Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Analiza układu II rzędu - Matlab
Mirosław Tomera
1. WPROWADZENIE
Ocena jakości sterowania polega na ocenie dwóch stanów układu regulacji:
" stanu przejściowego
" stanu ustalonego
W pierwszym przypadku mówimy o dokładności dynamicznej, w drugim o dokładności statycznej.
Dokładność dynamiczna określa zdolność układu do wiernego i szybkiego śledzenia zmian wartości
zadanej, a dokładność statyczna zdolność układu regulacji do utrzymywania wartości regulowanej jak
najbliżej wartości zadanej w stanie ustalonym, a więc po zakończeniu stanu przejściowego. O ile
uchyb ustalony łatwo zdefiniować i wyznaczyć jego wartość o tyle dokładność dynamiczną można
scharakteryzować różnymi parametrami, a w rezultacie oceniać na podstawie różnych kryteriów.
Kryteria oceny jakości sterowania można podzielić na cztery grupy:
1) Kryteria bezpośrednie (ocena odbywa się na podstawie odpowiedzi skokowej).
2) Kryteria całkowe.
3) Kryteria częstotliwościowe.
4) Kryteria rozkładu pierwiastków (ocena na podstawie rozkładu pierwiastków równania
charakterystycznego).
Chociaż w praktyce układy regulacji drugiego rzędu występują bardzo rzadko to ich analiza daje
podstawy zrozumienia i analizy układów wyższych rzędów, które również mogą być aproksymowane
przez układy drugiego rzędu.
Rozważony zostanie układ regulacji drugiego rzędu z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym
reprezentowany przez układ pokazany na rysunku 1. Transmitancja układu z rozwartą pętlą sprzężenia
2
Y (s) Én
Go (s) = = (1)
E(s) s(s + 2Å›Én )
gdzie Å› oraz Én sÄ… staÅ‚ymi parametrami. Transmitancja ukÅ‚adu zamkniÄ™tego
2
Y (s) Go (s) Én
T (s) = = = (2)
2
R(s) 1 + Go (s)
s2 + 2Å›Éns + Én
Układ z rysunku 1 o transmitancjach opisanych wzorami (1) oraz (2) określany jest jako prototypowy
układ drugiego rzędu.
r(t) e(t) y(t)
Én
s(s+2Å›Én)
R(s) E(s) Y(s)
Rys. 1. Prototypowy układ regulacji II rzędu
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-10 © M. Tomera
Teoria sterowania Analiza układu II rzędu - Matlab
2. WSKAy
NIKI JAKOÅšCI OKREÅšLANE NA PODSTAWIE ODPOWIEDZI
SKOKOWEJ UKA
ADU
Charakter przebiegów przejściowych w liniowych układach sterowania bardzo często jest badany po
podaniu funkcji skokowej (jednostkowej) 1(t) na wejście układu. Wówczas odpowiedz
układu
sterowania nazywana jest odpowiedzią skokową. Na rysunku 2 przedstawiona została typowa
odpowiedz
skokowa liniowego układu II rzędu.
1.4
1.2
Mp
" = 1%
1.0
90%
0.8
0.6
50%
0.4
0.2
10%
tp tR
to
0.0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
tn
t [s]
Rys. 2. Typowa odpowiedz
skokowa układu sterowania
Na podstawie tej odpowiedzi definiowane są następujące wskaz
niki jakości charakteryzujące liniowe
układy sterowania w dziedzinie czasu:
1. Maksymalne przeregulowanie M
p
Mp = ymax - yu (3)
gdzie:
y(t) - odpowiedz
skokowa układu,
ymax - maksymalna wartość y(t),
yu - wartość y(t) w stanie ustalonym (yu d" ymax).
Maksymalne przeregulowanie często określane jest jako procentowy udział końcowej wartości
odpowiedzi skokowej
M
p
M = 100% (4)
p%
yu
Maksymalne przeregulowanie bardzo często wykorzystywane jest do pomiaru stabilności
względnej układu sterowania. Układ z bardzo dużym przeregulowanie jest zazwyczaj
niepożądany. Na etapie projektowania układu zazwyczaj określa się wartość tego
przeregulowania. Odpowiedz
skokowa układu z rysunku 2 pokazuje, że maksymalne
przeregulowanie pojawia się przy pierwszym przeregulowaniu. W pewnych układach
maksymalne przeregulowanie może pojawiać się w jednym z następnych pików i jest tak
wówczas gdy transmitancja układu posiada nieparzystą liczbę zer w prawej półpłaszczyz
nie
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-10 © M. Tomera 2
y(t)
Teoria sterowania Analiza układu II rzędu - Matlab
i mogą się wówczas pojawiać pierwsze przeregulowanie przy wartościach ujemnych.
2. Czas opóz
nienia to definiowany jako czas po którym odpowiedz
skokowa osiÄ…ga 50% swojej
wartości końcowej. Pokazane jest to na rysunku 2.
3. Czas narastania tn definiowany jest jako czas potrzebny do wzrostu odpowiedzi skokowej
układu od 10% do 90% wartości ustalonej.
