Bożena Szkopińska
Analiza matematycza II - Szkic wykładu
Część 1
I. Przestrzenie metryczne. Rodzaje zbiorów
Definicja 1.1. (Przestrzeń metryczna)
Niech X będzie dowolnym zbiorem niepustym. Funkcję d : X � X R nazywamy
metryką (lub funkcją odległości), jeśli spełnione są następujące warunki:
(1) '" (d(x, y) e" 0 '" (d(x, y) = 0 �! x = y))
x, y"X
(2) '" d(x, y) = d(y, x)
x, y"X
(3) '" d(x, y) d" d(x, z) + d(z, y)
x, y,z"X
Parę uporządkowaną (X , d), gdzie d jest metryką nazywamy przestrzenią metryczną.
Zbiór X nazywamy zbiorem punktów przestrzeni metrycznej (X , d), zaś wartość funkcji
d(x,y) dla ustalonych x,y"X nazywamy odległością punktów x i y.
Definicja 1.2 (Kula w przestrzeni metrycznej).
Niech (X , d) oznacza przestrzeń metryczną, a"X i r  dodatnią liczbą rzeczywistą.
Kulą o środku a i promieniu r (lub kula otwartą) nazywamy zbiór:
K(a, r) = {x " X : d(x, a) < r}
Definicja 1.3 (Punkt wewnętrzny zbioru)
Niech A�"X. Punkt a"X nazywamy punktem wewnętrznym zbioru A, jeśli
(" K(a, r) �" A
r"R
Definicja 1.4 (Zbiór otwarty i otoczenie punktu)
Zbiór A�"X, którego każdy punkt jest punktem wewnętrznym nazywamy zbiorem
otwartym.
Otoczeniem punktu x0"X nazywamy dowolny zbiór U(x0) otwarty w przestrzeni
(X , d) i zawierający punkt x0.
Twierdzenie 1.5
Każda kula otwarta jest zbiorem otwartym.
Definicja 1.6 (Zbiór domknięty)
Zbiór B�"X, którego dopełnienie X\B jest zbiorem otwartym, nazywamy zbiorem
domkniętym.
n
Uwaga: Niech X = Rn oraz d(x, y) = - yi )2 , gdzie x = (x1,..., xn ),
"(xi
i=1
y = (y1,..., yn ). Dowodzi się , że funkcja d jest metryką. Tak zdefiniowaną przestrzeń
metryczną (X,d) nazywamy przestrzenią euklidesową n-wymiarową, zaś funkcję d 
metryką euklidesową. W szczególnym przypadku dla n=1, metryka euklidesowa w
zbiorze R przyjmuje postać d(x, y) = x - y dla x,y"R i nazywana jest również metryką
naturalną na prostej.
Definicja 1.7 (Zbiór ograniczony)
Niech A będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej (X,d). Średnicą
zbioru A nazywamy liczbę � (A) = sup{d(x, y) : x, y " A}. Zbiór A nazywamy
2
ograniczonym, jeśli � (A) < " . W przeciwnym razie mówimy, że zbiór A jest
nieograniczony.
Definicja 1.8 (Wnętrze zbioru)
Wnętrzem podzbioru A przestrzeni metrycznej(X , d)nazywamy sumę rodziny
wszystkich zbiorów otwartych zawartych w zbiorze A i oznaczamy je symbolem Int(A).
Twierdzenie 1.9.
Zbiór A jest otwarty w przestrzeni metrycznej(X , d)wtedy i tylko wtedy, gdy
A = Int(A)
Definicja 1.10. (Zbieżność ciągu w przestrzeni metrycznej)
Niech(X , d)będzie przestrzenią metryczną i pn"X dla n"N. Ciąg {pn}n"N
nazywamy zbieżnym w przestrzeni metrycznej(X , d)do punktu p0"X, co oznaczamy
lim pn = p0 , wtedy i tylko wtedy, gdy
n"
lim d(pn , p0 )= 0
n"
Definicja 1.11 (Warunek Cauchy ego)
Mówimy, że ciąg {pn}n"N punktów przestrzeni metrycznej(X , d)spełnia warunek
Cauchy ego wtedy i tylko wtedy, gdy
'" (" '" ((n > n0 '" m > n0 )�! d( pn , pm ) < �)
� >0 n0"N m,n"N
Twierdzenie 1.12.
Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej spełnia warunek Cauchy ego.
Uwaga: Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Twierdzenie 1.13.
n
Niech {pk} będzie ciągiem punktów przestrzeni euklidesowej R i niech
k"N
p0 " Rn oraz pk =(x1k ,..., xn k ), k=1,2,& , p0 =(x10 ,..., xn 0). Wówczas
lim pk = p0 �! '" lim xi k = xi 0 .
k" i"{1,...,n}k"
Twierdzenie 1.14.
Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej jest ograniczony.
Definicja 1.15. (Punkt skupienia zbioru i punkt izolowany)
Niech(X , d) będzie przestrzenią metryczną, zbiór A�"X. Punkt p0"X nazywamy
punktem skupienia zbioru A, jeśli istnieje ciąg {pn} taki, że
n"N
'" pn " A '" lim pn = p0
n"N n"
Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru A oznaczamy przez A . Punkt p"A\A
nazywamy punktem izolowanym zbioru A.
3
Definicja 1.16. (Domknięcie zbioru)
Niech A będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej(X , d). Domknięciem zbioru A
nazywamy zbiór A = A *" A' .
Twierdzenie 1.17.
Zbiór A jest domknięty w przestrzeni metrycznej(X , d) wtedy i tylko wtedy, gdy
A = A .
Twierdzenie 1.18.
Niech A�"X. Wówczas Int(A) = X \ X \ A .
Definicja 1.19.(Brzeg zbioru)
Niech A�"X. Brzegiem zbioru A w przestrzeni metrycznej(X , d)nazywamy zbiór
Fr(A) = A )"(X \ A).
Twierdzenie 1.20.
Niech A�"X i niech Ń (x)oznacza rodzinę otoczeń punktu x. Wówczas
x " Fr(A) �! '" (U)"A`"" '" U\A`"").
U" Ń(x)
Definicja 1.21 (Zbiór zwarty)
Niech A�"X. Zbiór A nazywamy zbiorem zwartym w przestrzeni
metrycznej(X , d)wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego ciągu punktów zbioru A można
wybrać podciąg zbieżny do pewnego punktu zbioru A.
Twierdzenie 1.22.
n
Podzbiór A przestrzeni euklidesowej R jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest
domknięty i ograniczony.
Definicja 1.23. (Zbiór spójny)
Zbiór A `" " nazywamy zbiorem spójnym w przestrzeni metrycznej(X , d) jeśli dla
dowolnych niepustych zbiorów A1�"A i A2�"A takich, że A1*"A2=A mamy, że
(A1 )" A2)*"(A1 )" A2)`" ".
n
Uwaga: Zbiór otwarty A�" R jest spójny, jeśli każde dwa jego punkty można
połączyć łamana zawartą w A.
Definicja 1.24. (Obszar i obszar domknięty)
n
Zbiór otwarty i spójny w R nazywamy obszarem. Obszar łącznie ze swoim
brzegiem nazywamy obszarem domkniętym.
Definicja 1.25. (Obszar normalny względem osi OX)
Zbiór A ={(x, y)" R2 : x "[a,b], f (x) d" y d" g(x)} gdzie f i g są funkcjami ciągłymi
na [a,b] oraz spełniającymi warunek '" f (x) < g(x) nazywamy normalnym względem
x"[a,b]
osi OX.
4
Można udowodnić, że tak określony zbiór A jest ograniczony i domknięty, a więc
