Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Równania dynamiczne
Mirosław Tomera
1. WPROWADZENIE
Transformata Laplace a pozwala na przekształcenie równania różniczkowego opisującego liniowy
i stacjonarny układ fizyczny na równanie algebraiczne wyrażone w zależności od zmiennej zespolonej
s. Wykorzystując to równanie algebraiczne można uzyskać transmitancję wyrażającą zależność
pomiędzy wejściem i wyjściem układu. Metoda ta jest bardzo użyteczna w projektowaniu i analizie
układów i pozwala na zastosowanie schematów blokowych do wyrażenia powiązanych ze sobą
elementów składowych układu.
Duża dostępność i łatwość użycia komputerów cyfrowych pozwala na szybkie rozwiązywanie
problemów sterowania opisanych w dziedzinie czasu. Poza tym techniki stosowane w dziedzinie czasu
mogą być zastosowane do układów nieliniowych, niestacjonarnych i wielowymiarowych. Dziedzina
czasu wyraża odpowiedzi i opis układu w zależności od czasu t. Opis w dziedzinie czasu jest podstawą
nowoczesnej teorii sterowania i optymalizacji układów.
Fizyczny układ dynamiczny może być opisany równaniem różniczkowym n tego rzędu.
Stosując zbiór zmiennych, zwanych zmiennymi stanu, można uzyskać zbiór n równań różniczkowych
pierwszego rzędu. Grupując równania pierwszego rzędu przy użyciu notacji macierzowej otrzymuje
się opis zwany modelem zmiennych stanu.
2. ZMIENNE STANU UKA
ADU DYNAMICZNEGO
Analiza i projektowanie układów sterowania w dziedzinie czasu wykorzystuje koncepcję stanu układu.
Stan układu jest zbiorem takich zmiennych, które pozwalają przewidzieć przyszłe wartości stanów
i wyjścia układu na podstawie wiedzy o tych zmiennych, funkcjach wejściowych i równaniach
opisujących dynamikę układu. Dla układu dynamicznego, stan układu opisany jest w zależności od
zbioru zmiennych stanu [x1(t), x2 (t),..., xn (t)] . Zmienne stanu są takimi zmiennymi, które określają
przyszłe zachowanie układu przy znanym stanie obecnym układu i sygnałach wymuszających.
Rozważmy układ pokazany na rys. 1, gdzie y1(t) oraz y2 (t) są sygnałami wyjściowymi, natomiast
u1(t) oraz u2 (t) sygnałami wejściowymi.
Sygnały Sygnały
wejściowe wyjściowe
u1(t) y1(t)
Dynamika
układu
u2(t) y2(t)
Rys. 1. Schemat blokowy układu
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera
Teoria sterowania Równania dynamiczne
Zbiór zmiennych stanu (x1, x2 ,..., xn ) dla układu pokazanego na rysunku 1 jest zbiorem takiej wiedzy
o warunkach początkowych zmiennych stanu [x1(to ), x2 (to ),..., xn (to )] w chwili początkowej to oraz
sygnałach wejściowych u1(t) oraz u2 (t) dla t to , która wystarczy do określenia wartości
przyszłych zmiennych stanu i wyjścia. W postaci ogólnej dynamika układu pokazana jest na rys. 2.
Warunki
x(0)
początkowe
Wejście Wyjście
Dynamika układu
u(t) y(t)
Stan x(t)
Rys. 2. Dynamika układu
Koncepcja zbioru zmiennych stanu opisująca układ dynamiczny może zostać zilustrowana na prostym
przykładzie masy zawieszonej na sprężynie.
Przykład 1
Dla układu pokazanego na rysunku 1.1 wyznacz równania stanu.
Rozwiązanie. Liczba wybranych zmiennych stanu reprezentujących ten
układ powinna być najmniejszą z możliwych celem uniknięcia
nadmiarowych zmiennych stanu. Zbiór zmiennych stanu wystarczający do
opisu tego układu zawiera pozycję i prędkość poruszania się masy.
k
Dlatego też zdefiniowany zbiór zmiennych stanu (x1, x2 ) składa się z
b
następujących zmiennych:
dy(t)
M
x1(t) y(t) oraz x2 (t) . (1.1)
dt
Równanie różniczkowe opisujące zachowanie się układu z rysunku 1.1 ma
y(t) u(t)
Rys. 1.1. Układ masa-
postać
sprężyna- tłumik
2
d y(t) dy(t)
M b ky u(t) (1.2)
2
dt
dt
gdzie: k stała sprężyny, b współczynnik tarcia. Aby zapisać równanie (1.2) w zależności od
zmiennych stanu, podstawione zostały zmienne stanu opisane zależnościami (1.1)
dx2
M bx2 kx1 u(t) (1.3)
dt
Równania różniczkowe (1.3) można również zapisać w postaci następującego zbioru dwóch
równań różniczkowych pierwszego rzędu:
.
dx1
x x2 (1.4)
1
dt
.
dx2 b k 1
x x2 x1 u (1.5)
2
dt M M M
Uzyskany zbiór równań różniczkowych opisuje zachowanie stanu układu w zależności od
prędkości zmiany każdej zmiennej stanu.
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 2
Teoria sterowania Równania dynamiczne
Zmienne stanu opisują przyszłą odpowiedz
układu przy danym stanie obecnym, sygnałach
pobudzających i równaniach opisujących dynamikę układu.
Zmienne stanu charakteryzują zachowanie dynamiczne układu. W układach fizycznych tymi
zmiennymi są takie wielkości fizyczne jak napięcia, prądy, prędkości, pozycje, ciśnienia, temperatury,
itd. Koncepcja stanu układu nie ogranicza się tylko do analizy układów fizycznych i jest również
wykorzystywana w analizowaniu systemów biologicznych, społecznych i ekonomicznych. Dla tych
systemów koncepcja stanu jest rozszerzana poza koncepcję energii układu fizycznego do szerszego
pojęcia zmiennej, która opisuje ich przyszłe zachowanie.
3. RÓWNANIA DYNAMICZNE STANU
Stan układu opisywany jest przez zbiór równań różniczkowych pierwszego rzędu w zależności od
zmiennych stanu (x1, x2 ,..., xn ) . Te równania różniczkowe pierwszego rzędu mogą być zapisane
w następującej postaci ogólnej jako:
.
x a11x1 a12 x2 ... a1n xn b11u1 ... b1mum
1
.
x a21x1 a22 x2 ... a2n xn b21u1 ... b2mum
2
(1)
...