4. Czas ustalania (regulacji) tR definiowany jako czas potrzebny do tego aby przejściowa
odpowiedz
skokowa znalazła się i pozostała w pewnej określonej strefie dokładności ( ą 1% ,
ą 2% , itd., patrz tabela 1) od wartości ustalonej. Najczęściej jest to 5% wartości ustalonej.
Te cztery powyższe wskaz
niki umożliwiają bezpośredni pomiar charakterystyk przejściowych układu
sterowania na podstawie odpowiedzi skokowej. Wskaz
niki te są łatwe do określenia na pomierzonej
charakterystyce odpowiedzi skokowej, natomiast trudno jest je wyprowadzić analitycznie za
wyjątkiem układów, których rząd jest mniejszy od trzeciego.
2.1. WZORY APROKSYMUJ
CE CZASOWE WSKAy
NIKI JAKOÅšCI
Jednostkowa odpowiedz
skokowa wyznaczona z odwrotnej transformaty Laplace'a transmitancji (2)
opisana jest wzorem
n
e-Å›É t
2
öÅ‚
y(t) = 1 - sinëÅ‚Én 1 - Å› t + arc cosÅ› dla t e" 0 (5)
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
1 - Å›
Na podstawie odpowiednich przekształceń wzoru analitycznego (5) opisującego odpowiedz
skokowÄ…
układu II rzędu możliwe jest określenie wzorów pozwalających na zaprojektowanie układu II rzędu
spełniającego odpowiednie wymagania. Poniżej znajdują się wzory aproksymujące czasowe wskaz
niki
jakości układu II rzędu:
" amplituda maksymalnego przeregulowania wyrażona procentowo
2
(6)
M = e-Ä„Å› 1-Å› Å"100% dla 0 < Å› < 1
p%
czyli
- ln(M )
p
Å› = (7)
2
Ä„ + ln2(M )
p
" chwila czasu t w której pojawia się maksymalne przeregulowanie
p
Ä„ Ä„
t = = dla 0 < Å› < 1
p
(8)
2
É
Én 1 - Å›
" czas opóz
nienia to
1 + 0.7Å›
(9)
to = dla 0 < Å› < 1
Én
" czas narastania tn
1.8
(10)
tn = dla 0 < Å› < 1
É
n
" czas ustalania tR (regulacji) według tabeli 1
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-10 © M. Tomera 3
Teoria sterowania Analiza układu II rzędu - Matlab
Tabela 1. Typowe wartości czasu ustalania (regulacji)
1% 2% 5% 10%
"
4.6 4 3 2.3
tR
à à à Ã
3. CZ
STOTLIWOÅšCIOWE WSKAy
NIKI JAKOÅšCI
W projektowaniu liniowych układów sterowania z użyciem metod w dziedzinie częstotliwości,
konieczne jest zdefiniowanie zbioru nowych wskaz
ników jakości układu. Określenia takie jak
maksymalne przeregulowanie, czas narastania, itd., używane w dziedzinie czasu nie mogą być
zastosowane w sposób bezpośredni w dziedzinie częstotliwości. Poniższe wskaz
niki jakości pokazane
są również na rysunku 3 i są najczęściej używane w dziedzinie częstotliwości.
1. Moduł rezonansowy M wyrażony w decybelach (dB) jest maksymalną wartością
rdB
charakterystyki amplitudowej 20 log M (jÉ). Amplituda M pozwala na okreÅ›lenie stabilnoÅ›ci
rdB
względnej stabilnego układu zamkniętego. Zazwyczaj duże wartości M odpowiadają dużym
rdB
wartościom maksymalnego przeregulowania odpowiedzi skokowej.
M = 20log M (11)
rdB r
2. CzÄ™stotliwość rezonansowa Ér jest czÄ™stotliwoÅ›ciÄ… przy której wystÄ™puje moduÅ‚ rezonansowy.
3. Szerokość pasma BW jest zakresem częstotliwości od zera do częstotliwości przy której
charakterystyka amplitudowa 20 log M (jÉ) o 3 dB od jego amplitudy przy zerowej
częstotliwości.
20 log M (jÉ)
M
rdB
- 3dB
Ér
logÉ
BW
Õ(jÉ)
É
g
logÉ
PM
-180o
Rys. 3. Przykładowe logarytmiczne charakterystyki amplitudy i fazy prototypowego układu II rzędu.