zwarty w R2. Zbiór A jest też zbiorem spójnym. Dlatego zbiór ten nazywamy obszarem
domkniętym normalnym względem osi OX.
Analogicznie definiujemy obszar normalny względem osi OY. A
atwo zauważyć, że
obszarami normalnymi względem osi OX i OY jednocześnie są np. prostokąty o bokach
równoległych do osi, określone jako zbiory postaci:
A ={(x, y)" R2 : x "[a,b]'" y "[c, d]}
I. Funkcje rzeczywiste wielu zmiennych
Definicja 2.1 (Funkcja wielu zmiennych)
n
Funkcję f odwzorowującą zbiór A�" R w zbiór R nazywamy funkcją rzeczywistą n
zmiennych i oznaczamy przez f:AR. Wartości funkcji f w punkcie p = (x1,..., xn )"A
oznaczamy przez f(p) lub f(x1,..., xn ).
Definicja 2.2. (Wykres i poziomica funkcji dwóch zmiennych)
Wykresem funkcji f dwóch zmiennych nazywamy zbiór
{(x, y, z)" R3 : (x, y)" D '" z = f (x, y)}, gdzie Df oznacza dziedzinę funkcji f.
f
Poziomicą wykresu funkcji f odpowiadającą poziomowi h"R nazywamy zbiór
{(x, y)" Df : f (x, y) = h}
Definicja 2.3. (granica n-krotna  definicja Cauchy ego)
n
Niech f:AR, A�" R oraz niech p0 będzie punktem skupienia zbioru A. Liczbę g
nazywamy granicą funkcji f w punkcie p0 wtedy i tylko wtedy, gdy
'" (" '" (d( p, p0 ) < � �! f ( p) - g < �)
� >0 � >0 p"A
i zapisujemy lim f ( p) = g . Granicę g nazywamy także granicą n-krotną.
p p0
Definicja 2.4. (Granica n-krotna  definicja Heinego)
n
Niech f: AR, A�" R oraz niech p0 będzie punktem skupienia zbioru A.
�# ś#
lim f ( p) = g �! '" [(pn `" p0 dla n " N '" lim( pn) = p0)�! lim f ( pn) = g]
ś# ź#
p p0 {pn }�" A n" n"
�# #
Uwaga 1: Definicje Cauchy ego i Heinego granicy funkcji n zmiennych są
równoważne. Jeśli g jest liczbą skończoną, to mówimy, że g jest granicą właściwą funkcji f w
punkcie p0.
Granicę niewłaściwą " w punkcie p0 definiuje się analogicznie jak dla funkcji jednej
zmiennej.
Definicja 2.5. (Granice iterowane).
Jeśli f: AR, A�" R2 , p0=(x0,y0) jest punktem skupienia zbioru A oraz jeśli istnieją
�# �#
liczby g1 = lim lim f (x, y)ś# i g2 = lim lim f (x, y)ś# , to nazywamy je granicami
ś# ź# ś# ź#
xx0 yy0 yy0 xx0
�# # �# #
iterowanymi funkcji f.
5
Uwaga 2: Istnienie granicy funkcji w punkcie p0=(x0,y0) jest niezależne od istnienia
granic iterowanych g1 i g2. Granica podwójna funkcji f(x,y) może nie istnieć, natomiast
granice g1 i g2 mogą istnieć i na odwrót. Ponadto, jeżeli granice iterowane g1 i g2 istnieją, to
mogą być różne. Można też udowodnić, że jeżeli istnieje granica podwójna funkcji f w
punkcie p0 i co najmniej jedna z granic iterowanych g1 lub g2, to granica podwójna jest równa
tej granicy iterowanej.
Uwaga 3: Dla granicy n-krotnej funkcji zachodzą twierdzenia o arytmetyce granic
funkcji oraz o granicy funkcji złożonej podobnie jak dla funkcji jednej zmiennej.
Definicja 2.6. (Ciągłość funkcji n zmiennych)
n
Niech f: AR, A�" R oraz niech p0"A będzie punktem skupienia zbioru A. Mówimy,
że funkcja f jest ciągła w punkcie p0 wtedy i tylko wtedy, gdy lim f ( p) = f ( p0 ) .
p p0
Mówimy, że funkcja f jest ciągła w zbiorze A, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego
zbioru.
Twierdzenie 2.7.
Każda funkcja f n - zmiennych jest ciągła w punktach izolowanych swojej dziedziny.
Uwaga 4: Jeżeli funkcja n zmiennych f(x1,& xn) określona w pewnym otoczeniu punktu
p0=(x10,& ,xn0) jest w tym punkcie ciągła, to dla każdego k"{1,& ,n} funkcja f(x10,& ,xk-10,xk,
xk+10,& ,xn0) jednej zmiennej xk jest ciągła w punkcie xk0 (inaczej mówimy, że funkcja f jest
ciągła w punkcie p0 ze względu na każdą zmienną oddzielnie). Twierdzenie odwrotne nie jest
prawdziwe.
Poznane wcześniej własności funkcji ciągłych jednej zmiennej prawdziwe są również
dla funkcji ciągłych n zmiennych. A mianowicie:
Twierdzenie 2.8. (O działaniach arytmetycznych)
Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie p0" Rn , to w tym punkcie ciągłe są także
f
funkcje: f+g, f-g, f�g oraz , o ile g(p0)`"0.
g
Twierdzenie 2.9. (O ciągłości funkcji złożonej)
Jeżeli funkcje f, g1, g2,& ,gn spełniają warunki:
(1) funkcje g1, g2,& ,gn są ciągłe w punkcie p0
(2) funkcja f jest ciągła w punkcie q0=(g1(p0), & ,gn(p0)) to funkcja złożona
f(g1(p), & ,gn(p))jest ciągła w punkcie p0.
Twierdzenie 2.10. (O lokalnym zachowaniu znaku)
Jeżeli funkcja f(p) określona w pewnym otoczeniu punktu p0 jest w tym punkcie ciągła
oraz f(p0)>0 (albo f(p0)<0), to istnieje sąsiedztwo S(p0) punktu p0 takie, że '" f ( p) > 0
p"S(p0 )
(albo odpowiednio '" f ( p) < 0 ).
p"S(p0 )
Twierdzenie 2.11 (Weierstrassa o osiąganiu kresów)
n
Jeżeli funkcja f jest ciągła w zbiorze zwartym D�" R , to jest w tym zbiorze
ograniczona oraz
�# ś#
ś# ź#
(" (" f ( p1) = inf f ( p) '" f ( p2 ) = sup f ( p)ź# .
ś#
p1"D p2"D p"D
p"D
�# #
6
Twierdzenie 2.12
n
Niech f będzie funkcja rzeczywistą ciągłą, określoną na zbiorze spójnym D�" R .
Wówczas obraz f(D) jest zbiorem spójnym w R.
Twierdzenie 2.13. (Darboux, o przyjmowaniu wartości pośrednich)
n
Jeśli funkcja f jest ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym D�" R ,to
ń#
ś#
ź#
'"Ą#�# inf f ( p) d" z d" sup f ( p)ź# �! (" z = f ( p0 )Ą#
ó#ś#
ś#
z"R p"D p0"D
p"D
�# #
Ł# Ś#
Twierdzenie 2.14. (Cantora o ciągłości jednostajnej)
n
Jeśli funkcja f jest ciągła w zbiorze zwartym D�" R , to jest jednostajnie ciągła w tym
zbiorze tzn.
'" (" '" '" (d( p1, p2 ) < � �! f ( p1) - f ( p2 ) < �).
� >0 � >0 p1"D p2"D
7
III. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
1. Pochodne kierunkowe funkcji
Definicja 3.1. (pochodna kierunkowa).
Niech f: U(p0)R, gdzie U(p0) jest pewnym otoczeniem punktu