.
x an1x1 an2 x2 ... ann xn bn1u1 ... bnmum
n
.
gdzie x dx dt . Zbiór równań różniczkowych pierwszego rzędu (1) może być zapisany
w następującej notacji macierzowej
x1 a11 a12 ... a1n x1
b11 ... b1m u1
x2 a21 a22 ... a2n x2
d
... ... ... (2)
dt ... ... ... ... M�
bn1 ... bnm um
x4 an1 an2 ... ann xn
Macierz kolumnowa składająca się ze zmiennych stanu nazywana jest wektorem stanu i zapisywana
jest następująco
x1
x2
x (3)
...
xn
Wektor sygnałów wejściowych określany jest jako u . Równanie (2) w postaci ogólnej przedstawiane
jest w postaci następującego zapisu macierzowego
.
(4)
x Ax Bu .
Równanie różniczkowe (4) zazwyczaj nazywane jest równaniem stanu.
n n
Macierz A jest macierzą kwadratową o wymiarach , natomiast macierz B jest o wymiarach
.
n m . Równanie różniczkowe stanu odnosi prędkość zmiany stanu układu x do stanu tego układu x
i sygnałów wejściowych u . Ogólnie wyjścia y układu liniowego mogą być odniesione do zmiennych
stanu x i sygnałów wejściowych u przez równanie wyjścia zapisane w postaci ogólnej
y C x Du (5)
gdzie y jest zbiorem sygnałów wyjściowych wyrażonych w formie wektora kolumnowego.
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 3
Teoria sterowania Równania dynamiczne
Przykład 2
Korzystając z równań (1.4) i (1.5) można uzyskać równanie różniczkowe zmiennych stanu dla
układu pokazanego na rys. 1.1 w postaci
0 1 0
.
k b 1
x x u (2.1)
M M M
oraz równanie wyjścia
y [1 0] x [0] u (2.2)
Po podstawieniu b = 3, k = 2, M = 1, otrzymuje się
.
0 1 0
x x u (2.3)
2 3 1
y [1 0] x [0] u (2.4)
4. MACIERZ TRANZYCJI STANU
Rozwiązanie równania różniczkowego stanu może być uzyskane w podobny sposób w jaki rozwiązuje
się równanie różniczkowe pierwszego rzędu. Rozważmy równanie różniczkowe pierwszego rzędu
.
x ax bu (6)
gdzie x(t) oraz y(t) są skalarnymi funkcjami czasu. Spodziewamy się rozwiązania ekspotencjalnego
w formie eat . Przekształcając równanie (6) przy użyciu transformacji operatorowej Laplace'a,
otrzymuje się
sX(s) x(0) aX (s) bU(s) (7)
i dlatego też
x(0) b
X (s) U(s) (8)
s a s a
Przekształcenie odwrotne transformaty Laplace'a równania (8) daje następujące wyrażenie
t
x(t) eat x(0) ea(t )bu( )d (9)
0
Rozwiązanie równania różniczkowego stanu ma postać podobną do równania (9) i przedstawia się
następująco:
t
x(t) exp(At)x(0) exp[A(t )]Bu( )d (10)
0
gdzie
2 k
A2t Akt
exp(At) eAt I At ... ... (11)
2! k!
Wyrażenie (10) może być uzyskane po dokonaniu przekształcenia równania (4) przy użyciu
transformacji Laplace'a i wyznaczeniu
1 1
X(s) [sI A] x(0) [sI A] BU(s) (12)
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 4
Teoria sterowania Równania dynamiczne
1
Zauważmy, że Ś(s) [sI A] jest transformatą Laplace'a Ś(t) exp(At) . Macierz funkcji
ekspotencjalnej opisuje niewymuszoną odpowiedz
układu i nazywana jest macierzą tranzycji stanu
(t) . Dlatego też równanie (10) może być przepisane jako
t
x(t) Ś(t)x(0) + Ś(t )Bu( )d (13)
0
Rozwiązanie układu nie poddanego żadnemu wymuszeniu (gdy u 0 ) ma postać
x1(t) (t) ... (t) x1(0)
11 1n
x2 (t) (t) ... (t) x2 (0)
21 2n
(14)
... ... ... ...
xn (t) (t) ... (t) xn (0)
n1 nn
Aby określić macierz tranzycji stanu, wszystkie warunki początkowe ustawiane są na zero, za
wyjątkiem jednej zmiennej stanu i wówczas określane jest wyjście każdej zmiennej stanu. Wówczas
element (t) jest odpowiedzią i-tej zmiennej stanu na warunek początkowy j-tej zmiennej stanu,
ij
przy zerowych wartościach początkowych na wszystkich pozostałych stanach.
Przykład 3
Korzystając z równań (2.3) poszukamy macierzy tranzycji (t) , a następnie przebiegów
czasowych x1(t) oraz x2 (t) , kiedy x1(0) =1, x2 (0) =0 i u(t) 0.
Rys. 3.1. Prezentacja graficzna uzyskanych w przykładzie 3 wyników. (a) Przebieg czasowy zmiennej
stanu x1(t). (b) Przebieg czasowy zmiennej stanu x2(t). (c) Trajektoria wektora stanu na
płaszczyz
nie
Macierz tranzycji jest prostą transformatą odwrotną Ś(s)
1
Ś(t) = Ł {Ś(s)} (3.1)
1
Najpierw określimy (s) ze wzoru Ś(s) [sI A] . Z równania (2.3)
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 5
Teoria sterowania Równania dynamiczne
0 1
A (3.2)
2 3
wówczas
s 1
[sI A] (3.3)
2 s 3
Macierz odwrotna
s 3 1
1
1
Ś(s) [sI A] (3.4)
(s) 2 s
gdzie (s) (s 3)s 2 s2 3s 2 (s 1)(s 2) . Dlatego też macierz tranzycji w postaci
operatorowej jest następująca
s 3 1
(s 1)(s 2) (s 1)(s 2)
Ś(s) (3.5)
2 s
(s 1)(s 2) (s 1)(s 2)
Wówczas macierz tranzycji stanu jest następująca
t 2t t 2t
1
(2e e ) (e e )
(t) = Ł {Ś(s)} (3.6)
t 2t t 2t
( 2e 2e ) ( 2e e )
Przebiegi czasowe zmiennych stanu na zadane warunki początkowe są wyrażone następująco:
t 2t
x1(t) x1(0) 1
2e e
Ś(t) Ś(t) (3.7)
t 2t
x2 (t) x2 (0) 0
2e 2e
Przebiegi czasowe zmiennych stanu na zadane warunki początkowe oraz trajektoria wektora
stanu [x1(t), x2 (t)] na płaszczyz
nie pokazane są na rysunku 4.