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-10 © M. Tomera 4
Teoria sterowania Analiza układu II rzędu - Matlab
3.1. WZORY APROKSYMUJ
CE CZ
STOTLIWOÅšCIOWE WSKAy
NIKI JAKOÅšCI
Dla prototypowego układu drugiego rzędu (rys.1), moduł rezonansowy Mr , częstotliwość
rezonansowa Ér i szerokość pasma BW odnoszÄ… siÄ™ w sposób unikalny do współczynnika tÅ‚umienia Å›
i czÄ™stotliwość drgaÅ„ wÅ‚asnych Én . W sinusoidalnym stanie ustalonym, s = jÉ i wówczas równanie
(2) ma postać
2
Y ( jÉ) Én 1
G( jÉ) = = = (12)
2 2
2
R( jÉ)
(jÉ) + 2Å›Én (jÉ)+ Én 1 + j2(É Én )Å› - (É Én )
Można uproÅ›cić równanie (12) przez podstawienie u = É Én . Wówczas równanie (12) staje siÄ™
1
jÕ (É)
G( jÉ) = = M ( jÉ)e (13)
1 + j2uÅ› - u2
Amplituda i faza G(jÉ) sÄ… nastÄ™pujÄ…ce
1
(
M jÉ)= G( jÉ) = (14)
2
(1 - u2 + (2śu
) )2
oraz
ëÅ‚ 2Å›u öÅ‚
Õ( "G( jÉ) = -arctan (15)
jÉ)= ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚1 - u Å‚Å‚
Na podstawie zależności (14) i (15) wyprowadza się wzory pozwalające na wyznaczenie wartości
częstotliwościowych wskaz
ników jakości dla układu II rzędu, które są następujące:
" Moduł rezonansowy M wyrażony w jednostkach bezwzględnych
r
1
M = , dla 0 < Å› d" 0.707
r
(16)
2
2Å› 1 - Å›
Zależność między modułem rezonansowym wyrażonym w jednostkach bezwzględnych
wyliczanym w oparciu o moduł rezonansowy wyrażony w decybelach jest następująca
MrdB
20
(17)
M =10
r
" CzÄ™stotliwość rezonansowa Ér
2
Ér = Én 1 - 2Å› , dla 0 < Å› d" 0.707
(18)
" Szerokość pasma BW
2 4 2
(19)
BW = Én (1 - 2Å› )+ Å› - 4Å› + 2
" Zapas fazy PM - wyznaczany w układzie otwartym z rysunku 1.
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2Å› (20)
PM = arctanìÅ‚
÷Å‚
4 2
ìÅ‚ ÷Å‚
1 + 4Å› - 2Å›
íÅ‚ Å‚Å‚
Przykład 1 ilustruje związki pomiędzy czasowymi i częstotliwościowymi wskaz
nikami jakości dla
układu II rzędu.
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-10 © M. Tomera 5
Teoria sterowania Analiza układu II rzędu - Matlab
Przykład 1
Amplitudowa charakterystyka czÄ™stotliwoÅ›ciowa M (jÉ) prototypowego ukÅ‚adu II rzÄ™du
pokazana jest na rysunku 3.1. Wyznacz czasowe wskaz
niki jakości odpowiadające tej
charakterystyce.
Bode Diagram
10
0
Peak gain (dB): 3.09
At frequency (rad/sec): 3.03
-10
-20
-30
-40
-50
-60
0
10-1 10 101 102
Frequency (rad/sec)
Rys. 1.1. Amplitudowa charakterystyka częstotliwościowa logarytmiczna.
Rozwiązanie. Odczytane z rysunku 1.1 wartości modułu rezonansowego Mr i częstotliwości
rezonansowej Ér
M = 3.09 [dB] (1.1)
rdB
Ér = 3.03 [rad/s] (1.2)
Wzór określający moduł rezonansowy (14) dla układu II rzędu wyrażony jest w wartościach
bezwzględnych, natomiast odczytany z wykresu w decybelach, dlatego też w pierwszej
kolejności należy go przeliczyć na wartości bezwzględne. Zależność pomiędzy wartością
modułu rezonansowego wyrażonego w decybelach M , a wartością bezwzględną modułu
rdB
rezonansowego Mr
M = 20 log M (1.3)
rdB r
Po przekształceniu wzoru (1.3) wyznaczona została wartość modułu rezonansowego Mr
wyrażona w wartościach bezwzględnych
MrdB 3.09
20 20
M =10 =10 = 1.4272 (1.4)
r
Po podstawieniu uzyskanej wartości modułu rezonansowego Mr do wzoru (15) uzyskuje się
zależność, która pozwala na wyznaczenie wartości współczynnika tłumienia ś dla układu
II rzędu, która najpierw została przekształcona do postaci równania (1.5)
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-10 © M. Tomera 6
Magnitude (dB)
Teoria sterowania Analiza układu II rzędu - Matlab
1
4 2
Å› - Å› + = 0 (1.5)
2
4M
r
Rozwiązaniami równania (1.5) są następujące wartości współczynnika ś :
ś1 = 0.9256, ś = -0.9256, ś = 0.3785, ś = -0.3785 (1.6)
2 3 4
Ponieważ wzór (15) jest poprawny dla współczynnika ś z przedziału 0 < ś d" 0.707 ,
poprawnym rozwiązaniem ze zbioru rozwiązań (1.6) jest
Å› = Å› = 0.3785 (1.7)
3
Na podstawie równania (15) wyznaczona zostaÅ‚a czÄ™stotliwość drgaÅ„ wÅ‚asnych Én
Ér 3.03
Én = = = 3.5871 [rad/s] (1.8)
2
1 - 2Å› 1 - 2 Å" 0.37852
Mając wyznaczone wartości współczynnika tłumienia ś oraz częstotliwości drgań własnych
Én należy w pierwszej kolejnoÅ›ci dokonać sprawdzenia uzyskanych wyników podstawiajÄ…c je
do równań (14) i (15)
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
÷Å‚
÷Å‚
M = 20logìÅ‚ = 20 logìÅ‚ = 3.09 [dB] (1.9)
rdB
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
2
ìÅ‚ ÷Å‚
2Å› 1 - Å› 2 Å" 0.3785 1 - 0.37852 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2
Ér = Én 1 - 2Å› = 3.5871 1 - 2 Å" 0.37852 = 3.03 [rad/s] (1.10)
Wyniki uzyskane w równaniach (1.9) i (1.10) dowodzą, że wyznaczone wartości współczynnika
tÅ‚umienia Å› oraz czÄ™stotliwoÅ›ci drgaÅ„ wÅ‚asnych Én sÄ… poprawne. WartoÅ›ci pozostaÅ‚ych
częstotliwościowych i czasowych wskaz
ników jakości są następujące
" Szerokość pasma częstotliwości BW (16)
2 4 2
BW = Én (1 - 2Å› )+ Å› - 4Å› + 2 = 4.966 [rad/s] (1.11)
" Amplituda maksymalnego przeregulowania (6)
2
Mp% = e-Ä„Å› 1-Å› Å"100% = 27.676 [%] (1.12)
" Chwila czasu t w której pojawia się to maksymalne przeregulowanie
p
Ä„
t = = = 0.946 [s] (1.13)
p
2
Én 1 - Å›
" Czas opóz
nienia to
1 + 0.7Å›
to = = 0.353 [s] (1.14)
Én
" Czas narastania tn
1.8
tn = = 0.502 [s] (1.15)
É
n
" Czas ustalania tR (regulacji), dokładność " = 1 [%].