n n
p0 =(x10,...xn0)" R oraz niech h = [h1,...,hn] będzie wektorem w przestrzeni R .

Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie p0 w kierunku wektora h określamy wzorem:


f ( p0 + t h) - f ( p0)
f ' ( p0) = lim , gdzie p0 + t h =(x10 + th1, x20 + th2,...xn0 + thn).

h t0
t

�# ś#
n
Uwaga 1. Zauważmy, że jeśli określimy funkcję �(t)= f p0 + t h , gdzie p0" R ,
ś# ź#
�# #

�(t) -�(0)
n
h jest wektorem w R , to �'(0)= lim . A zatem f ' ( p0 ) = �'(0). Stąd

t0 h
t
wynika, że dla pochodnej kierunkowej mamy takie same wzory rachunkowe (tzn. wzory
dotyczące pochodnej sumy, iloczynu i ilorazu funkcji) jak dla zwykłej pochodnej funkcji
jednej zmiennej. Na przykład
( f + g)' ( p0 ) = ( f )' ( p0 ) + (g)' ( p0 ) .

h h h
Uwaga 2. (Interpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej dla funkcji dwóch

zmiennych) Niech z= f(x,y) oraz niech h będzie wektorem w przestrzeni R2. Oznaczmy
przez l styczną do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju wykresu funkcji

półpłaszczyzną przechodząca przez punkt (x0,y0,0) oraz równoległą do wektora h oraz do
osi Oz. Wówczas f ' (x0, y0 ) = tgł , gdzie łoznacza kąt nachylenia prostej l do

h
płaszczyzny Oxy.

Pochodna kierunkowa określa szybkość zmiany wartości funkcji w kierunku h .
Dla pochodnej kierunkowej prawdziwe są następujące twierdzenia:
Twierdzenie 3.2
n
Niech f: U(p0)R, gdzie U(p0) jest pewnym otoczeniem punktu p0" R . Niech

n
h będzie wektorem w przestrzeni R , oraz r  dowolną liczbą rzeczywistą. Wówczas
jeżeli pochodna f ' ( p0 ) istnieje, to również istnieje f ' ( p0 ) i zachodzi równość

h r h
f ' ( p0 ) = rf ' ( p0 ) .

r h h
Uwaga W ogólnym przypadku mamy, że f ' ( p0 ) `" f ' ( p0 ) + f ' ( p0 ) .

( h +h2 ) h h
1 1 2
Równość zachodzi przy dodatkowych założeniach o pochodnych kierunkowych, a
mianowicie mamy:
8
Twierdzenie 3.3.
n
Niech f: U(p0)R, gdzie U(p0) jest pewnym otoczeniem punktu p0" R . Niech

n
h , h będą wektorami w R . Jeśli pochodna f ' istnieje w punkcie p0, zaś f ' istnieje i
1 2
h h
1 2
jest ciągła w p0, to
f ' ( p0 ) = f ' ( p0 ) + f ' ( p0 )

( h +h2 ) h h
1 1 2
Twierdzenie 3.4

n
Niech f: U(p0)R, h - dowolny wektor w R i niech liczba >0 będzie taka, że

n
odcinek łączący punkty p0" R i p0+ h leży całkowicie w otoczeniu U(p0). Jeśli w

każdym punkcie tego odcinka istnieje pochodna kierunkowa w kierunku wektora h ,
wówczas istnieje liczba �"(0,1) taka, że

�# ś#
f p +  h - f ( p )
ś# ź#
0 0

�# ś# .
�# #
= f ' p + � h ź#
ś#
0
h

�# #
Szczególnym przypadkiem pochodnej kierunkowej funkcji są pochodne cząstkowe
funkcji.
Definicja 3.5. (Pochodne cząstkowe)
n
Niech e1, ... , en oznaczają wersory osi współrzędnych w przestrzeni R . Pochodną
n
kierunkową funkcji f w punkcie p0" R w kierunku wektora ei nazywamy pochodną
cząstkową funkcji f w punkcie p0 względem i-tej zmiennej (lub i-tej współrzędnej) i
"f
oznaczamy ją symbolem f 'x ( p0) lub (p0).
"xi
i
n
Uwaga 3. Dla funkcji f: U(p0)R, gdzie U(p0)�" R Mogą istnieć wszystkie
pochodne cząstkowe w punkcie p0, zaś funkcja f może nie być ciągła w tym punkcie. Z
istnienia pochodnych cząstkowych wynika jedynie ciągłość funkcji ze względu na każdą
zmienną oddzielnie. Ale przy dodatkowym założeniu mamy:
Twierdzenie 3.6.
n
Jeśli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe w pewnym obszarze D�" R , to f jest
w tym obszarze ciągła.
Ciągłość pochodnych cząstkowych funkcji f pozwala również na inny sposób
obliczania pochodnej kierunkowej funkcji f.
Definicja 3.7 (Gradient funkcji)
n
Niech f:AR, A�" R . Gradientem funkcji f w punkcie p0 nazywamy wektor:
"f
"f
("f )p =[ (p0),..., (p0)]. Zmieniając punkt p0 otrzymamy pole wektorowe
"x1 "xn
0
"f
"f
"f =[ ,..., ], które nazywamy gradientem funkcji f.
"x1 "xn
9
Zależność pomiędzy pochodną kierunkową funkcji a jej gradientem podaje nam
następujące
Twierdzenie 3.8.
"f n
Jeśli pochodne cząstkowe dla i=1,...n są funkcjami ciągłymi w punkcie p0" R ,
"xi

to pochodna kierunkowa f ' ( p0 ) istnieje w każdym kierunku h i wyraża się wzorem:

h

f ' ( p0 ) = ("f )p o h .

0
h
Uwaga 4 Interpretacja geometryczna gradientu.
2) Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji
w tym punkcie.
3) Gradient funkcji w punkcie jest prostopadły do poziomicy funkcji
przechodzącej przez ten punkt.
1. Różniczkowalność
Definicja 3.9. (Funkcja różniczkowalna)

n n
Niech p0" R , funkcja f:U(p0)R, gdzie U(p0)�" R . Rozważmy wektor h = [h1,...,hn]
taki, że (p0 + h)"U(p0). Jeśli istnieją pochodne cząstkowe f 'x ( p0) dla i"{1,& ,n}, to
i
funkcję f nazywamy różniczkowalną w p0 wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

f( p0 + h )- f( p0 ) -[f'x ( p0 )�" h1 + ...+ f'x ( p0 )�" hn]
1 n
(*) lim = 0


h 0
h

(gdzie h oznacza długość wektora h , zaś przez zbieżność h 0 rozumiemy , że
h 0 dla każdego i"{1,...,n}). Wyrażenie w nawiasie nazywamy różniczką zupełną funkcji
i
f w punkcie p0.
Rozważmy teraz przypadek przestrzeni R2.

