Pomocnik: Dynamika układów pierwszego i drugiego rzędu  wpływ rozmieszczenia biegunów
Układ pierwszego rzędu
Standardowa postać transmitancji:
K
Y(s)
p
G(s) = =
U(s) 1+ Tbs
Kp  współczynnik wzmocnienia
Tb  stała czasowa bezwładności (inercji)
Odpowiadające podanej transmitancji równanie różniczkowe
d
Tb y(t)+ y(t) = K u(t); y(0) = 0
p
dt
Dalej będziemy rozważali przypadek Kp = 1.
Dla Kp = 1 transmitancję podaną wyżej możemy zapisać
1 T
a
b
G1(s) = =
s \ +1 Tb s \ +a
Odpowiedz
układu pierwszego rzędu o jednostkowym wzmocnieniu na skok jednostkowy wynosi
y(t) = 1- e-at
Przedstawia ją rysunek 1.
y(t)
1
Początkowe nachylenie = = a
Tb
63% wartości końcowej
dla t = Tb
1
2 3 4
5
Tb =
2Tb = 3Tb = 4Tb =
5Tb =
a
a a a
a
Tr1
Rys.1
Biegun układu
1
s1 = a =
Tb
Parametry odpowiedzi skokowej (patrz rys.1)
Czas narastania Tr1 , rozumiany jako czas zmiany odpowiedzi na skok jednostkowy od wartości 0.1
wartości końcowej do wartości 0.9 wartości końcowej
1
Tr1 E" 2.2 = 2.2Tb
a
Czas ustalenia Ts , rozumiany jako czas osiągnięcia odpowiedzi na skok jednostkowy 0.99 wartości
ustalonej
1
Ts E" 4.6 = 4.6Tb
a
Czas ustalenia Ts , rozumiany jako czas osiągnięcia odpowiedzi na skok jednostkowy 0.98 wartości
ustalonej
1
Ts E" 4 = 4Tb
a
Czas ustalenia Ts , rozumiany jako czas osiągnięcia odpowiedzi na skok jednostkowy 0.95 wartości
ustalonej
1
Ts E" 3 = 3Tb
a
Układ drugiego rzędu
Standardowa postać transmitancji
K �n 2
Y(s)
p
G(s) = =
U(s)
s2 + 2��ns + �n 2
Kp  współczynnik wzmocnienia
�n  pulsacja drgań nietłumionych
ś - współczynnik tłumienia
Odpowiadające podanej transmitancji równanie różniczkowe
2
d d d
y(t)+ 2��n y(t)+ �n 2 y(t) = K �n 2u(t); y(0) = 0, y(0) = 0
p
2
dt dt dt
Dalej będziemy rozważali przypadek Kp = 1.
Dla Kp = 1 transmitancję podaną wyżej możemy zapisać
Y(s) �n 2
G(s) = =
U(s)
s2 + 2��ns + �n 2
Bieguny:
Ogólna postać
2 2
s1 = -��n + j�n 1- � , s2 = -��n - j�n 1- �
Używane oznaczenia
� = ��n - stała tłumienia
d
2
�d = �n 1- � - pulsacja drgań tłumionych
Bieguny w ogólnej postaci wówczas
s1 = -� + j�d , s2 = -� - j�d
d d
Zobrazowanie biegunów przedstawione jest na rys. 2
2
+ �d = �n 1- �
-� = -��n
d
s  płaszczyzna
2
- �d = -�n 1- �
Rys. 2
Przypadki
a. � = 0 - układ nietłumiony
Dwa bieguny urojone
s1 = j�n , s2 = - j�n
Transmitancja redukuje się do postaci
Y(s) �n 2 �n 2
G(s) = = =
U(s) (s
s2 + �n 2 - j�n )(s + j�n )
b. 0 < � < 1 - układ niedotłumiony
Dwa bieguny zespolone sprzężone
2 2
s1 = -��n + j�n 1- � , s2 = -��n - j�n 1- �
Odpowiedz
skokowa dla tego przypadku przedstawiona jest na rys. 3
d
1+ e-� t
�# ś#
�
d ź#
y(t) = 1- e-� t ś#cos�dt + sin�dt
2
ś# ź#
1- �
�# #
d
1- e-� t
Czas
Rys. 3
Opierając się na zależnościach podanych i uwidocznionych na rys. 2 oraz 3 można podać przebieg na
s-płaszczyz
nie linii stałych wartości współczynnika tłumienia � (rys. 4), pulsacji drgań tłumionych �d (rys.