4.6 4.6
tR = = = 3.388 [s] (1.16)
à śÉn
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-10 © M. Tomera 7
Teoria sterowania Analiza układu II rzędu - Matlab
Wyniki uzyskane zostały przy wykorzystaniu następującego kodu programu Matlaba
clear
% Wartości zadane
MrdB = 3.09
wr = 3.03
% Wyznaczenie wn i zeta
Mr = 10^(MrdB/20)
r_zeta = roots([4 0 -4 0 (1/Mr^2)])
zeta = r_zeta(3)
wn = wr/sqrt(1-2*zeta^2)
% Sprawdzenie poprawności uzyskanych wyników dla wn i zeta
% i porównanie ich z wartościami zadanymi
MrdB1 = 20*log10(1/(2*zeta*sqrt(1-zeta^2)))
wr1 = wn*sqrt(1-2*zeta^2)
% Brakujący częstotliwościowy wskaz
nik jakości
BW = wn*sqrt(1-2*zeta^2+sqrt(zeta^4-4*zeta^2+2))
% Czasowe wskaz
niki jakości
Mp = exp(-pi*zeta/sqrt(1-zeta^2))*100
tp = pi/(wn*sqrt(1-zeta^2))
to = (1+0.7*zeta)/wn
tn = 1.8/wn
tr = 4.6/(zeta*wn)
% Graficzna prezentacja uzyskanych wyników
ltiview( tf( wn^2, [1 2*zeta*wn wn^2]))
Kolejny przykład ilustruje zastosowanie wzorów (6), (7), (8), (9), (16), (18), (19) do projektowania
odpowiedzi skokowej układu II rzędu.
Przykład 2
Dla układu pokazanego na rysunku 2.1, wyznacz takie wartości parametrów K1 i K2 aby
spełnione były następujące wymagania dotyczące wybranych częstotliwościowych i czasowych
wskaz
ników jakości:
" szerokość pasma częstotliwości BW = 4.58 [rad/s],
" czas narastania tn = 0.5 [s].
Mając wyznaczone wartości parametrów K1 oraz K2, oblicz jakie będzie w tym układzie
maksymalne przeregulowanie Mp i czas ustalania tR (dokładność 2%) jednostkowej odpowiedzi
skokowej.
R(s) Y(s)
1 1
K1
s+1 s
K2
Rys. 2.1. Schemat blokowy układu z poszukiwanymi wartościami parametrów K1 i K2
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-10 © M. Tomera 8
Teoria sterowania Analiza układu II rzędu - Matlab
Rozwiązanie: Transmitancja zastępcza całego układu z rysunku 2.1
Y (s) K1
( )= =
G s (2.1)
R(s) )
s2 + (1 + K2 s + K1
Porównując równanie (2.1) z równaniem (2), uzyskuje się zależności pozwalające na
wyznaczenie poszukiwanych wartości parametrów K1 oraz K2 i są one następujące:
2
K1 = Én (2.2)
1 + K2 = 2Å›Én (2.3)
Z zależności (2.2) oraz (2.3) wynika, że do wyznaczenia wartości parametrów K1 oraz K2
potrzebna jest znajomość wartości współczynnika tłumienia ś oraz częstotliwości drgań
wÅ‚asnych Én , które to wartoÅ›ci uzyskane zostanÄ… z wymagaÅ„ jakie naÅ‚ożone zostaÅ‚y na
projektowany układ z rysunku 2.1. Szerokość pasma częstotliwości BW opisana jest przez
równanie (16)
2 4 2
BW = Én (1 - 2Å› )+ Å› - 4Å› + 2 = 4.58 [rad/s] (2.4)
natomiast czas narastania tn przez równanie (9)
1.8
tn = = 0.5 [s] (2.5)
É
n
Z układu tych dwóch równań (2.4) i (2.5) z dwoma niewiadomymi wyznaczona zostanie
w pierwszej kolejnoÅ›ci poszukiwana wartość czÄ™stotliwoÅ›ci drgaÅ„ wÅ‚asnych Én z równania
(2.5)
1.8 1.8
Én = = = 3.6 [s] (2.6)
tn 0.5
i nastÄ™pnie po podstawieniu do równania (2.4) wyznaczonej wartoÅ›ci Én i dokonaniu kilku
przekształceń uzyskuje się następujący wielomian
2 4 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
BW BW BW
4 2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ - 2ìÅ‚ ÷Å‚ -1 = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
3Å› + 4ìÅ‚ ÷Å‚ Å› + (2.7)
ìÅ‚ ÷Å‚
Én Én Én
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Rozwiązaniami równania (2.7) są następujące wartości współczynnika ś :
ś1,2 = ą j1.544 ś = 0.4755, ś = -0.4755 (2.8)
3 4
Poprawnym rozwiązaniem ze zbioru rozwiązań (2.8) jest
Å› = Å› = 0.4755 (2.9)
3
gdyż jest wartością rzeczywistą dodatnią. W celu sprawdzenia uzyskanego rozwiązania należy
jeszcze raz wyznaczyć zadaną wartość szerokości pasma, według wzoru (2.4) i uzyskane wyniki
porównać z zadanymi wymaganiami.