Uwaga 5: Jeśli p0=(x0,y0)"R2 oraz (x,y)"U(p0), to rozważając wektor h = ["x,"y]
gdzie "x = x - x0,"y = y - y0 ), warunek (*) różniczkowalności funkcji f w punkcie p0
przyjmuje postać:
f (x0 + "x, y0 + "y) - f (x0, y0 ) -[f 'x ( p0 ) �" "x + f 'y ( p0 ) �" "y]
lim = 0
"x0
("x)2 + ("y)2
"y0
i wówczas wyrażenie w nawiasie jest różniczką zupełną funkcji f w punkcie p0..
Wniosek: Jeśli oznaczymy przez "f ( p0) = f (x0 + "x, y0 + "y) - f ( p0 ) gdzie p0=(x0,y0),
wówczas z różniczkowalności funkcji f w p0 wynika, że
"f ( p0 ) H" f 'x (p0)�" "x + f 'y (p0)�" "y
10
Twierdzenie 3.10 (Warunek konieczny różniczkowalności funkcji)
n
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p0" R , to jest ciągła w tym punkcie.
Uwaga 6. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Twierdzenie 3.11. (Warunek wystarczający różniczkowalności)
Jeśli dla funkcji f n zmiennych istnieją pochodne cząstkowe f 'x ( p0) dla każdego
i
n
i"{1,...,n} i są ciągłe w punkcie p0" R , to funkcja f jest różniczkowalna w p0.
Uwaga 7. Ciągłość pochodnych cząstkowych nie jest warunkiem koniecznym
różniczkowalności funkcji.
Definicja 3.12. (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu)
n n "f
Niech funkcja f: U(p0)R (gdzie p0" R , U(p0)�" R ) ma pochodne cząstkowe dla
"xi
i=1,& ,n określone przynajmniej na pewnym otoczeniu punktu p0. Pochodne cząstkowe
drugiego rzędu funkcji f w punkcie p0 określamy wzorami:
�#
�# ś#ś#
"2f " "f
ś#
ś# ź#ź#
( p0 ) = (p0) i,j=1,& ,n
ś#
ś#
"x "xi "x "xi ź#ź#
j j �# # #
�#
"2f "2f "2f
Jeśli i=j, to zamiast piszemy . Pochodne (p0 ) oznaczamy też symbolem
"x "xi "x "xi
j "xi2 j
f ''xix j (p0 ) . Jeśli i`"j , to pochodną f ''xix j nazywamy też pochodną cząstkową mieszaną
drugiego rzędu.
Twierdzenie 3.13 (Schwarza)
"2f
Jeśli dla funkcji f:U(p0)R wszystkie pochodne cząstkowe rzędu drugiego są
"x "xi
j
funkcjami ciągłymi w p0, to zachodzi równość:
"2f "2f
(p0 ) = (p0 )
"x "xi "xi"x
j j
Twierdzenie 3.14 (O pochodnej funkcji złożonej)
n "f
Jeśli funkcja f:UR, gdzie U�" R , ma ciągłe pochodne cząstkowe dla i=1,& ,n, zaś
"xi
funkcje xi= xi(t), gdzie t "(ą,�), są różniczkowalne na (ą,�) dla i=1,& ,n, oraz punkty
postaci (x1(t),& ,xn(t)) "U dla t "(ą,�), to funkcja złożona f(x1(t),& ,xn(t)) jest też
różniczkowalna na (ą,�), przy czym:
n
d "f dxi 0
0 0 0
f (x1(t ),..., xn (t0 ))= (x1(t ),..., xn (t ))�" (t ), t0 "(ą, � )
"
dt "xi dt
i=1
Twierdzenie 3.15 (O pochodnych cząstkowych funkcji złożonej)
n "f
Jeżeli funkcja f:UR, gdzie U�" R , ma ciągłe pochodne cząstkowe dla i=1,& ,n w
"xi
U oraz funkcje xi= xi(t1,...,tm) też mają ciągłe pochodne cząstkowe w pewnym obszarze
D�" Rm i punkty (x1(t1,...,tm),& , xn(t1,...,tm))"U dla (t1,...,tm)"D, to funkcja złożona
11
f(x1(t1,...,tm),& , xn(t1,...,tm)) też ma pochodne cząstkowe dla t0=(t1,...,tm)"D równe
n
"f (x1(t0 ),..., xn (t0 ))= ""xf (x1(t0 ),..., xn (t0 ))�" "xk
"
(t0) j=1,...,m
"t "t
j k=1 k j
Definicja 3.16 (Różniczka pierwszego rzędu)
n
Niech funkcja f będzie określona w otoczeniu punktu p0" R i posiada pochodną

kierunkową f ' ( p0 ) w każdym kierunku h " Rn . Różniczką pierwszego rzędu funkcji f w

h

punkcie p0, którą oznaczamy (df ) nazywamy funkcję kierunku h przy ustalonym p0 taką,
p0

n
że: (df ) : h f ' ( p0 ) ( Zatem (df ) : R R ).

p0 p0
h
Twierdzenie 3.17.
n n
Jeśli funkcja f: R R ma w punkcie p0" R ciągłe pochodne cząstkowe, to jej
n
pierwsza różniczka (df ) : R R jest funkcją liniową i wyraża się wzorem:
p0

�#ś# "f "f
&
(df ) h = ( p0)�" h1 +...+ ( p0)�" hn , gdzie h = [h1,...,hn].
ś# ź#
p0
"x1 "xn
�# #
Zauważmy, że różniczkę (df ) można wyrazić jeszcze inaczej. W tym celu rozpatrzmy
p0
funkcje gi( x1,...,xn ) = xi dla i=1,...,n. Różniczka tej funkcji (dgi ) w każdym punkcie p jest
p
taka sama i oznaczmy ją przez dxi . Ponieważ:
1 dla i = j
"gi ż#
=
�#0 dla i `" j
"x
j �#

to dxi(h1,...,hn )= hi dla i=1,...,n, dowolnego punktu p oraz wektora h = [h1,...,hn]. Zatem
"f "f
&
(df ) = ( p0 )�"dx1 + ...+ ( p0 )�"dxn
p0
"x1 "xn
Definicja 3.18. (Różniczka k-tego rzędu)
n
Niech funkcja f będzie określona w otoczeniu punktu p0" R i posiada ciągłe pochodne
cząstkowe rzędu k. Różniczką k-tego rzędu funkcji f w punkcie p0 nazywamy funkcję

�#ś#
k n k (k )
(d f ) : R R taką, że (d f ) h = f (p0) dla każdego kierunku h " Rn , gdzie
ś# ź#

p0 p0
h...h
�# #

(k)
f (p0) oznacza k-tą pochodną kierunkowa w kierunku h funkcji f w punkcie p0.

h...h
Twierdzenie 3.19.
Niech f będzie funkcją określoną w otoczeniu punktu p0" R2 i ma ciągłe pochodne
drugiego rzędu. Wówczas różniczka drugiego rzędu funkcji f w punkcie p0 wyraża się
wzorem:
n n n
�# ś#
"2f
(d2f) = =
j
p0 "dś# "f ź# �"dx j """xi"x ( p0 )�"dxidx
ś# ź#
"x
j=1 i=1 j=1
j j
�# #p
0
12
Uwaga 8 Różniczka drugiego rzędu funkcji f w punkcie p0 jest więc formą kwadratową
Twierdzenie 3.20. (Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych)
Jeśli funkcja n-zmiennych f(x1,& ,xn) ma ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu k+1 w

otoczeniu punktu p0, to dla wektorów h takich, żeby odcinek łączący punkty p0 i

p0+ h zawiera się w tym otoczeniu , zachodzi wzór


k+1
k (d f ) (h)


(df ) (h) (d f ) (h)
p0 p0 p0+� h
f ( p0 + h) = f ( p0 ) + + ...+ +
1! k! (k +1)!