5), pulsacji drgań nietłumionych �n (rys. 6) oraz stałej tłumienia �d (rys. 7)
Rys. 4.
Rys. 5.
Rys. 6.
-�d2 -�
d1
0 <�d1 <�d2
Rys. 7.
Posiadając określoną transmitancję układu drugiego rzędu
Y(s) �n 2 b
G(s) = = =
U(s) s2 + as + b
s2 + 2��ns + �n 2
możemy określić pulsację drgań nietłumionych �n oraz współczynnik tłumienia �.
Mamy
b = �n 2 , a = 2��n
zatem
a
�n = b , � =
2 b
c. � = 1 - układ krytycznie tłumiony
Podwójny biegun rzeczywisty
s1,2 = �n
Transmitancja redukuje się do postaci
Y(s) �n 2 �n 2
G(s) = = =
2
U(s)
s2 + 2�ns + �n 2 (s + �n )
d. � > 1 - układ przetłumiony
Dwa bieguny rzeczywiste
2 2
s1 = -��n - �n � -1, s2 = -��n + �n � -1
Odpowiedzi impulsowe (impuls jednostkowy) układu drugiego rzędu o jednostkowym wzmocnieniu dla
różnych wartości współczynnika tłumienia przedstawione są na rys. 8
Rys. 8
Odpowiedzi skokowe (skok jednostkowy) układu drugiego rzędu o jednostkowym wzmocnieniu dla różnych
wartości współczynnika tłumienia przedstawione są na rys. 9
Rys.9
Obrazowe przedstawienie czterech wyróżnionych przypadków pokazane jest na rys. 10
Odpowiedz
skokowa
Bieguny
y(t)
s - płaszczyzna
Nietłumiony
s - płaszczyzna
y(t)
Niedotłumiony
y(t)
s - płaszczyzna
Krytycznie tłumiony
y(t)
s - płaszczyzna
Przetłumiony
Rys. 10.
Parametry odpowiedzi skokowej (patrz rys.11)  dla układów niedotłumionych
y(t)
�=(0.01 lub 0.02 lub 0,05)yust
ymax = Mp
OS = ymax  yust = Mp - yust
(1.01 lub 1.02 lub 1,05)yust
yust
(0.99 lub 0.98 lub 0.95)yust
�=(0.01 lub 0.02 lub 0,05)yust
0.9yust
0.1yust
Tr1
Tr
Rys.11.
Oszacowania parametrów odpowiedzi skokowej dla układów niepotłumionych przeprowadzane są w
oparciu o wyrażenie określające tą odpowiedz
podaną na rys. 3.
Uchyb ustalony eust  różnica pomiędzy wartością zadaną a wartością ustaloną odpowiedzi yust obliczana
zwykle w oparciu o twierdzenie o wartości końcowej
Czas osiągnięcia maksymalnej wartości ymax odpowiedzi Tp
Ą Ą
Tp = =
�d �n 1 - � 2
Maksymalna wartość odpowiedzi Mp
�
�
d
-Ą
-Ą
2
�d 1-�
M = ymax = y(Tp)= 1 + e = 1 + e
p
Wartość przeregulowania OS
�d -Ą �
-Ą
2
�d 1-�
OS = ymax - yust = y(Tp)- yust = M - 1 = e = e
p
Procentowa wartość przeregulowania %OS
�
�d
-Ą
-Ą
2
�d 1-�
%OS = OS �100 = 100 � e = 100 � e
Zwrócić należy uwagę, że wartość maksymalna odpowiedzi, a stad i przeregulowanie i procentowa
wartość przeregulowania zależą tylko od wartości współczynnika tłumienia. Bez dowodu podaję, że
dotyczy to również wszystkich kolejnych wartości maksymalnych i minimalnych odpowiedzi.