MajÄ…c wyznaczone wartoÅ›ci współczynnika tÅ‚umienia Å› i czÄ™stotliwoÅ›ci drgaÅ„ wÅ‚asnych Én ,
poszukiwane wartości parametrów K1 oraz K2 z zależności (2.2) i (2.3) są następujące:
2
K1 = Én =12.960 (2.10)
K2 = 2Å›É - 1 = 2 Å" 0.4755 Å" 3.6 -1 = 2.424 (2.11)
n
Amplituda maksymalnego przeregulowania (6)
2
Mp% = e-Ä„Å› 1-Å› Å"100% = 18.3 [%] (2.12)
Czas ustalania tR dla dokładności (" = 2%)
4 4 4
tR = = = = 2.337 [s] (2.13)
à śÉn 0.4755 Å" 3.6
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-10 © M. Tomera 9
Teoria sterowania Analiza układu II rzędu - Matlab
Wyniki uzyskane zostały przy użyciu następujących linii kodu programu
% Wymagania nałożone na układ
BW = 4.58;
tn = 0.5;
% Wyznaczenie wn i zeta
wn = 1.8/tn
a = (BW/wn)^2
r_zeta = roots([3 0 4*a 0 (a^2-2*a-1)])
zeta = r_zeta(3)
% Sprawdzenie poprawności wyznaczonych parametrów wn i zeta
BWs = wn*sqrt(1-2*zeta^2+sqrt(zeta^4-4*zeta^2+2))
% Poszukiwane wartości wzmocnień
K1 = wn^2
K2 = 2*zeta*wn-1
% Wybrane czasowe wskaz
niki jakości
Mp = exp(-pi*zeta/sqrt(1-zeta^2))*100
tr = 4/(zeta*wn)
% Graficzna prezentacja uzyskanych wyników
ltiview( tf( K1, [1 (1+K2) K1]))
4. PRZEKSZTAA
CANIE WYMAGAC
PROJEKTOWYCH NA PA
ASZCZYZN
S
Przekształcanie wymagań projektowych na płaszczyznę s związane jest z czwartym kryterium oceny
jakości regulacji związanych z oceną jakości na podstawie położeń biegunów transmitancji.
Odpowiedz
skokowa układu II rzędu może być kształtowana przez ustalenie odpowiednich
położeń pierwiastków równania charakterystycznego transmitancji II rzędu (2). Pierwiastki te mogą
być wyrażone jako
s1, s2 = -Å›Én Ä… jÉn 1 - Å› 2 = -à ą jÉ (21)
gdzie à = Å›Én (22)
2
É = Én 1- Å› (23)
charakterystycznego oraz Ã, Å› , Én oraz É. Dla pierwiastków zespolonych sprzężonych:
Im s
płaszczyzna s
pierwiastek
¸ Én É
Re s
à =Å›Én
pierwiastek
Rys.4. Zależność pomiÄ™dzy pierwiastkami równania charakterystycznego prototypowego ukÅ‚adu II rzÄ™du oraz Ã,
2
Å› , É , É, gdzie É = É 1-Å›
n n
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-10 © M. Tomera 10
Teoria sterowania Analiza układu II rzędu - Matlab
" Én - jest kÄ…towÄ… odlegÅ‚oÅ›ciÄ… pierwiastka od poczÄ…tku ukÅ‚adu (czÄ™stotliwoÅ›ciÄ… drgaÅ„
własnych).
" Ã - jest częściÄ… rzeczywistÄ… pierwiastków.
" É - jest częściÄ… urojonÄ… pierwiastków (czÄ™stotliwoÅ›ciÄ… drgaÅ„ tÅ‚umionych).