dla pewnej liczby � "(0,1) (zależnej od pozostałych wielkości f, p0, h ).
3. Ekstrema funkcji wielu zmiennych
Definicja 3.21 (ekstrema lokalne funkcji)
Niech f : D R , gdzie D �" Rn . Funkcja f ma w punkcie p0 " D maksimum
lokalne, jeżeli
f ( p) d" f ( p0 ) .
(" '"
U ( p0 )�"D p"U ( p0 )
Funkcja f ma w punkcie p0 " D maksimum lokalne właściwe, jeżeli
f ( p) < f ( p0 ) .
(" '"
S ( p0 )�"D p"S ( p0 )
(U ( p0 ) - oznacza otoczenie punktu p0 , zaś S( p0 ) - sąsiedztwo punktu p0 )
Analogicznie określa się minimum lokalne w punkcie p0 oraz minimum lokalne
właściwe.
Twierdzenie 3.22 (Warunek konieczny istnienia ekstremum)
Jeżeli funkcja f :U ( p0 ) R , (gdzie p0 " Rn ), ma w punkcie p0 różniczkę
(df ) oraz ma ekstremum lokalne w punkcie p0 , to (df ) = 0 .
p0 p0
Uwaga 9. Z warunku istnienia różniczki (df ) = 0 wynika, że
p0
"f
(p0 )= 0 dla i = 1,...,n .
"xi
Twierdzenie 3.23 (I Warunek wystarczający istnienia ekstremum)
Załóżmy, że funkcja f :U ( p0 ) R , gdzie p0 " Rn , ma ciągłe pochodne cząstkowe
rzędu drugiego w U(p0 ) oraz (df ) = 0 . Wówczas jeśli niezdegenerowana forma
p0
2
kwadratowa (d f ) jest dodatnio (ujemnie) określona, to funkcja f ma minimum
p0
13
2
(maksimum) lokalne w p0 , zaś jeśli (d f ) jest nieokreślona, to f nie ma ekstremum
p0
lokalnego w p0 .
Uwaga 10. Przypomnijmy, że
n n
2
(d f ) (h)= hihj , gdzie h = [h1,...,hn]
p0 ""aij
i=1 j=1
"2 f
2
oraz aij = . Forma kwadratowa (d f ) jest niezdegenerowana, jeśli
p0
"xi"x
j
a11 ... a1n
det A = .................. `" 0 .
an1 ... ann
Twierdzenie 3.24 (II Warunek wystarczający istnienia ekstremum)
Załóżmy, że funkcja f :U ( p0 ) R , gdzie p0 " Rn , ma ciągłe pochodne cząstkowe
rzędu drugiego w U(p0 ) oraz (df ) = 0 . Wówczas jeśli
p0
a11 ... a1k
det(Ak )= .................. > 0 dla k = 1,2,...,n ,
ak1 ... akk
"2 f
gdzie aij = , to funkcja f ma w punkcie p0 minimum lokalne właściwe, natomiast
"xi"x
j
k
jeśli (-1) det(Ak )> 0 , to f ma w punkcie p0 maksimum lokalne właściwe.
Definicja 3.25 (Wyznacznik funkcyjny, inaczej jakobian)
Jeśli funkcje yi = fi(x1,..., xn ), i "{1,...,n} mają pochodne cząstkowe w pewnym
obszarze G �" Rn , to wyznacznikiem funkcyjnym lub jakobianem nazywamy
"f1 "f1
...
"x1 "xn
.....................
"fn "fn
...
"x1 "xn
D(y1,..., yn ).
i oznaczamy
D(x1,..., xn )
Twierdzenie 3.26 Niech funkcje yi = fi(x1,..., xn ) dla i "{1,...,n} mają ciągłe
pochodne cząstkowe w obszarze G �" Rn oraz funkcje xi = �i(t1,...,tn ) dla i "{1,...,n} są
określone w obszarze T �" Rn . Jeśli spełniony jest warunek
(*) gdy (t1,...,tn )" T , to (�1(t1 ,...,t ),...,�n (t1 ,...,tn ))" G ,
n
wówczas
14
D(y1,...,yn ) D(y1,...,yn ) D(x1,...,xn )
= .
D(t1,...,tn ) D(x1,...,xn )�" D(t1,...,tn )
Definicja 3.27 (ekstrema warunkowe funkcji)
Niech f :U ( p0 ) R , gdzie p0 " R2 . Mówimy, że funkcja f ma w punkcie p0
minimum lokalne właściwe przy warunku g(p)= 0 , (gdzie p = (x, y)), jeśli g(p0 )= 0 oraz
istnieje taka liczba � > 0 , że
(g(p) = 0 �! f (p) > f (p0 )) .
'"
p"S ( p0 ,� )�"U ( po )
Twierdzenie 3.28 (Warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego)
Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego w obszarze
T �" R2 , to warunkiem koniecznym istnie ia ekstremum warunkowego w punkcie p0 "T
przy warunku g(p)= 0 jest aby
D( f , g)
= 0 w punkcie p0 .
D(x, y)
4. FUNKCJA UWIKA
ANA
Definicja 3.29 (Funkcja uwikłana)
Funkcją uwikłaną określoną przez warunek F(x,y)= 0 nazywamy każdą funkcję
y = y(x) spełniającą równość
F(x,y(x))= 0
dla wszystkich x z pewnego przedziału I .
Podobnie określa się funkcję uwikłaną postaci x = x(y), gdzie y " J ( J - oznacza
pewien przedział).
Twierdzenie 3.30 (o istnieniu i różniczkowalności funkcji uwikłanej)
Niech funkcja F ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego na otoczeniu
U(p0 )�" R2 , gdzie p0 = (x0 , y0 ) oraz niech spełnia warunki:
(1) F(x0 , y0 )= 0 ,
(2) Fy/ (x0 , y0 )`" 0 .
Wówczas na pewnym otoczeniu W(x0 ) istnieje jednoznacznie określona funkcja uwikłana
y = y(x) spełniająca warunki:
F(x,y(x))= 0 dla każdego x " W(x0 ) oraz y(x0 )= y0
i
- F'x (x,y(x))
y' (x)= dla każdego x " W(x0 ).
F'y (x,y(x))
Ponadto, jeśli F ma ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu na otoczeniu U(p0 ),
to funkcja uwikłana y = y(x) jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu
x0 i jej druga pochodna wyraża się wzorem
15
2 2
// // //
Fxx (Fy/ ) - 2 Fxy Fx/ Fy/ + Fyy (Fx/ )
y" = - .
3
(Fy/ )
Uwaga 11. A
atwo widać, że jeżeli dla funkcji uwikłanej y = y(x) określonej
/
równaniem F(x,y)= 0 zachodzi warunek: y (x0 )= 0 , to
//
- Fxx (p0 ), gdzie p0 = (x0 , y0 ) i y0 = y(x0 ).
y"(x0 )=
Fy/ (p0 )
Twierdzenie 3.31 (o ekstremach lokalnych funkcji uwikłanej)
Niech funkcja F ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu
U(p0 ) �" R2 oraz niech spełnia warunki:
(1) F(p0 )= 0 , Fy/ (p0 )`" 0 ,
(2) Fx/ (p0 )= 0 ,
//
- Fxx (p0 )
(3) I = `" 0 ,
Fy/ (p0 )
gdzie p0 = (x0, y0). Wtedy funkcja uwikłana y = y(x) określona przez równanie F(x,y)= 0 i
spełniająca warunek y( x0 )= y0 ma w punkcie x0 ekstremum lokalne właściwe i jest to:
minimum, gdy I > 0 ,
albo maksimum, gdy I < 0 .
Uwaga 12.
//
Równość Fx/ (p0 )= 0 jest warunkiem koniecznym, a układ Fx/ (p0 )= 0 i Fxx (p0 )`" 0
warunkiem wystarczającym istnienia w punkcie p0 ekstremum funkcji uwikłanej określonej
przez równanie F(x,y)= 0 . Prawdziwe jest także analogiczne twierdzenie o ekstremach
funkcji uwikłanej postaci x = x(y).
IV CAA
KI WIELOKROTNE
1.CAA
KI PODWÓJNE
Definicja 4.1 (A
uk zwykły)
Krzywą K �" R2 określoną równaniami parametrycznymi
x = x(t) , y = y(t) dla t "[ą, �]
nazywamy łukiem zwykłym, jeśli x(t) i y(t) są funkcjami ciągłymi na przedziale [ą, �] oraz
różnym wartościom parametru t "(ą, � ) odpowiadają różne punkty krzywej K . Jeśli ponadto
(x(ą), y(ą))= (x(� ), y(� )), to łuk zwykły K nazywamy zamkniętym.
Uwaga 1. Krzywa K , która jest wykresem funkcji ciągłej y = y(x) dla x "[a,b]
(lub x = x(y) dla y "[c,d]) jest łukiem zwykłym.