5. ZALEŻNOŚĆ POMI
DZY RÓWNANIAMI STANU A TRANSMITANCJ

Transmitancja G(s) dla układu z pojedynczym wejściem i pojedynczym wyjściem może zostać
uzyskana na podstawie równań stanu opisanych wzorami (4) oraz (5). Transformata operatorowa tych
równań jest następująca
sX(s) AX (s) BU(s) (15)
Y(s) CX (s) (16)
gdzie B jest macierzą o rozmiarach n 1, natomiast u jest pojedynczym wejściem. Kiedy
poszukiwana jest transmitancja to nie uwzględnia się warunków początkowych (warunki początkowe
są równe zero). Przekształcając równanie (15) uzyskuje się
1
[sI A] X(s) BU(s) (17)
1
Ponieważ [sI A] Ś(s) , otrzymuje się
1
X(s) [sI ę] BU(s) Ś(s)BU(s) (18)
Podstawiając X(s) do równania (16) uzyskuje się
1
Y (s) C[sI ę] BU(s) CŚ(s)BU(s) (19)
Dlatego też transmitancja G(s) Y(s) /U(s) wyraża się wzorem
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 6
Teoria sterowania Równania dynamiczne
1
(20)
G(s) C[sI A] B D
Poniższy przykład ilustruje sposób wyznaczania transmitancji operatorowej na podstawie
posiadanych równań dynamicznych.
Przykład 4
Sposób wyznaczenia macierzy tranzycji w postaci operatorowej ( s ) pokazany jest
w przykładzie 3 i uzyskany wynik opisuje wyrażenie (3.5), natomiast macierze B oraz C
uzyskane z równań (2.3) i (2.4) są następujące
Dla rozważanego układu z pojedynczym wejściem i pojedynczym wyjściem równania stanu są
następujące
x1 1 2 0 x1 1
d
x2 1 2 0 x2 0 u(t) (4.1)
dt
x3 2 1 3 x3 0
x1
y(t) [1 0 1] x2 (4.2)
x3
Wyznacz transmitancję G(s) Y(s) /U(s) przy użyciu wzoru (20).
Rozwiązanie. Transmitancję dla tego układu wyznacza się w następujący sposób
1
s 1 2 0 1
1
G(s) C[sI A] B [1 0 1] 1 s 2 0 0
2 1 s 3 0
s2 s 6 2s 6 0
s 3 s2 4s 3 0
1
2s 3 s 3 s2 s
[1 0 1] 0
s3 2s2 3s
0
s2 s 6
[1 0 1] s2 s 3
s 3 (4.3)
s3 2s2 3s s3 2s2 3s
2s 3
6. WYZNACZANIE RÓWNAC
STANU NA PODSTAWIE TRANSMITANCJI
METOD
DEKOMPOZYCJI
Układy liniowe mogą być opisywane różnymi metodami. Modelując układ liniowy można go opisać
równaniem różniczkowym, transmitancją lub równaniami dynamicznymi. Na rysunku 5.3 pokazany
został schemat blokowy przedstawiający zależności pomiędzy różnymi sposobami opisu układów
liniowych. Dla przykładu, wychodząc z równań różniczkowych opisujących zachowanie układu
liniowego można uzyskać rozwiązanie metodą transmitancji lub metodą równań dynamicznych. Na
schemacie tym pokazane zostało że są możliwe przejścia między różnymi metodami w dowolną
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 7
Teoria sterowania Równania dynamiczne
stronę. Jedynym zagadnieniem pokazanym na tym schemacie i nie wyjaśnionym jeszcze jest
konstruowanie diagramu stanu na podstawie transmitancji. Proces przechodzenia od transmitancji do
diagramu stanu nosi nazwę dekompozycji. Ogólnie są trzy metody dekompozycji transmitancji:
bezpośrednia, równoległa i kaskadowa. Każda z tych trzech metod dekompozycji ma swoje zalety
i może najlepiej odpowiadać pewnym szczególnym zastosowaniom. Prawdopodobnie najbardziej
efektywnym sposobem rozumienia równań zmiennych stanu jest przedstawienie ich na maszynie
(komputerze) analogowej w postaci diagramu stanów. Maszyna analogowa była urządzeniem
utworzonym z elementów elektrycznych i służyła do symulowania rozwiązań równań różniczkowych
zwyczajnych.
Równania Równania
różniczkowe dynamiczne
Równanie
tranzycji
stanu
Diagram
Transmitancja
stanu
Rys. 3. Schemat blokowy przedstawiający zależności pomiędzy różnymi sposobami opisu układów liniowych.
Podstawowym elementem maszyny analogowej był integrator zbudowany na wzmacniaczu
operacyjnym z kondensatorem w sprzężeniu i rezystorem w torze bezpośrednim. Ponieważ integrator
jest urządzeniem na którego wejściu jest pochodna wyjścia tak jak pokazano to na rysunku 5.4 to jeśli
w symulacjach analogowych, określi się wyjścia integratorów jako stan to automatycznie otrzyma się
równania w postaci zmiennych stanu. Jeśli układ jest już opisany przez zmienne stanu to można
skonstruować schemat na podobieństwo symulacji na maszynie analogowej, który nosi nazwę
diagramu stanu. Na schemacie tym wykorzystuje się po jednym integratorze dla każdej zmiennej stanu
i odpowiednio łączy ich wyjścia poprzez odpowiednie wzmocnienia stosowanie do równania
wyrażającego tą zmienną stanu. Rząd takiego układu określa liczba użytych w nim integratorów.
Diagramy stanu są obrazem równań stanu i są dogodnymi sposobami opisu układu z powodu łatwego
wyznaczania transmitancji przy użyciu reguły wzmocnień Masona.
