�� 9��w�2
Ł� ł�
Po wstawieniu tego rozwiązania do prawej strony równania 1 otrzymalibyśmy
związek do wyznaczenia drugiego przybliżenia.
1 3 e� �� A3
��
2
x1 =� ��ć�w�0 �� A +� ��e� �� A3 -� F ��cos(w� ��t) +� ��cos(�3����� t)� (4)
�� ��
w�2 Ł� 4 4��9 ��w�2
ł�
Zauważmy, że w pierwszym przybliżeniu rozwiązania pojawia się składowa będąca
wielokrotnością częstości wymuszającej.
Częstości takie są prawidłowością dla układów nieliniowych wykrywaną przy użyciu
wszystkich dostępnych metod analitycznych.
W rozwiązaniu danym równaniem 4 nieznane są wartości x1 (wychylenie) oraz A
(amplituda zerowego przybliżenia). Aby ją wyznaczyć Duffing wysunął tezę, że
amplitudy tych samych harmonicznych w kolejnych przybliżeniach nie różnią się
między sobą w istotny sposób. Stąd można napisać równość:
1 3 3 F
��
2 2
��ć�w�0 �� A +� ��e� �� A3 -� F =� A �� w� =� w�0 +� ��e� �� A2 ą� (5)
�� ��
w�2 Ł� 4 4 A
ł�
3
Dynamika układów nieliniowych o jednym stopniu swobody
2016-01-14
Dla układu liniowego przyjmujemy częstość siły wymuszającej i obliczamy
amplitudę. Dla przypadku nieliniowego przyjmujemy wartość A (amplitudę
pierwszego członu wyrażenia 4) i obliczamy częstości.
Ponieważ w większości przypadków zachodzących w praktyce symbol A oznacza
największą część składową ogólnej amplitudy, przyjęło się, że nazywamy go
amplitudą i traktujemy z osobna.
Można ponadto zauważyć, że A może być dodatnie lub ujemne, zależnie od
przesunięcia fazowego między x a F. Dodatnie wartości A dają częstości dla kątów
fazowych zbliżonych do zera. Ujemne wartości A dają częstości dla przesunięć
fazowych zbliżonych do 180�, a więc częstości wyższe od tej, którą w przybliżeniu
możemy nazwać rezonansową.
Przykład:
Dla układu opisanego równaniem różniczkowym Duffinga znalez
ć wykresy amplitud
w funkcji częstości dla wymuszeń o amplitudach F1=100 N i F2=200 N. Przyjąć:
m=1 kg
�02=1000 N/m
e�=100 000 N/m3
3 F1
2
w� =� w�0 +� ��e� �� A2 ą� =�
4 A
3 100
=� 1000 +� ��100000 �� A2 ą�
4 A
4
Dynamika układów nieliniowych o jednym stopniu swobody
Dynamika układów nieliniowych o jednym stopniu swobody
2016-01-14
e� �� A3
A1 =�
36 ��w�2
5
2016-01-14
Krzywe rezonansowe układów nieliniowych: a  dla przypadku charakterystyki sztywnej
(e�>0), b  dla przypadku charakterystyki miękkiej (e�<0)
Krzywe rezonansowe dla układu z tłumieniem i sprężyną typu Duffinga
6
Dynamika układów nieliniowych o jednym stopniu swobody
2016-01-14
Literatura:
Kamiński Eugeniusz: Podstawy dynamiki maszyn. Wydawnictwa Politechniki
Warszawskiej, Warszawa 1980
Arczewski Krzysztof, Pietrucha Józef, Jan Tomasz Szuster: Drgania układów fizycznych.
Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2008
7