Definicja 4.2 (Obszar regularny)
16
Ograniczony obszar D �" R2 nazywamy regularnym, gdy brzeg tego obszaru jest
sumą skończonej liczby łuków zwykłych danych równaniami:
y = y(x) dla x "[a,b] lub x = x(y) dla y "[c,d],
przy czym łuki te mogą redukować się do punktów.
Definicja 4.3 (Całka podwójna)
Niech f będzie funkcją określoną na domkniętym regularnym obszarze D �" R2 i
niech Pn oznacza podział obszaru D w dowolny sposób na n domkniętych obszarów
częściowych Di odpowiednio o polach Di , i = 1,2,...,n w ten sposób, aby:
(1) Żadne dwa obszary Di , Dj dla i `" j nie miały wspólnych punktów wewnętrznych,
(2) D = D1 *" D2 *"...*" Dn .
Liczbę
� = max � (Di ), gdzie � (Di ) średnicą zbioru Di ,
n
i"{1,...,n}
nazywamy średnicą podziału Pn .
W każdym obszarze Di wybieramy punkt pośredni (xi, yi ) , (i = 1,..., n ) i tworzymy sumę
całkową
n
Sn = f (xi , yi ) �" Di .
"
i=1
Jeżeli dla każdego ciągu {Pn } podziałów obszaru D na obszary częściowe spełniającego
n"N
warunek lim� = 0 i dla każdego wyboru punktów pośrednich w obszarach częściowych
n
n"
istnieje ta sama skończona granica ciągu {Sn } sum częściowych funkcji f , to granicę tę
n"N
nazywamy całką podwójną funkcji f na obszarze D i oznaczamy
f (x, y)dx dy .
+"+"
D
Funkcję f , dla której istnieje całka podwójna na obszarze D nazywamy funkcją całkowalną
na obszarze D .
Własności całki podwójnej
Twierdzenie 4.4 (Warunek konieczny całkowalności)
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na domkniętym regularnym obszarze D �" R2 , to jest
funkcją ograniczoną na tym obszarze.
Twierdzenie 4.5 (I Warunek wystarczający całkowalności)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na domkniętym i regularnym obszarze D �" R2 , to jest
funkcją całkowalną na obszarze D .
Twierdzenie 4.6 (II Warunek wystarczający całkowalności)
17
Jeżeli funkcja f jest ograniczona na domkniętym i regularnym obszarze D �" R2 oraz
jest ciągła na tym obszarze z wyjątkiem skończonej liczby łuków zwykłych o równaniach
y = y(x) lub x = x(y) zawartych w obszarze D , to f jest funkcją całkowalną na obszarze D .
Twierdzenie 4.7
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na domkniętym i regularnym obszarze D �" R2 , zaś
ograniczona funkcja g pokrywa się z funkcją f poza skończoną liczbą łuków zwykłych o
równaniach y = y(x) lub x = x(y) zawartych w obszarze D , to funkcja g też jest
całkowalna na D oraz
f (x, y) dx dy =
+"+" +"+"g(x, y)dx dy .
D D
Twierdzenie 4.8
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na domkniętym, regularnym obszarze D �" R2 , to
(1) dla dowolnej liczby k " R funkcja k �" f jest całkowalna na D oraz
f (x, y) dx dy ;
+"+"k �" f (x, y) dx dy = k +"+"
D D
(2) funkcja f + g jest też funkcją całkowalną na D oraz
f (x, y) dx dy +
+"+"( f (x, y) + g(x, y))dx dy = +"+" +"+"g(x, y)dx dy .
D D D
Twierdzenie 4.9 (addytywność całki względem obszaru całkowania)
Załóżmy, że domknięty regularny obszar D �" R2 jest sumą domkniętych regularnych
obszarów D1 i D2 nie mających wspólnych punktów wewnętrznych. Wówczas funkcja f
jest całkowalna na obszarze D wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna na każdym z
obszarów D1 i D2 , przy czym
f (x, y)dx dy = f (x, y)dx dy + f (x, y)dx dy .
+"+" +"+" +"+"
D D1 D2
Twierdzenie 4.10 (monotoniczność całki podwójnej)
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na domkniętym regularnym obszarze D �" R2
oraz f (x, y) d" g(x, y) dla (x, y) " D , to
f (x, y)dx dy d"
+"+" +"+"g(x, y) dx dy .
D D
Twierdzenie 4.11
Jeżeli funkcja f jest funkcją całkowalną na domkniętym i regularnym obszarze
D �" R2 oraz m d" f (x, y) d" M dla każdego (x, y)" D , to m �" D d" f (x, y) dx dy d" M �" D .
+"+"
D
Definicja 4.12 (Wartość średnia funkcji na obszarze)
Wartością średnią funkcji f na obszarze D nazywamy liczbę
18
1
fśr = f (x, y)dx dy .
+"+"
D
D
Twierdzenie 4.13 (o wartości średniej dla całek podwójnych)
Niech funkcja f będzie ciągła na obszarze normalnym D �" R2 . Wówczas
istnieje punkt (x0, y0 )" D , dla którego zachodzi równość
fśr = f (x0, y0 ) .
Twierdzenie 4.14 (o zamianie całki podwójnej na iterowaną)
1. Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze D �" R2 normalnym względem osi Ox ,
przy czym
D ={(x, y)"R2 : a d" x d" b '" g(x) d" y d" h(x)},
to
b
Ą#h( x) ń#
f (x, y)dx dy = f (x, y)dy dx .
ó# Ą#
+"+" +" +"
ó#
D a ( x) Ą#
Ł#g Ś#
2. Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze D �" R2 normalnym względem osi Oy ,
przy czym
D ={(x, y)"R2 : c d" x d" d '" k(y) d" x d" l( y)},
to
d
Ą#l( y) ń#
f (x, y)dx dy = f (x, y)dx dy .
ó# Ą#
+"+" +" +"
ó#
D c ( y) Ą#
Ł#k Ś#
1. W szczególnym przypadku, gdy obszar D jest prostokątem o bokach
równoległych do osi Ox i Oy , przy czym
D ={(x, y)"R2 : a d" x d" b '" c d" y d" d}
oraz f jest ciągła na D , to
b d
Ą#d ń# Ą#b ń#
f (x, y)dx dy = f (x, y)dyĄ# dx = f (x, y)dxĄ# dy .
ó# ó#
+"+" +" +" +" +"
D a Ł#c Ś# c Ł#a Ś#
Uwaga 2. Z definicji obszaru normalnego względem osi Ox (względem osi Oy )
wynika, że jest on obszarem domkniętym i regularnym,
Dowodzi się również, że każdy domknięty regularny obszar D �" R2 jest sumą
skończonej liczby obszarów normalnych względem osi Ox (osi Oy ) takich, które nie mają
wspólnych punktów wewnętrznych.
Zamiana zmiennych w całce podwójnej
Definicja 4.15 (przekształcenie obszarów na płaszczyz
nie)
Niech " i D będą obszarami odpowiednio w płaszczyznach Ou� i Oxy .
Przekształceniem obszaru " w obszar D nazywamy funkcję T : " D określoną wzorem
(x, y) = T (u,� ) = (Ś(u,� ),�(u,� )) , gdzie (u,� )"" .
19
Obrazem zbioru " przy przekształceniu T nazywamy zbiór
def
T (") ={(x, y) : x = Ś(u,� ), y = �(u,� ), (u,� ) " "}.
Przekształcenie T nazywamy:
(a) ciągłym, jeżeli funkcje Ś i � są ciągłe na obszarze " ;
(b) wzajemnie jednoznacznym, jeśli różnym punktom obszaru " odpowiadają różne
punkty jego obrazu D .
Uwaga 3. Obraz obszaru przy przekształceniu ciągłym i wzajemnie jednoznaczny jest
również obszarem .
Twierdzenie 4.16 (o zamianie zmiennych w całce podwójnej)