.
x x
1
s
Rys. 4. Integrator
6.1. DEKOMPOZYCJA BEZPOŚREDNIA
Dekompozycja bezpośrednia stosowana jest do transmitancji zapisanej w postaci ilorazu dwóch
wielomianów. Rozważając transmitancję n-tego rzędu o jednym wejściu U(s) i jednym wyjściu U(s)
(SISO) o postaci
Y (s) b1sn 1 b2sn 2 ... bn 1s bn
G(s) (21)
U (s)
sn a1sn 1 a2sn 2 ... an 1s an
w której zakłada się, że rząd mianownika jest przynajmniej o jeden rząd większy niż licznika.
Dekompozycja bezpośrednia może być prowadzona na dwa sposoby i prowadzić do diagramu stanu
odpowiadającego postaci kanonicznej sterowalności i innej postaci znanej jako kanonicznej
obserwowalności.
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 8
Teoria sterowania Równania dynamiczne
Dekompozycja bezpośrednia do postaci kanonicznej sterowalności
Konstruowanie diagramu stanu na podstawie transmitancji metodą bezpośrednią składa się z
następujących kroków:
1. Należy wyrazić transmitancję w ujemnych potęgach s co uzyskuje się przez pomnożenie
n
licznika i mianownika transmitancji (21) przez s .
2. Pomnożenie licznika i mianownika transmitancji przez dodatkową zmienną X(s). Po
wykonaniu tych kroków transmitancja (21) przyjmuje postać
1 2 n 1 n
Y (s) b1s b2s ... bn 1s bns X (s)
G(s) (22)
1 2 n 1 n
U (s) X (s)
1 a1s a2s ... an 1s ans
3. Zapisując oddzielnie w postaci dwóch równań zależności powstałe w liczniku i mianowniku
transmitancji (22), uzyskuje się
1 2 n 1 n
Y (s) (b1s b2s ... bn 1s bns ) X (s) (23)
1 2 n 1 n
U (s) (1 a1s a2s ... an 1s ans ) X (s) (24)
4. Aby skonstruować diagram stanu na podstawie dwóch powyższych równań to dodatkowo
równanie (24) należy przekształcić do postaci
1 2 n 1 n
X (s) U (s) (a1s a2s ... an 1s ans ) X (s) (25)
Diagram stanu utworzony w oparciu o równania (23) i (25) pokazany został na rysunku 5. Dla
uproszczenia stany początkowe nie zostały zaznaczone na tym diagramie. Zmienne stanu x1(t) ,
x2 (t) , ..., xn (t) definiowane są jako wyjścia integratorów i uporządkowane w kierunku narastającym
od lewej strony diagramu do prawej. Równania stanu uzyskiwane są przez zastosowanie reguły
wzmocnień Masona, gdzie pochodne zmiennych stanu są wyjściami, natomiast zmienne stanu
i wejście u(t) są wejściami.
�b1
�b2
�bn-1
.
.
x1 1 x2 xn-1 1 xn
u x1 1 xn-1 1 y
bn
s s s s
-�a1
-�a2�
-�an-�1
�-�an
Rys. 5. Diagram stanu w postaci kanonicznej sterowalności
Równanie wyjścia jest również określone przez zastosowanie reguły wzmocnień. Z diagramu stanu
uzyskuje się równania dynamiczne o postaci ogólnej opisanej wzorami (4) i (5), gdzie
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 9
Teoria sterowania Równania dynamiczne
a1 a2 a3 ... an 1
1 0 0 ... 0 0
As 0 1 0 ... 0 Bs 0 (26)
... ... ... ... ... ...
0 0 0 ... 0 0
Cs [b1 b2 b3 .... bn ] Ds 0 (27)
Zgodnie z oczekiwaniami macierze A i B są w postaci kanonicznej sterowalności.
Przykład 5
Dla układu opisanego poniższą transmitancją, wyznacz równania dynamiczne w postaci
kanonicznej sterowalności. Uzyskane równania zapisz w postaci macierzowej.
2
Y(s) 5s 4s 12
G(s) (5.1)
U (s)
s3 6s2 s 3
Rozwiązanie. Na rysunku 5.1. znajduje się diagram stanu w postaci kanonicznej sterowalności
utworzony ma podstawie poniższych równań
1 2 3
Y (s) ( 5s 4s 12s ) X (s) (5.2)
1 2 3
X (s) U (s) ( 6s s 3s ) X (s) (5.3)
Do diagramu z rysunku 5.1 można dojść jeszcze w inny sposób. Po podzieleniu licznika
i mianownika przez najwyższą potęgę s pojawia się 1 w mianowniku.
2 1 2 3
P1 P2 P3
Y (s) 5s 4s 12 5s 4s 12
G(s) (5.4)
2 1 2 3
U (s) 1 (L1 L2 L3 )
s3 6s s 3 1 ( 6s s 3s )
W tej postaci uzyskana transmitancja (5.4) może zostać zinterpretowana jako wyrażenie
1 2 3
opisujące regułę wzmocnień Masona. Składniki licznika ( P1 5s , P2 4s , P3 12s ) są
torami wiodącymi sygnał poprzez integratory z wejścia na wyjście. Składniki mianownika
1 2 3
( L1 6s , L2 s , L3 3s ) mogą zostać przedstawione jako pętle. Na rysunku 5.1
sygnał wyjściowy z każdego integratora został oznakowany. Sygnały te nazywane są
zmiennymi stanu układu.
-�5
4�
.
x1 1 x1 1 x2 1 x3
u y
-�12
s
s s
X(s)
U(s)
Y(s)
-� 6
-� 1
-� 3
Rys. 5.1. Diagram stanu w postaci kanonicznej sterowalności utworzony na podstawie transmitancji (5.1)
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 10
Teoria sterowania Równania dynamiczne
Na podstawie uzyskanego diagramu stanu (Rys. 5.1) uzyskuje się następujący zestaw równań
stanu
dx1(t)
6x1(t) x2 (t) 3x3(t) u(t)
dt
dx2 (t)
x1(t) (5.5)
dt
dx3 (t)
x2 (t)
dt
i równanie wyjścia
y(t) 5x1(t) 4x2 (t) 12x3 (t) (5.6)
Powyższe równania można zapisać w postaci następujących macierzowo-wektorowych równań
dynamicznych
x1(t) 6 1 3 x1(t) 1
d
x2 (t) 1 0 0 x2 (t) 0 u(t) (5.7)
dt
x3(t) 0 1 0 x3(t) 0
x1(t)
y(t) [ 5 4 12] x2 (t) (5.8)
x3 (t)
Macierze A i B równania (5.7) wyrażone są w postaci kanonicznej sterowalności.