" ś - (współczynnik tłumienia) jest cosinusem kąta pomiędzy linią kątową pierwiastków
i półosią rzeczywistą ujemną (gdy pierwiastki leżą w lewej półpłaszczyz
nie)
Å› = cos¸ (24)
Na etapie projektowania układu nakłada się pewne wymagania dotyczące czasu narastania tn ,
maksymalnego przeregulowania M i czasu ustalania (regulacji) tR i zadaje siÄ™ pytanie: gdzie
p
powinny znajdować się bieguny, aby uzyskać odpowiedz
w której te wielkości będą mniejsze lub
równe zadanym wymaganiom. Dla zadanych wartości tn , M oraz tR forma syntezowa tych równań:
p
1.8
Én e" (25)
tn
- ln(M )
p
Å› e" (26)
2
Ä„ + ln2(M )
p
4.6
à e" (27)
tR
Zależności te w formie graficznej przedstawione są na rysunku 5 i 6.
Im s Im s
Im s
Ã
Én
arccos
Å›
Re s Re s
Re s
(a) (b) (c)
Rys. 5. Wymagania projektowe dotyczące układu II rzędu pokazane w formie graficznej (a) czas narastania,
(b) maksymalne przeregulowanie, (c) czas ustalania.
Im s
Re s
Rys.6. Wymagania projektowe z rysunku 5 zebrane na jednym wykresie.
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-10 © M. Tomera 11
Teoria sterowania Analiza układu II rzędu - Matlab
Przykład 3
Znajdz
obszary położeń biegunów transmitancji układu na płaszczyz
nie s, jeśli wymagania
nałożone na odpowiedz
skokową są następujące: tn d" 0.6 [s], M d" 10 [%] oraz tR d" 3 [s],
p
(" = 1 [%]).
Rozwiązanie: Bez wiedzy, czy układ II rzędu posiada zera czy też nie, nie jest możliwe
znalezienie dokładnych obszarów. Można natomiast uzyskać pierwszą aproksymację z użyciem
zależności dla układu II rzędu.
Równanie (21) oznacza, że
1.8
Én e" = 3 [rad/s] (3.1)
tn
Z równanie (22) wynika
- ln(M )
- ln(0.1)
p
Å› e" = = 0.5912 (3.2)
2 2
Ä„ + ln2(M ) Ä„ + ln2(0.1)
p
czyli kÄ…t ¸
¸ d" arc cos(0.5912)= 53.76o (3.3)
oraz w oparciu o równanie (23) uzyskuje się
4.6
à e" = 1.5333 [s] (3.4)
3
Wymagania definiowane dla odpowiedzi skokowej przekładają się na następujące obszary
możliwych położeń spełniających te wymagania.
3 d" Én < " (3.5)
0.5912 d" Å› < " czyli 0 d" ¸ d" 53.76o , (3.6)
1.5333 d" Ã < " (3.7)
Obszar możliwych położeń biegunów na płaszczyz
nie s spełniających wymagania z tego
przykÅ‚adu znajduje siÄ™ na rysunku 3.1. Zauważ, że pewne wymagania dotyczÄ…ce Å› oraz Én
automatycznie spełniają wymaganiu dotyczącemu à .
Im s
j3
-1.5
-3 Re s
Rys.3.1. Fragment obszaru możliwych położeń biegunów na płaszczyz
nie s spełniających wymagania z
przykładu 3.
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-10 © M. Tomera 12
Teoria sterowania Analiza układu II rzędu - Matlab
W Matlabie do wykreślania na płaszczyz
nie zmiennej zespolonej s linii stałych wartości ś oraz
Én sÅ‚uży funkcja sgrid. Wyniki w tym przykÅ‚adzie uzyskane zostaÅ‚y przy użyciu
następujących linii kodu programu.
clear
% Wymagania nałożone na układ
tn_gr = 0.6; % Wartość graniczna czasu narastania
Mp_gr = 10; % Wartość graniczna maksymalnego przeregulowania
tr_gr = 3; % Wartość graniczna czasu regulacji
% wyznaczenie granicznych wartości parametrów transmitancji
wn_gr = 1.8/tn_gr
zeta_gr = -log(Mp_gr/100)/sqrt(pi^2+log(Mp_gr/100)^2)
theta_gr = acos( zeta_gr)*180/pi
sigma_gr = 4.6/tr_gr
% graficzna prezentacja uzyskanych wyników
sgrid( zeta_gr, wn_gr, 'new')
axis auto
axis equal
ĆWICZENIA W MATLABIE
M1. Dla układu z rysunku M1 dobierz takie wartości parametrów K1 i K2 aby spełnione były
następujące wymagania:
" czas narastania tn = 1.8 [s]
" moduł rezonansowy M = 2.7 [dB]
r
R(s) Y(s)
10
K1
s(s + 2)
K2s
Rys. M1. Schemat blokowy układu zamkniętego
M2. Dla układu z rysunku M2, dobierz takie wartości parametrów K1 i K2 aby spełnione były