Niech
(1) odwzorowanie (x, y) = T (u,� ) , gdzie x = Ś(u,� ), y = �(u,� ) , przekształca
wzajemnie jednoznacznie wnętrze obszaru regularnego " �" R2 na wnętrze
obszaru regularnego D �" R2 ,
(2) funkcje Ś i � mają ciągłe pochodne cząstkowe na pewnym zbiorze otwartym
zawierającym obszar " ,
(3) funkcja f jest ciągła na obszarze D ,
(4) jakobian J przekształcenia T jest różny od zera wewnątrz obszaru D .
Wówczas
f (x, y) dx dy = f (Ś(u,� ),�(u,� )) J (u,� ) du d� .
+"+" +"+"
D "
Definicja 4.17 (współrzędne biegunowe)
Położenie punktu na płaszczyz
nie można opisać parą liczb (�,r) , gdzie:
� - oznacza miarę kąta między dodatnią częścią osi Ox a promieniem wodzącym
punktu p , 0 d" � d" 2Ą ( albo ) ,
r - oznacza odległość punktu p od początku układu współrzędnych, 0 d" r < " .
Parę liczb (�,r) nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu płaszczyzny.
Uwaga 4. Zależność między współrzędnymi biegunowymi i kartezjańskimi określają
wzory:
x = r cos�
ż#
T :
�#y = r sin� .
�#
Przekształcenie T , które punktowi (�,r) przyporządkowuje punkt (x, y) określone
powyższymi wzorami nazywamy przekształceniem biegunowym.
A
atwo zauważyć, że jakobian tego przekształcenia
D(x, y)
J = = r .
D(�,r)
Współrzędne biegunowe stosujemy głównie wtedy, gdy obszar całkowania jest
ograniczony łukami okręgów o środku w początku układu oraz odcinkami prostych
przechodzących przez początek układu.
Zastosowania geometryczne całek podwójnych
20
 Uwaga 5. Zauważmy, że jeśli podzielimy obszar D �" R2 na n obszarów
częściowych Di (i =1, ..., n ) spełniających warunki z definicji całki podwójnej, w każdym
obszarze wybierzemy punkt (xi , yi ) i rozważymy walce
Vi ={(x, y, z)" R3; 0 d" z d" f (xi , yi ) '" (x, y)" Di}, i =1, ..., n ,
to objętość Vi każdego z walców Vi jest równa
Vi = f (xi , yi )�" Di , i =1, ..., n ,
(gdzie Di - oznacza pole obszaru Di ), a więc sumy całkowe
n
Sn = Vi .
"
i=1
Zatem możemy podać następującą interpretację geometryczną całki podwójnej:
Całka podwójna funkcji f ciągłej i nieujemnej na domkniętym obszarze regularnym
D jest objętością obszaru przestrzennego
V = {(x, y, z) " R3; 0 d" z d" f (x, y) '" (x, y) " D},
co zapisujemy
V = f (x, y)dx dy .
+"+"
D
W szczególności, gdy funkcja f (x, y) =1 dla (x, y)" D , wtedy obszar przestrzenny
V określony powyżej jest walcem o wysokości 1 i podstawie D . Zatem V = D , a więc
D = f (x, y)dx dy .
+"+"
D
Twierdzenie 4.18 (o objętości obszaru przestrzennego)
Jeżeli obszar przestrzenny V określony jest następująco:
V = {(x, y, z) " R3; f1(x, y) d" z d" f2(x, y) '" (x, y) " D}
oraz funkcje f1 i f2 są ciągłe na domkniętym, regularnym obszarze D , to objętość V
obszaru V jest równa
V = f2(x, y)- f1(x, y)) dx dy .
+"+"(
D
Definicja 4.19 (Płat powierzchniowy)
Zbiór punktów S ={(x, y, z)" R3; z = f (x, y) '" (x, y)" D}, gdzie f jest funkcją
ciągłą na domkniętym obszarze D �" R2 , nazywamy płatem powierzchniowym.
Jeżeli ponadto obszar D jest regularny, zaś funkcja f posiada ciągłe pochodne
cząstkowe pierwszego rzędu na D , to płat powierzchniowy S nazywamy regularnym.
Uwaga 6. Płat powierzchniowy regularny ma tę własność, że w każdym punkcie
posiada płaszczyznę styczną zmieniającą się w sposób ciągły od punktu do punktu.
Twierdzenie 4.20 (pole płata powierzchniowego)
Jeśli S jest płatem powierzchniowym regularnym określonym za pomocą funkcji
f : D R (tzn. f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze
domkniętym, regularnym D �" R2 ), to pole S płata powierzchniowego S wyraża się
wzorem
21
2 2
/ /
S = 1+[ y)] +[ (x, y)] dx dy .
f f
+"+" x(x, y
D
1.CAA
KI POTRÓJNE
Definicja 4.21 (obszar normalny względem płaszczyzn układu współrzędnych)
Obszar domknięty V �" R3 nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny
Oxy , jeśli można go zapisać w postaci
V ={(x, y, z)" R3; (x, y)" Dxy '" h(x, y) d" z d" g(x, y)},
gdzie Dxy jest obszarem regularnym na płaszczyz
nie Oxy , funkcje h i g są ciągłe na Dxy ,
przy czym
h(x, y) < g(x, y) dla (x, y)"Int(Dxy ) .
Można zauważyć, że jeśli V obszarem normalnym względem płaszczyzny Oxy , to
obszar płaski Dxy jest rzutem obszaru V na tę płaszczyznę.
Analogicznie definiuje się obszary przestrzenne normalne względem płaszczyzny Oxz
oraz obszary normalne względem płaszczyzny Oyz .
Definicja 4.22 (obszar regularny w przestrzeni)
Sumę skończonej liczby obszarów normalnych względem płaszczyzn układu
współrzędnych o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym w
przestrzeni.
Analogicznie jak całkę podwójną na obszarze płaskim D definiuje się całkę potrójną
funkcji trzech zmiennych na obszarze przestrzennym V . Całka potrójna ma również podobne
własności jak całka podwójna.
Definicja 4.23 (całka potrójna)
Niech f będzie funkcją określoną na domkniętym, regularnym obszarze V �" R3 i
niech Pn oznacza podział obszaru V w dowolny sposób na n domkniętych obszarów
częściowych Vi odpowiednio o objętościach Vi , i =1,...,n , w ten sposób, aby:
(1) żadne dwa obszary Vi , Vj dla i `" j nie miały wspólnych punktów wewnętrznych,
(2) V = V1 *"V2 *"...*"Vn .
Liczbę
� = max � (Vi ), gdzie � (Vi ) oznacza średnicę zbioru Vi ,
n
i"{1,..., n}
nazywamy średnicą podziału Pn .
W każdym obszarze Vi wybieramy punkt pośredni (xi , yi , zi ) , (i =1,...,n ), i tworzymy sumę
całkową
n
Sn = f (xi , yi , zi ) �" Vi .
"
i=1
22
Jeżeli dla każdego ciągu {Pn } podziałów obszaru V na obszary częściowe spełniającego
n"N
warunek lim� = 0 i dla każdego wyboru punktów pośrednich w obszarach częściowych
n
n"
istnieje ta sama skończona granica ciągu {Sn } sum całkowych funkcji f , to granicę tę
n"N
nazywamy całką potrójną funkcji f na obszarze V i oznaczamy
f (x, y, z)dx dy dz .
+"+"+"
V
Funkcję f , dla której istnieje całka potrójna na obszarze V nazywamy funkcją całkowalną
na obszarze V .
Własności całki potrójnej
Twierdzenie 4.24 (Warunek konieczny całkowalności)
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na domkniętym, regularnym obszarze V �" R3 , to