Dekompozycja bezpośrednia do postaci kanonicznej obserwowalności
n
Mnożąc licznik i mianownik transmitancji (21) przez s i przekształcając je otrzymuje się
1 2 n 1 n
(1 a1s a2s ... an 1s ans ) Y (s)
1 2 n 1 n
(b1s b2s ... bn 1s bns ) U (s) (28)
Wyznaczając z równania (28) Y(s) uzyskuje się następującą zależność
1 2 n 1 n
Y (s) ( a1s a2s ... an 1s ans ) Y (s)
1 2 n 1 n
(b1s b2 s ... bn 1s bn s ) U (s) (29)
W oparciu o równanie (29) narysowany został diagram stanu pokazany na rysunku 6.
u
U(s)
bn bn-1 �b2 �b1
. .
. .
x1 1
xn 1 xn xn-�1 1 xn-�1 x2 1 x2 x1 y
s
s s s
Y(s)
�-�an -�an-1 -�a2 -�a1
Rys. 6. Diagram stanu w postaci kanonicznej obserwowalności
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 11
Teoria sterowania Równania dynamiczne
Na wyjściach integratorów zdefiniowane zostały zmienne stanu. W tym przypadku zmienne stanu
zostały ponumerowane w kolejności narastającej od lewej strony diagramu do prawej. Stosując regułę
wzmocnień Masona wyznacza się równania dynamiczne o postaci ogólnej (4) i (5), gdzie
a1 1 0 ... 0 b1
a2 0 1 ... 0 b2
Ao a3 0 0 ... 0 Bo b3 (30)
... ... ... ... ... ...
an 0 0 ... 0 bn
Co [1 0 0 ... 0] Do 0 (31)
Macierze A i C są w postaci kanonicznej obserwowalności.
Należy zaznaczyć, że transmitancja odpowiadająca dowolnej postaci równań dynamicznych jest
jednoznaczna (unikalna). Natomiast mając daną transmitancję można uzyskać kilka modeli stanu:
postać kanoniczną sterowalności, postać kanoniczną obserwowalności, postać kanoniczną diagonalną
i jeszcze wiele innych postaci.
Przykład 6
Dla transmitancji z przykładu 5 opisanej wzorem (5.1) należy skonstruować diagram stanu
w postaci kanonicznej obserwowalności i zapisać uzyskane równania dynamiczne w postaci
kanonicznej obserwowalności.
Rozwiązanie. W celu utworzenia diagramu stanu w postaci kanonicznej obserwowalności
transmitancję (5.1) należy zapisać w następującej postaci
1 2 3 1 2 3
Y (s) ( 5s 4s 12s ) U (s) ( 6s s 3s ) Y (s) (6.1)
co prowadzi do schematu pokazanego na rysunku 6.1.
Do diagramu z rysunku 5.1 można dojść jeszcze w inny sposób. Po podzieleniu licznika
i mianownika transmitancji 5.1 przez najwyższą potęgę s pojawia się 1 w mianowniku.
2 1 2 3
P1 P2 P3
Y (s) 5s 4s 12 5s 4s 12
G(s) (6.2)
2 1 2 3
U (s) 1 (L1 L2 L3 )
s3 6s s 3 1 ( 6s s 3s )
W tej postaci uzyskana transmitancja (6.2) może zostać zinterpretowana jako wyrażenie
1 2 3
opisujące regułę wzmocnień Masona. Składniki licznika ( P1 5s , P2 4s , P3 12s ) są
torami wiodącymi sygnał poprzez integratory z wejścia na wyjście. Składniki mianownika
1 2 3
( L1 6s , L2 s , L3 3s ) mogą zostać przedstawione jako pętle. Na rysunku 6.1
sygnał wyjściowy z każdego integratora został oznakowany.
u
U(s)
-�12 4� -� 5
. . .
x3 1 x3 x2 1 x2 x1 1 x1 y
s
s s
Y(s)
-� 3 -� 1 -� 6
Rys. 6.1. Diagram stanu w postaci kanonicznej obserwowalności utworzony na podstawie transmitancji
(5.1)
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 12
Teoria sterowania Równania dynamiczne
Na podstawie diagramu stanu z rysunku 6.1 uzyskuje się następujący zestaw równań stanu
będących równaniami różniczkowymi pierwszego rzędu
dx1(t)
6x1(t) x2 (t) 5u(t)
dt
dx2 (t)
x1(t) x3(t) 4u(t) (6.3)
dt
dx3(t)
3x1(t) 12u(t)
dt
i równanie wyjścia
y(t) x1(t) (6.4)
gdzie x1, x2 , x3 są zmiennymi stanu. Równania różniczkowe pierwszego rzędu (6.3) mogą
zostać zapisane w postaci macierzowo-wektorowej stanu (4)
x1(t) 6 1 0 x1(t) 5
d
x2 (t) 1 0 1 x2 (t) 4 u(t) (6.5)
dt
x3 (t) 3 0 0 x3 (t) 12
i wyjścia (5)
x1(t)
y(t) [1 0 0] x2 (t) (6.6)
x3 (t)
Macierze A i C równań (6.5) oraz (6.6) są wyrażone w postaci kanonicznej obserwowalności.
6.2. DEKOMPOZYCJA RÓWNOLEGA
A DO POSTACI KANONICZNEJ DIAGONALNEJ
Kiedy mianownik transmitancji jest wyrażony w postaci iloczynowej to wówczas można dokonać
rozkładu tej transmitancji na sumę ułamków zwykłych.
b1sn 1 b2sn 2 ... bn 1s bn K1 K2 Kn
G(s) ... (32)
(s p1)(s p2 )...(s pn ) s p1 s p2 s pn
Uzyskany diagram stanu będzie składał się z prostych układów pierwszego i drugiego rzędu
połączonych równolegle, które prowadzą do równań stanu w postaci kanonicznej diagonalnej lub
kanonicznej diagonalnej Jordana uzyskiwanej dla przypadku z wielokrotnymi wartościami własnymi.
Bieguny transmitancji (32) mogą mieć wartości rzeczywiste lub zespolone. Obecnie nie ma problemu
z zaimplementowaniem wartości zespolonych w komputerze i dlatego też nie będzie prowadzone
rozróżnienie na przypadki z biegunami rzeczywistymi i zespolonymi.