następujące wymagania:
" czas (chwila) wystÄ…pienia pierwszego przeregulowania tp = 1 [s],
" czÄ™stotliwość rezonansowa É = 2 [rad/s]
r
K2
R(s) Y(s)
1 1
K1
s s
2
Rys. M2. Schemat blokowy układu zamkniętego
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-10 © M. Tomera 13
Teoria sterowania Analiza układu II rzędu - Matlab
M3. Dla układu z rysunku M3, dobierz takie wartości parametrów K1 i K2 aby spełnione były
następujące wymagania:
" moduł rezonansowy Mr = 1.5 [dB]
" czÄ™stotliwość rezonansowa Ér = 2 [rad/s]
R(s) Y(s)
1 1
K1
s s
K2
Rys. M3. Schemat blokowy układu zamkniętego
M4. Dla układu z rysunku M4, dobierz takie wartości parametrów K1 i ą aby spełnione były
następujące wymagania:
" czas ustalania (regulacji) tR = 4 [s], (" = 2 %)
" czÄ™stotliwość rezonansowa Ér = 1 [rad/s]
R(s) Y(s)
1 1
K
s+Ä… s
Rys. M4. Schemat blokowy układu zamkniętego
M5. Dla układu z rysunku M5, dobierz takie wartości parametrów K1 i ą aby spełnione były
następujące wymagania:
" czas (chwila) wystÄ…pienia pierwszego przeregulowania tp = 1 [s],
" czas ustalania (regulacji) tR = 2 [s], (" = 1 %)
R(s) Y(s)
1
K
s(s+Ä… )
0.5s
Rys. M5. Schemat blokowy układu zamkniętego
M6. Dla układu z rysunku M6, dobierz takie wartości parametrów K oraz ą aby spełnione były
następujące wymagania dotyczące przejściowej odpowiedzi skokowej:
" czas narastania Mp = 14 [%]
" szerokość pasma BW = 4 [rad/s]
R(s) Y(s)
1
K
s(s+Ä… )
s
Rys.M6. Schemat blokowy układu zamkniętego
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-10 © M. Tomera 14
Teoria sterowania Analiza układu II rzędu - Matlab
M7. Dla układu z rysunku M7, dobierz takie wartości parametrów K oraz ą aby spełnione były
następujące wymagania dotyczące przejściowej odpowiedzi skokowej:
" czas narastania Mp = 14 [%]
" czas opóz
nienia to = 0.6 [s]
R(s) Y(s)
1 1
K
s+Ä… s
Rys.M7. Schemat blokowy układu zamkniętego
M8. Dla układu z rysunku M8, dobierz takie wartości parametrów K1 i K2 aby spełnione były
następujące wymagania:
" moduł rezonansowy Mr = 1.2 [dB]
" szerokość pasma BW = 3 [rad/s]
R(s) Y(s)
1 1
K1
s+1 s
K2
Rys. M8. Schemat blokowy układu zamkniętego
M9. Dla układu z rysunku M9, dobierz takie wartości parametrów K1 i K2 aby spełnione były
następujące wymagania:
" czas opóz
nienia to = 1 [s],
" moduł rezonansowy Mr = 2 [dB]
R(s) Y(s)
1 1
K1
s s
K2
Rys. M9. Schemat blokowy układu zamkniętego
M10. Dla układu z rysunku M10, dobierz takie wartości parametrów K1 i K2 aby spełnione były
następujące wymagania:
" moduł rezonansowy Mr = 3 [dB]
" szerokość pasma BW = 5 [rad/s]
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-10 © M. Tomera 15
Teoria sterowania Analiza układu II rzędu - Matlab
R(s) Y(s)
1 1
K1
s s
K2
Rys. M10. Schemat blokowy układu zamkniętego
M11. Dla układu z rysunku M11, dobierz takie wartości parametrów K1 i ą aby spełnione były
następujące wymagania:
" czas (chwila) wystÄ…pienia pierwszego przeregulowania tp = 1 [s],
" czas ustalania (regulacji) tR = 2 [s], (" = 1 %)
R(s) Y(s)
1 1
K1
s+1 s
K2
Rys. M11. Schemat blokowy układu zamkniętego
M12. Dla układu z rysunku M12, dobierz takie wartości parametrów K oraz ą aby spełnione były
następujące wymagania dotyczące przejściowej odpowiedzi skokowej:
" czÄ™stotliwość rezonansowa Ér = 3 [rad/s]
" szerokość pasma BW = 6 [rad/s]
R(s) 1 Y(s)
1
K1 s
s
K2
Rys.M12. Schemat blokowy układu zamkniętego
M13. Naszkicuj obszar na płaszczyz
nie s w którym powinny znalez
ć się bieguny układu II rzędu,
które spełniają poniższe wymagania.