jest funkcją ograniczoną na tym obszarze.
Twierdzenie 4.25 (Warunek wystarczający całkowalności)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na domkniętym i regularnym obszarzeV �" R3 , to jest
funkcją całkowalną na obszarze V .
Uwaga 7. Objętość obszaru domkniętego, regularnego V �" R3 wyraża się wzorem
V = dx dy dz
+"+"+"
V
Twierdzenie 4.26
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na domkniętym, regularnym obszarzeV �" R3 , to
(1) dla dowolnej liczby k " R funkcja k �" f jest całkowalna na V oraz
f (x, y, z)dx dy dz ;
+"+"+"k �" f (x, y, z)dx dy dz = k+"+"+"
V V
(2) funkcja f + g jest też funkcją całkowalną na V oraz
f (x, y, z)dx dy dz +
+"+"+"[f (x, y, z) + g(x, y, z)]dx dy dz = +"+"+" +"+"+"g(x, y, z)dx dy dz .
V V V
Twierdzenie 4.27 (addytywność całki względem obszaru całkowania)
Załóżmy, że domknięty, regularny obszar V �" R3 jest sumą domkniętych regularnych
obszarów V1 i V2 nie mających wspólnych punktów wewnętrznych. Wówczas funkcja f jest
23
całkowalna na obszarze V wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna na każdym z obszarów
V1 i V2 , przy czym
f (x, y, z)dx dy dz = f (x, y, z)dx dy dz + f (x, y, z)dx dy dz .
+"+"+" +"+"+" +"+"+"
V V1 V2
Twierdzenie 4.28 (monotoniczność całki potrójnej)
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na domkniętym regularnym obszarze V �" R3 oraz
f (x, y, z) d" g(x, y, z) dla (x, y, z) "V , to
f (x, y, z)dx dy dz d"
+"+"+" +"+"+"g(x, y, z)dx dy dz .
V V
Twierdzenie 4.29
Jeżeli funkcja f jest funkcją całkowalną na domkniętym i regularnym obszarze
V �" R3 oraz
m d" f (x, y, z) d" M dla każdego (x, y, z) "V ,
to
m �" V d" f (x, y, z)dx dy dz d" M �" V .
+"+"+"
V
Definicja 4.30 (Wartość średnia funkcji na obszarze przestrzennym V )
Wartością średnią funkcji f na domkniętym, regularnym obszarze V �" R3
nazywamy liczbę
1
fśr := f (x, y, z)dx dy dz ,
+"+"+"
V
V
gdzie V - oznacza objętość obszaru V .
Twierdzenie 4.31 (o wartości średniej dla całek potrójnych)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na domkniętym, regularnym obszarze V �" R3 , to istnieje
taki punkt (x0, y0, z0 )"V , że
fśr = f (x0, y0, z0) .
Twierdzenie 4.32 (o całkach iterowanych)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na domkniętym obszarze
V ={(x, y, z) " R3 : (x, y)" Dxy '" h(x, y) d" z d" g(x, y)},
normalnym względem płaszczyzny Oxy , gdzie funkcje h i g są ciągłe na obszarze
regularnym Dxy �" R2 , to
g ( x,y)
�# ś#
ś# ź#dx
f (x, y, z)dx dy dz = f (x, y, z) dz dy .
+"+"+" +"+" +"
ś# ź#
V Dxy h(x,y)
�# #
Uwaga 8.
24
(a) Prawdziwe są także analogiczne wzory z całkami iterowanymi dla funkcji f na
obszarach normalnych względem pozostałych płaszczyzn układu współrzędnych.
(b) Jeżeli obszar V �" R3 normalnym względem płaszczyzny Oxy można zapisać w
postaci
V ={(x, y, z)" R3 : a d" x d" b '" g1(x) d" y d" g2 (x) '" h1(x, y) d" z d" h2 (x, y)},
to zachodzi równość
g2 (x) h2 ( x,y)
b
Ą# ń#
�# ś#
ś# ź#
f (x, y, z)dx dy dz = ó# f (x, y, z)dz dy Ą# dx .
+"+"+" +" +" +"
ś# ź#
ó# Ą#
V a g1(x) h1( x, y)
�# #
Ł# Ś#
(c) W szczególnym przypadku, gdy funkcja f jest ciągła na domkniętym
prostopadłościanie
V ={(x, y, z)" R3 : a d" x d" b '" c d" y d" d '" p d" z d" q},
to zachodzi równość
b d q
Ą# ń#
�# ś#
ś# ź#
f (x, y, z)dx dy dz = ó# f (x, y, z)dz dy Ą# dx .
+"+"+" +" +" +"
ś# ź#
ó# Ą#
V a c p
�# #
Ł# Ś#
Ponadto ostatnia równość pozostaje prawdziwa, gdy po prawej stronie zmienimy kolejność
całkowania (tzn. napiszemy inny rodzaj całki iterowanej).
25
Zamiana zmiennych w całkach potrójnych
Twierdzenie 4.33 (o zamianie zmiennych w całkach potrójnych)
Niech odwzorowanie T = (x, y, z) :U V , U, V �" R3 , określone następująco:
x = x(u,� ,w)
y = y(u,� ,w)
z = z(u,� ,w)
odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie wnętrze obszaru domkniętego, regularnego V , przy
czym funkcje x , y , z mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w U . Jeżeli
funkcja f jest ciągła w obszarze V oraz jakobian przekształcenia T
" x " x " x
"u "� " w
D(x, y, z) " y " y " y
JT = = `" 0 wewnątrz obszaru U ,
D(u,� ,w) "u "� " w
" z " z " z
"u "� " w
to
f (x, y, z) dx dy dz = f (x(u,� , w), y(u,� , w), z(u,� , w)) JT du d� dw.
+"+"+" +"+"+"
V U
Definicja 4.34 (współrzędne walcowe)
Położenie punktu p = (x, y, z) w przestrzeni R3 można opisać trójką liczb (�,r,h) ,
gdzie:
� - oznacza miarę kąta między rzutem promienia wodzącego punktu p na
płaszczyznęOxy a dodatnią częścią osi Ox , 0 d" � < 2Ą (albo - Ą < � d"Ą ),
r - oznacza odległość rzutu punktu p na płaszczyznę Oxy od początku układu
współrzędnych, 0 d" r < " ,
h - oznacza odległość punktu p od płaszczyzny Oxy poprzedzoną znakiem ,,+  dla
z > 0 i poprzedzoną znakiem ,,Ż#  dla z < 0 , - " < h < +" .
Trójkę liczb (�,r,h) nazywamy współrzędnymi walcowymi punktu przestrzeni R3 .
Uwaga 9. Zależność między współczynnikami walcowymi i kartezjańskimi podaje
przekształcenie W określone wzorami
x = r cos�
y = r sin�
z = h.
Powyższe przekształcenie W , które punktowi (�,r,h) przyporządkowuje punkt
(x, y, z) nazywamy przekształceniem walcowym. Jakobian tego przekształcenia JW = r .
26
 Definicja 4.35 (współrzędne sferyczne)
Położenie punktu p = (x, y, z) w przestrzeni R3 można opisać trójką liczb (�,Ć,r) ,
gdzie:
� - oznacza miarę kąta między rzutem promienia wodzącego punktu p na
płaszczyznę Oxy a dodatnią częścią osi Ox , 0 d" � d" 2Ą (albo - Ą d" � d" Ą );
Ć - oznacza miarę kąta między promieniem wodzącym punktu p a płaszczyzną
Ą Ą
Oxy , - d" Ć d" ;
2 2
r - oznacza odległość punktu p od początku układu współrzędnych, 0 d" r < " .
Trójkę liczb (�,Ć,r) nazywamy współrzędnymi sferycznymi punktu przestrzeni.
Uwaga 10. Zależność między współrzędnymi sferycznymi i kartezjańskimi podaje
przekształcenie S przyporządkowujące punktowi (�,Ć,r) punkt (x, y, z) według wzoru
x = r cos� cosĆ
y = r sin� cosĆ
z = r sinĆ .
Powyższe przekształcenie S nazywamy przekształceniem sferycznym. Jakobian tego
przekształcenia JS = r2 cosĆ
27