Wartości własne jednokrotne
Sposób wyznaczania równań dynamicznych w postaci kanonicznej diagonalnej dla przypadku
w którym występują wartości własne jednokrotne przedstawiony został w przykładzie 7.
Przykład 7
Dla układu z pojedynczym wejściem i pojedynczym opisanego poniższą transmitancją,
2
Y (s) s 8s 12
G(s) (7.1)
2
U (s)
s3 5s 6s
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 13
Teoria sterowania Równania dynamiczne
wyznacz równania dynamiczne w postaci kanonicznej diagonalnej.
Rozwiązanie. W pierwszej kolejności należy dokonać rozkładu transmitancji (7.1) na ułamki
proste, w ten sposób otrzymuje się
2
s 8s 12 9 12 2
G(s) (7.2)
s 3 s 2 s
s3 5s2 6s
Transmitancja opisana zależnością (7.2) może zostać przedstawiona jako połączenie równoległe
układów pierwszego rzędu co zostało pokazane na rysunku 7.1.
.
x1 1 x1
-� 9
s
-� 3
.
x2 1
u x2 y
12
s
U(s) Y(s)
-� 2
.
x3 1 x3
-� 2
s
Rys. 7.1. Diagram stanu w postaci kanonicznej diagonalnej utworzony na podstawie transmitancji (7.1)
Na podstawie diagramu stanu z rysunku 7.1 uzyskuje się następujący zestaw równań stanu
będących równaniami różniczkowymi pierwszego rzędu
dx1(t)
3x1(t) u(t)
dt
dx2 (t)
2x2 (t) u(t) (7.3)
dt
dx3(t)
u(t)
dt
i równanie wyjścia
y(t) 9x1(t) 12x2 (t) 2x3 (t) (7.4)
Uzyskane równania stanu zapisane w postaci macierzowo-wektorowej (4)
x1(t) 0 0 0 x1(t) 1
d
x2 (t) 0 1 0 x2 (t) 1 u(t) (7.5)
dt
x3 (t) 0 0 3 x3 (t) 1
i wyjścia (5)
x1(t)
y(t) [ 9 12 2] x2 (t) (7.6)
x3 (t)
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 14
Teoria sterowania Równania dynamiczne
Wartości własne wielokrotne
Równania dynamiczne dla układu z wielokrotnymi wartościami własnymi przedstawiane są w postaci
diagonalnej która nosi nazwę postaci diagonalnej Jordana. W poniższym przykładzie zilustrowany
został ten problem.
Przykład 8
Dla układu o jednym wejściu i jednym wyjściu o transmitancji zawierającej pierwiastki
wielokrotne, wyznacz równania dynamiczne w postaci kanonicznej diagonalnej.
Y (s) 10s2 51s 56 3 7 3
G(s) (8.1)
U (s) s 2 s 4
(s 2)2 (s 4) (s 2)2
Rozwiązanie. Rozważana w tym przykładzie transmitancja jest trzeciego rzędu i chociaż
z iloczynu mianowników prawej strony wzoru (8.1) wynika że wynosi on cztery to jednak
stosuje się tylko trzy integratory co pokazane zostało na diagramie stanu na rysunku 8.1.
Minimalna liczba integratorów w tym przypadku wynosi trzy, przy czym jeden z nich
wykorzystywany jest w dwóch gałęziach.
.
x1 1
x1
-� 3
s
-� 2
.
u x2 1 x2 y
7
s
U(s) Y(s)
-� 2
.
x3 1 x3
3
s
-� 4
Rys. 8.1. Diagram stanu w postaci kanonicznej diagonalnej Jordana utworzony na podstawie
transmitancji (8.1)
Na podstawie diagramu stanu z rysunku 8.1 uzyskuje się następujący zestaw równań stanu
będących równaniami różniczkowymi pierwszego rzędu
dx1(t)
2x1(t) x2 (t)
dt
dx2 (t)
2x2 (t) u(t) (8.2)
dt
dx3 (t)
4x2 (t) u(t)
dt
i równanie wyjścia
y(t) 3x1(t) 7x2 (t) 3x3 (t) (8.3)
Uzyskane równania stanu zapisane w postaci macierzowo-wektorowej (5.43)
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 15
Teoria sterowania Równania dynamiczne
x1(t) 2 1 0 x1(t) 0
d
x2 (t) 0 2 0 x2 (t) 1 u(t) (8.4)
dt
x3 (t) 0 0 4 x3 (t) 1
i wyjścia (5.44)
x1(t)
y(t) [ 3 7 3] x2 (t) (8.5)
x3 (t)
6.3. DEKOMPOZYCJA KASKADOWA
Dekompozycja kaskadowa polega on na tym, że transmitancja zapisywana jest w postaci iloczynu
prostych pierwszo- i drugo-rzędowych czynników.
Y(s) s z1 s z2 s zm
G(s) K ... (33)
U(s) s p1 s pn
s2 a1s a0
Każda z tych czynników transmitancji (33) dekomponowany jest metodą dekompozycji bezpośredniej
i łączony kaskadowo z sąsiednimi. Kiedy transmitancja wypadkowa zawiera zera lub bieguny
zespolone to transmitancje składowe zawierające te zera lub bieguny powinny być drugiego rzędu.
Poniższy przykład ilustruje tą metodę uzyskiwania równań dynamicznych.
Przykład 9
Dla układu o jednym wejściu i jednym wyjściu opisanego poniższą transmitancją,
3s2 12s
G(s) (9.1)
s3 7s2 16s 12
wyznacz równania dynamiczne metodą dekompozycji kaskadowej.