Podane zależności pozwalają określić wartość przeregulowania lub procentową wartość przeregulowania
dla danej wartości współczynnika tłumienia. pozwalają one też ustalić zależność odwrotną
%OS
- ln�# ś#
ś# ź#
- ln(OS)
100
�# #
� = =
2
Ą + ln2(OS) %OS
2
Ą + ln2�# ś#
ś# ź#
100
�# #
Wykres zależności wartości procentowej przeregulowania i współczynnika tłumienia otrzymany z podanych
wyżej zależności podany jest na rys. 12.
Współczynnik tłumienia ś
Rys. 12.
Procentowe przeregulowanie %OS
Czas ustalenia Ts , rozumiany jako czas osiągnięcia odpowiedzi na skok jednostkowy przedziału [(1-
�)yust,(1+�)yust ]
2 2
- ln(� 1 - ś ) - ln(� 1 - ś )
Ts = =
� ś�n
d
Częściej stosuje się przybliżenie tej zależności, przyjmujące, że czas ustalenia to czas, kiedy obwiednia
odpowiedzi osiąga ustalony przedział. Wówczas
d
e-� Ts = �
i stąd
- ln� - ln�
Ts = =
� ś�n
d
W oparciu o takie oszacowanie otrzymuje się dla najczęstszych przypadkówi:
Czas ustalenia Ts , rozumiany jako czas osiągnięcia odpowiedzi na skok jednostkowy przedziału ą0.99
wartości ustalonej
1 1
Ts E" 4.605 = 4.605
� ��n
d
Czas ustalenia Ts , rozumiany jako czas osiągnięcia odpowiedzi na skok jednostkowy przedziału ą0.98
wartości ustalonej
1 1
Ts E" 3.912 = 3.912
� ��n
d
Czas ustalenia Ts , rozumiany jako czas osiągnięcia odpowiedzi na skok jednostkowy przedziału ą0.95
wartości ustalonej
1 1
Ts E" 2.995 = 2.995
� ��n
d
Czas narastania Tr , rozumiany jako czas zmiany odpowiedzi na skok jednostkowy od wartości
początkowej do pierwszego osiągnięcia wartości końcowej
Ą Ą
+ � + �
2 2
Tr = =
�d ś�n
gdzie, � = sin-1 ś
Czas narastania Tr1 , rozumiany jako czas zmiany odpowiedzi na skok jednostkowy od wartości 0.1
wartości końcowej do wartości 0.9 wartości końcowej
Ustalenie analityczne zależności tej wielkości od współczynnika tłumienia ś oraz pulsacji drgań tłumionych
�d lub nietłumionych �n jest niemożliwe. Można to zrobić na drodze numerycznej uzyskując wyniki
przedstawione na rys. 13.
Współczynnik tłumienia ś Czas narastania Tr1 � Pulsacja drgań nietłumionych �n
Współczynnik tłumienia ś
Rys.13.
Jeżeli oznaczymy określoną rys. 13 zależność przez f,
Tr1 ��n = f (ś )
wówczas
f (ś )
Tr1 =
�n
Miejsca geometryczne biegunów jednakowych procentowych wartości przeregulowania %OS,
czasu ustalania Ts oraz czasu osiągnięcia maksymalnej wartości Tp
Porównanie postaci zależności określających procentowe wartości przeregulowania %OS, czas ustalania
Ts oraz czas osiągnięcia maksymalnej wartości Tp z miejscami geometrycznymi biegunów jednakowej
wartości współczynnika tłumienia � (rys. 4), pulsacji drgań tłumionych �d (rys. 5), pulsacji drgań oraz stałej
tłumienia �d (rys. 7) możemy określić miejsce geometryczne tych pierwszych. Przedstawione to zostało na
rys. 14.
n
r1
Czas T
�
Pulsacja drgań
�
ś1 > ś2
%OS1 < %OS2
s - płaszczyzna
�d1 < �d2
Tp1 > Tp2
�d1 < �d2
Ts1 > Ts2
Rys. 14.
Na zakończenie podamy wpływ przesuwania się biegunów wzdłuż linii stałych wartości omawianych
wielkości na przebieg odpowiedzi skokowej. Przedstawiają to rys. 15  17.
Rys. 15.
Rys. 16.
Rys. 17.