METODY OBLICZENIOWE
Równania różniczkowe zwyczajne
Ścisłe rozwiązywanie równań i układów równań różniczkowych zwyczajnych
dsolve (równania_ warunki, funkcje)
Przybliżone rozwiązywanie równań i układów równań różniczkowych zwyczajnych
dsolve (równania_ warunki, funkcje, opcje)
Oznaczenia:
równania_ warunki  zbiór lub lista równań i warunków początkowych lub brzegowych.
Uwaga: Warunki na pochodne podaje siÄ™ za pomocÄ… operatora D np. D(y)(0)=1.
funkcje  zbiór lub lista funkcji, ze względu na które rozwiązujemy równania, np.
{y(x),z(x)}.
opcje: series  przybliżone rozwiązanie zagadnienia początkowego w formie szeregu
potęgowego.
numeric  numeryczne rozwiÄ…zanie zagadnienia poczÄ…tkowego lub brzegowego.
Uwaga: W przypadku użycia opcji numeric jest możliwość wyboru metody rozwią-
zania poprzez podanie kolejnego parametru: method = nazwa_metody.
Inaczej do rozwiązywania zastaną użyte metody domyślne np. dla zagadnienia
początkowego metoda Rungego-Kutty-Fehlberga 4 rzędu.
W przypadku opcji numeric komenda dsolve zwraca procedurÄ™.
Zadania
1.
2 2 2
a) RozwiÄ…zać równanie różniczkowe a Å" y (x) + bÅ" y (x) + c Å" y(x) = sin(x) , gdzie symbole
a, b, c, oznaczają pewne stałe. Przyjąć następujące warunki początkowe:
2
y(0) = 0, y (0) =1.
b) Przyjmując wartości stałych a = 1, b = 2, c = 100 wyznaczyć rozwiązanie w punkcie
x = 1.
c) Wykreślić rozwiązanie równania w przedziale x "[0,15] dla stałych przyjętych jak w
punkcie b).
2.
2 2 2
a) Znalez
ć ścisłe rozwiązanie równania różniczkowego y (x) + y (x) + y(x) = 0 z
2
warunkami brzegowymi y(0) = 1, y (5) = 0.
b) Sprawdzić czy otrzymane rozwiązanie spełnia warunki brzegowe.
c) Wykreślić otrzymane rozwiązanie w przedziale x "[0,5] .
3.
a) Znalez
ć przybliżone rozwiązanie poniższego układu równań różniczkowych w formie
szeregu potęgowego
2
y (x) =
Å„Å‚ - y(x) + u(x)
ôÅ‚
, y(1) = -1, u(1) = 2
òÅ‚ u(x) y(x)
2
u (x) = -
ôÅ‚
ół x
b) Wykorzystując rozwiązanie uzyskane w punkcie a) wyznaczyć y(2) i u(2).
c) Rozwiązać ponownie zadanie z punktu a) zwiększając dokładność poprzez zmianę
wartości zmiennej systemowej Order na 15 (Order:=15).
4. Znalez
ć numeryczne rozwiązanie zadania z punktu 3a) dla x = 2. Użyć domyślnej metody
stosowanej przez program oraz metody szeregów Taylora (method=taylorseries).
5. Wykreślić rozwiązania otrzymane za pomocą wybranej z metod z zadania 4 w
przedziale x "[1,7]. Wykorzystać komendę odeplot z pakietu plots.