Rozwiązanie. W pierwszej kolejności transmitancję opisaną wzorem (9.1) należy przedstawić
w postaci zerowo-biegunowej
3s(s 4)
G(s) (9.2)
(s 3)(s 2)2
Uzyskana postać transmitancji (9.2) zapisana zostanie w postaci następujących iloczynów
3 s 4 s
G(s) (9.3)
s 2 s 3 s 2
i dla każdego z tych czynników należy znalez
ć diagram stanu metodą bezpośrednią i połączyć je
kaskadowo, uzyska się w ten sposób strukturę stanu pokazaną na rysunku 9.1. Na podstawie
diagramu stanu z rysunku 9.1 uzyskuje się następujący zestaw równań stanu będących
równaniami różniczkowymi pierwszego rzędu
.
x3
u x1 1 x1 x2 y
1 1
3 -� 4
s s
s
U(s)
Y(s)
-� 3
-� 2
-� 2
Rys. 9.1. Diagram stanu utworzony metodą dekompozycji kaskadowej na podstawie transmitancji (9.1)
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 16
Teoria sterowania Równania dynamiczne
dx1(t)
2x1(t) u(t)
dt
dx2 (t)
3x1(t) 3x2 (t) (9.4)
dt
dx3 (t)
3x1(t) 7x2 (t) 2x2 (t)
dt
i równanie wyjścia
y(t) 3x1(t) 7x2 (t) 2x2 (t) (9.5)
Uzyskane równania stanu zapisane w postaci macierzowo-wektorowej (5.43)
x1(t) 2 0 0 x1(t) 1
d
x2 (t) 3 3 0 x2 (t) 0 u(t) (9.6)
dt
x3 (t) 3 7 2 x3 (t) 0
i wyjścia (5.44)
x1(t)
y(t) [3 7 2] x2 (t) (9.7)
x3 (t)
ĆWICZENIA
C1. Wyznacz transmitancję operatorową pomiędzy G(s) Y(s) U(s) dla układów opisanych
następującym zestawem równań dynamicznych
.
a) x1(t) 2x1(t) 3x3 (t) u(t)
.
x2 (t) x1(t) x2 (t) x3 (t)
.
x3(t) x2 (t) x3(t) u(t)
y(t) 3x1(t) x2 (t) 2x3 (t)
.
b) x1(t) 2x1(t) 5x2 (t) 6x3 (t) u(t)
.
x2 (t) x1(t) x2 (t) x3 (t) u(t)
.
x3 (t) x2 (t) u(t)
y(t) x1(t) 3x2 (t) 6x3 (t)
.
c) x1(t) x2 (t) x3 (t)
.
x2 (t) x1(t) u(t)
.
x3 (t) 5x1(t) 2x2 (t) x3 (t) u(t)
y(t) 2x1(t) 3x2 (t) 5x3(t)
.
d) x1(t) 7x1(t) 2x2 (t) u(t)
.
x2 (t) x1(t) x2 (t) x3(t)
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 17
Teoria sterowania Równania dynamiczne
.
x3 (t) x2 (t)
y(t) 3x1(t) x2 (t) 3x3 (t)
.
e) x1(t) 4x1(t) 4x2 (t) 2x3 (t) u(t)
.
x2 (t) x1(t) x2 (t) x3 (t) 2u(t)
.
x3(t) x2 (t) x3(t) u(t)
y(t) 2x1(t) x2 (t) 2x3 (t)
.
f) x1(t) 4x1(t) x2 (t) 2x3 (t) u(t)
.
x2 (t) x1(t) x2 (t)
.
x3(t) x2 (t) x3(t) u(t)
y(t) 3x1(t) 6x2 (t) 8x3 (t)
.
g) x1(t) 2x1(t) x2 (t) 5x3 (t) u(t)
.
x2 (t) x1(t) x2 (t) x3 (t)
.
x3 (t) x1(t) x2 (t) x3 (t)
y(t) 2x1(t) 3x2 (t) 5x3(t)
.
h) x1(t) x1(t) 2x2 (t) x3 (t) u(t)
.
x2 (t) x1(t) x2 (t) x3 (t) 2u(t)
.
x3 (t) x1(t) x2 (t) x3 (t) u(t)
y(t) 2x1(t) x2 (t) 3x3 (t)
C2. Dla poniższych równań różniczkowych opisujących układy liniowe stacjonarne, wyznacz
transmitancje operatorowe
3 2
d y(t) d y(t) dy(t)
a) 2 3 y(t) 2u(t)
3 2
dt
dt dt
3 2
d y(t) d y(t) dy(t) du(t)
b) 2 5 6y(t) 3 6u(t)
3 2
dt dt
dt dt
3 2
d y(t) d y(t) dy(t) du(t)
c) 10 5y(t) 5
3 2
dt dt
dt dt
3 2 2
d y(t) d y(t) dy(t) d u(t) du(t)
d) 7 12 3 19 36u(t)
3 2 2
dt dt
dt dt dt
3 2 2
d y(t) d y(t) dy(t) d u(t) du(t)
e) 4 4 4 10 8u(t)
3 2 2
dt dt
dt dt dt
3 2 2
d y(t) d y(t) dy(t) d u(t) du(t)
f) 4 8 3 16 8u(t)
3 2 2
dt dt
dt dt dt
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 18
Teoria sterowania Równania dynamiczne
3 2
d y(t) d y(t) dy(t)
g) 5 3 y(t) u(t)
3 2
dt
dt dt
3 2
d y(t) d y(t) dy(t) du(t)
h) 10 2 y(t) 2u(t)
3 2
dt dt
dt dt
C3. Dla układów opisanych poniższymi transmitancjami operatorowymi dokonaj dekompozycji
metodą bezpośrednią do postaci kanonicznej sterowalności. Narysuj strukturę (diagram) stanu,
zdefiniuj zmienne stanu x1 , x2 , ... od prawej do lewej strony struktury. Zapisz równania
dynamiczne w postaci macierzowej.
1
a) G(s)
s3 5s2 3s 1
4s2 10s 8
b) G(s)
s3 4s2 4s
5s
c) G(s)
s3 10s2 s 5
2
d) G(s)
s3 2s2 3s 1
3s 2
e) G(s)
s3 10s2 2s 1
3s2 16s 8
f) G(s)
s3 4s2 8s
3s2 19s 36
g) G(s)
s3 7s2 12s
3s 6
h) G(s)
s3 2s2 5s 6
C4. Dla transmitancji z zadania C.3 dokonaj dekompozycji metodą bezpośrednią do postaci
kanonicznej obserwowalności. Narysuj strukturę (diagram) stanu, zdefiniuj zmienne stanu x1 ,
x2 ,... od lewej do prawej strony struktury. Zapisz równania dynamiczne w postaci macierzowej.
C5. Dla układów dynamicznych liniowych, stacjonarnych opisanych poniższymi transmitancji
dokonaj dekompozycji równoległej do postaci kanonicznej diagonalnej. Narysuj diagram stanu.
Stałe na gałęziach muszą mieć wartości rzeczywiste. Zapisz równania dynamiczne w postaci
macierzowej.