a)
" czas narastania tn d" 0.5 [s]
" procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie Mp d" 16.7 [%]
" czas regulacji tR d" 2 [s], (" = 1 [%])
b)
" czas narastania 0.3 d" tn d" 0.6 [s],
" maksymalne przeregulowanie 15 d" Mp d" 30 [%],
10 10
" czas regulacji d" tR d" [s], (" = 2 [%])
7 3
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-10 © M. Tomera 16
Teoria sterowania Analiza układu II rzędu - Matlab
c)
" czas narastania tn d" 2 [s]
" procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie 10 d" Mp d" 25 [%]
" czas regulacji tR e" 6 [s], (" = 2%)
d)
" czas narastania tn d" 0.6 [s],
" maksymalne przeregulowanie Mp d" 20 [%],
" czas regulacji 1 d" tR d" 2 [s], (" = 2%)
e)
" czas narastania tn e" 0.8 [s],
" maksymalne przeregulowanie Mp d" 25 [%],
" czas regulacji tR e" 3.6 [s], (" = 2%)
f)
" czas narastania 0.6 d" tn d" 1.8 [s],
" maksymalne przeregulowanie Mp d" 10 [%],
" czas regulacji tR e" 1.8 [s], (" = 2%)
g)
" czas narastania tn d" 1.5 [s],
" maksymalne przeregulowanie 15 d" Mp d" 50 [%],
" czas regulacji tR d" 8 [s], " = 1 [%]
h)
" czas narastania tn d" 0.3 [s],
" maksymalne przeregulowanie 5 d" Mp d" 25 [%],
10
" czas regulacji 1 d" tR d" [s], (" = 1 [%])
7
i)
" czas narastania tn e" 0.45 [s]
" procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie Mp d" 14 [%]
" czas regulacji tR d" 4 [s], (" = 1 [%])
j)
" czas narastania tn d" 1.6 [s]
" procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie 12 d" Mp d" 18 [%]
" czas regulacji tR d" 8 [s], (" = 2%)
k)
" czas narastania tn e" 0.3 [s],
" maksymalne przeregulowanie Mp d" 10.2 [%],
" czas regulacji tR e" 0.8 [s], (" = 2%)
l)
" czas narastania tn d" 1.2 [s],
" maksymalne przeregulowanie 12 d" Mp d" 24 [%],
" czas regulacji tR d" 7.2 [s], (" = 1 [%])
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-10 © M. Tomera 17
Teoria sterowania Analiza układu II rzędu - Matlab
ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEC

M1.
K1 = 0.1 , K = -0.12
2
M2.
K1
G(s) = , Å› = 0.6107, É = 3.9673 [rad/s], K1 = 15.7392, K = 26.6330
n 2
2
s + (2K1 - K )s + K1
2
M3.
K1
G(s) = , Å› = 0.4794, É = 2.7206 [rad/s], K1 = 7.4016, K = 2.6083
n 2
2
s + K s + K1
2
M4.
K = 3 , Ä… = 1
M5.
K
G(s) = , Å› = 0.5907, Én = 3.8935 [rad/s], K = 15.1596, Ä… = 4.1000
2
s + (Ä… + 0.5)s + K
M6.
K = 11.319 , Ä… = 2.569
M7.
K = 5.224 , Ä… = 1.425
M8.
K1 = 5.941 , K = 1.458
2
M9.
K1
G(s) = , Å› = 0.4430, Én = 1.3101 [rad/s], K1 = 1.7164, K = 1.2589
2
2
s + (K1K -1)s + K1
2
M10.
K1
G(s) = , Å› = 0.3832, É = 3.6238 [rad/s], K1 = 13.1316, K = 2.7775
n 2
2
s + K s + K1
2
M11.
K1
G(s) = , Å› = 0.5907, É = 3.8935 [rad/s], K1 = 15.1596, K = 3.6
n 2
2
s + (K +1)s + K1
2
M12.
K1
G(s) = , Å› = 0.6020, É = 5.7183 [rad/s], K1 = 32.6992, K = 1.2105
n 2
2
s + (K1K - K1)s + K1
2
M13.
a) 3.6 d" É < " ; 0.495 d" Å› < 1 ; 0o d" ¸ d" 60.3o , 2.3 d" Ã < "
n
b) 3 d" Én d" 6 ; 0.358 d" Å› d" 0.517 ; 58.9o d" ¸ d" 69.0o , 1.2 d" Ã d" 2.8
c) 0.9 d" É < " ; 0.404 d" Å› d" 0.591; 53.8o d" ¸ d" 66.2o , 0 < Ã d" 0.667
n
d) 3 d" É < " , 0.456 d" Å› < 1; 0o d" ¸ d" 62.9o , 2 d" Ã d" 4
n
e) 0 < É d" 2.25 0.404 d" Å› < 1; 0o d" ¸ d" 66.2o , 0 < Ã d" 1.111
n
f) 1 d" Én d" 3 0.591 d" Å› < 1; 0o d" ¸ d" 53.8o , 0 < Ã d" 2.212
g) 1.2 d" Én < " 0.215 d" Å› d" 0.517 ; 58.9o d" ¸ d" 77.5o , 0.575 d" Ã < "
h) 6 d" Én < " 0.403 d" Å› d" 0.690 ; 46.4o d" ¸ d" 66.2o , 3.22 d" Ã d" 4.6
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-10 © M. Tomera 18
Teoria sterowania Analiza układu II rzędu - Matlab
i) 0 < É d" 4 0.5305 d" Å› < 1 ; 0o d" ¸ d" 58o , 1.15 d" Ã < "
n
j) 1.125 d" É < " 0.479 d" Å› d" 0.559 ; 56.0o d" ¸ d" 61.4o , 0.5 d" Ã < "
n
k) 0 < Én d" 6 , 0.5878 d" Å› < 1 , 0o d" ¸ d" 53.9o , 0 < Ã d" 5
l) 1.5 d" É < " , 0.413 d" Å› d" 0.559 , 56.0o d" ¸ d" 65.6o , 0.639 d" Ã < "
n
LITERATURA
1. Kuo B.C. Automatic Control System, John Wiley & Sons, Inc, 1995.
Ostatnia aktualizacja: 2008-05-10 © M. Tomera 19