24
a) G(s)
s3 4s2 3s
2s 10
b) G(s)
s3 3s2 2s
s2 7s 12
c) G(s)
s3 4s2 4s
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 19
Teoria sterowania Równania dynamiczne
s2 s
d) G(s)
s3 5s2 8s 4
2s2 6s 4
e) G(s)
s3 2s2 2s
5s2 10s 5
f) G(s)
s3 2s2 5s
5s2 10s 10
g) G(s)
s3 4s2 5s
8s2 32s 40
h) G(s)
s3 4s2 8s
C6. Dla transmitancji z zadania C.5 dokonaj dekompozycji kaskadowej. Narysuj diagram stanu
i zdefiniuj zmienne stanu w kolejności narastającej od lewej strony do prawej. Stałe na gałęziach
muszą mieć wartości rzeczywiste. Zapisz równania dynamiczne w postaci macierzowej.
ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEC

C1.
2
s 3s 1
a) G(s)
2
s3 2s 2s 1
2
4s 12s 18
b) G(s)
s3 3s2 6s 4
2s2 7s 14
c) G(s)
2
s3 s 6s 1
2
3s 4s 6
d) G(s)
2
s3 8s 10s 7
2s2 22s 15
e) G(s)
2
s3 2s 2s 6
2
5s 18s 35
f) G(s)
2
s3 2s 6s 5
2
2s 2s 6
g) G(s)
2
s3 2s 6s 6
2
3s 7s 15
h) G(s)
2
s3 s s 4
C2.
2
a) G(s)
s3 2s2 3s 1
3s 6
b) G(s)
s3 2s2 5s 6
5s
c) G(s)
s3 10s2 s 5
2
3s 19s 36
d) G(s)
2
s3 7s 12s
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 20
Teoria sterowania Równania dynamiczne
2
4s 10s 8
e) G(s)
s3 4s2 4s
2
3s 16s 8
f) G(s)
2
s3 4s 8s
1
g) G(s)
s3 5s2 3s 1
3s 2
h) G(s)
s3 10s2 2s 1
C3.
0 1 0 0
a) A 0 0 1 , B 0 , C [1 0 0] ,
D 0
1 3 5 1
0 1 0 0
b) A 0 0 1 , B 0 , C [8 10 4] ,
D 0
0 4 4 1
0 1 0 0
c) A 0 0 1 , B 0 , C [0 5 0],
D 0
5 1 10 1
0 1 0 0
d) A 0 0 1 , B 0 , C [2 0 0],
D 0
1 3 2 1
0 1 0 0
e) A 0 0 1 , B 0 , C [2 3 0],
D 0
1 2 10 1
0 1 0 0
f) A 0 0 1 , B 0 , C [8 16 3] ,
D 0
0 8 4 1
0 1 0 0
g) A 0 0 1 , B 0 , C [36 19 3] ,
D 0
0 12 7 1
0 1 0 0
h) A 0 0 1 , B 0 , C [6 3 0] ,
D 0
6 5 2 1
C4.
0 0 1 1
a) A 1 0 3 , B 0 , C [0 0 1] ,
D 0
0 1 5 0
0 0 0 8
b) A 1 0 4 , B 10 , C [0 0 1] , D 0
0 1 4 4
0 0 5 0
c) A 1 0 1 , B 5 , C [0 0 1] ,
D 0
0 1 10 0
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 21
Teoria sterowania Równania dynamiczne
0 0 1 2
d) A 1 0 3 , B 0 , C [0 0 1] ,
D 0
0 1 2 0
0 0 1 2
e) A 1 0 2 , B 3 , C [0 0 1] ,
D 0
0 1 10 0
0 0 0 8
f) A 1 0 8 , B 16 , C [0 0 1] ,
D 0
0 1 4 3
0 0 0 36
g) A 1 0 12 , B 19 , C [0 0 1] ,
D 0
0 1 7 3
0 0 6 6
h) A 1 0 5 , B 3 , C [0 0 1] ,
D 0
0 1 2 0
C5. Można uzyskać inne zestawy współczynników macierzy, które również będą poprawne.
0 0 0 1
8 12 4
a) G(s) ; A 0 1 0 , B 1 , C [8 12 4] ,
D 0
s s 1 s 3
0 0 3 1
0 0 0 1
5 8 3
b) G(s) ; A 0 1 0 , B 1 , C [5 8 3] ,
D 0
s s 1 s 2
0 0 2 1
0 0 0 1
3 2 1
c) G(s) ; A 0 2 1 , B 0 , C [3 2 1] ,
D 0
s s 2
(s 2)2 0 0 2
1
0 0 0 1
2 1 6
d) G(s) ; A 0 2 1 , B 0 , C [2 1 6] ,
D 0
s 1 s 2
(s 2)2
0 0 2 1
0 0 0 1
2 2
e) G(s) ; A 0 0 1 , B 0 , C [2 2 0],
D 0
s
s2 2s 2
0 2 2 0
0 0 0 1
1 4s 8
f) G(s) ; A 0 0 1 , B 0 , C [2 8 4],
D 0
s
s2 2s 5
0 5 2 0
0 0 0 1
2 3s 18
g) G(s) ; A 0 0 1 , B 0 , C [2 18 3] , D 0
s
s2 4s 5
0 5 4 0
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 22
Teoria sterowania Równania dynamiczne
0 0 0 1
5 3s 12
h) G(s) ; A 0 0 1 , B 0 , C [2 12 3] ,
D 0
s
s2 4s 8
0 8 4 0
C6.
24
a) G(s) ;
s(s 1)(s 3)
2(s 5)
b) G(s) ;
s(s 1)(s 2)
(s 3)(s 4)
c) G(s) ;
s(s 2)(s 2)
s(s 1)
d) G(s) ;
(s 1)(s 2)(s 2)
2(s 1)(s 2)
e) G(s)
s(s2 2s 2)
5(s 1)(s 1)
f) G(s)
s(s2 2s 5)
2
5(s 2s 2)
g) G(s)
2
s(s 4s 5)
2
5(s 4s 5)
h) G(s)
2
s(s 4s 8)
Literatura
Dorf R.C., Bishop R.H. Modern Control Systems. Addison-Wesley Longman, 1998.
Hostetter, C.J. Savant, R.T. Stefani R.T. Design of Feedback Control Systems, Saunders College
Publishing, 1989.
Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 23