KINEMATYKA
Kinematyka jest działem mechaniki zajmującym się badaniem ruchu ciał bez uwzględniania przyczyn wywołujących ten
ruch. Jej celem jest opis tego ruchu.
Ruchem nazywamy zmianę położenia ciała w odniesieniu do innych ciał zwanych ciałami odniesienia. Mówiąc o ruchu
ciała musimy zawsze pamiętać o ciele odniesienia (układzie odniesienia z nim związanym). Przykładowo: samochód 
Ziemia, Ziemia  Słońce, Słońce (układ słoneczny)  gwiazdy stałe.
Dla różnych ciał odniesienia inny jest ruch. Mówiąc o spoczynku ciała mamy na myśli spoczynek względem określonego
ciała odniesienia.
Z punktu widzenia kinematyki za układ odniesienia możemy przyjąć każde ciało lub układ ciał. W zagadnieniach
technicznych układem odniesienia jest przeważnie Ziemia, traktowana jako układ nieruchomy.
Prof. Edmund Wittbrodt
KINEMATYKA
punktu (materialnego)
bryły sztywnej
z
A(x , y , z )
A A A
y
x
Ruch płaski Ruch przestrzenny
obrotowy postępowy dowolny
y
y
y
przegub
A'
A
O O B'
x
a"
x
B
y x
z
A'
A
dowolny
B'
postępowy
B
x
Podział kinematyki ze względów dydaktycznych
z
A
kulisty
A'
B y
z A
z
x
B'
y
B
y
O
A'
x
x
B'
Prof. Edmund Wittbrodt
Kinematyka punktu
Przez punkt będziemy rozumieli ciało, którego ruch możemy w zupełności opisać ruchem jednego, dowolnie wybranego
punktu tego ciała.
a)
b)
punkt (ruchy
nie możemy traktować
punktów są równe)
jako punktu materialnego
(ruchy punktów są różne)
Przykłady
B
A
ciał modelowanych
B
A
za pomocą: a) punktu, b) bryły
Położenie punktu w trójwymiarowej przestrzeni Euklidesa (E3) opisujemy za pomocą:
1) wektora wodzącego,
2) współrzędnych prostokątnych,
3) współrzędnych naturalnych,
4) współrzędnych biegunowych,
5) innych współrzędnych (np. walcowych).
Prof. Edmund Wittbrodt
Torem punktu nazywamy linię, będącą miejscem geometrycznym chwilowych położeń poruszającego się w przestrzeni
punktu.
Położeniem początkowym punktu nazywamy to miejsce na torze, w którym rozważany punkt znajduje się w chwili t = t0,
gdzie t0 jest chwilą początkową.
Prędkością punktu jest wielkość, będąca miarą zmiany jego położenia w jednostce czasu.
Przyspieszeniem punktu jest wielkość, będąca miarą zmiany jego prędkości w jednostce czasu.
W kinematyce bada się zależności pomiędzy współrzędnymi punktu, zmieniającymi się w czasie, a jego prędkością
i przyspieszeniem.
Prof. Edmund Wittbrodt
Opis ruchu za pomocą wektora wodzącego
Wektorem wodzącym jest wektor o początku w punkcie odniesienia O, a końcu w miejscu, gdzie w danej chwili znajduje
się rozważany punkt. Rozważmy teraz punkt A, którego położenie opisuje wektor wodzący o składowych:
rx = rx (t) , ry = ry (t) , rz = rz (t) , (3.1)
gdzie t jest czasem.
r
Opis ruchu punktu za pomocą wektora wodzącego A
O
Równania (3.1) nazywamy równaniami ruchu (RR). Są one jednocześnie parametrycznymi równaniami toru (PRT).
Wystarczy z równań ruchu wyrugować parametr, którym jest czas t, aby otrzymać równanie toru.
Położenie. Jeżeli początek wektora wodzącego r , opisującego położenie punktu A, przyjmiemy w początku układu
odniesienia, wówczas jego współrzędne są równe:
z
A
Położenie punktu we współrzędnych wektorowych
rx = rx (t) ,
r
rz
ry = ry (t) , (3.2)
y
O
rz = rz (t) ,
rx
a wektor wodzący możemy zapisać
x
ry
r = rx (t)i + ry (t) j + rz (t)k . (3.3)
Prof. Edmund Wittbrodt
A(t)
z
A t = A rx t ,ry t ,rz t
( ) ( ) ( ) ( )
( )
A(t+"t)
Prędkość. Rozważmy teraz dwa położenia punktu A, jedno w chwili t
"r A(t+"t) = A(r (t+"t), r (t+"t), r (t+"t))
x y z
i drugie w chwili t + "t .
r t
( ) vsr
r(t+"t)
y
O
x Prędkość punktu
we współrzędnych wektorowych
Prędkość średnią punktu A wyznaczamy z zależności
"r
vśr = . (3.4)
"t
Wektor vśr ma kierunek i zwrot zgodny z wektorem"r , a jego wartość zależy od przyjętego przedziału czasu "t .
Aby wyznaczyć prędkość chwilową (ścisłą), dla danej chwili czasu t, należy obliczyć granicę z (3.4), przy "t 0
"r dr
&
v = lim = = r . (3.5)
"t0
"t dt
Wektor prędkości v jest zawsze styczny do toru, w punkcie, w którym znajduje się rozważany punkt.
vzk
Podstawiając (3.3) do (3.5) otrzymujemy związek pomiędzy położeniem a prędkością punktu
v
z
&
v = r = vx i + vy j + vzk , (3.5)
vy j
A
gdzie składowe wektora v są równe:
vx i
tor
& & &
vx = rx , vy = ry , vz = rz . (3.7)
y
O
Składowe wektora v są prędkościami punktu w kierunku osi x, y, z.
x
Wektor prędkości punktu
Wartość wektora v liczymy ze wzoru v = vx2 + vy2 + vz2 . (3.8)
Prof. Edmund Wittbrodt
Przyspieszenie. Podobnie jak prędkość średnią, możemy obliczyć średnie przyspieszenie punktu A, które jest zmianą
wektora prędkości w jednostce czasu. Obliczamy je z zależności
"v v (t + "t) - v (t)
aśr = = . (3.9)
"t "t
Zarówno wartość jak i pośrednio kierunek wektora aśr zależy od przyjętego przedziału czasu "t .
Aby obliczyć przyspieszenie chwilowe (ścisłe) dla czasu t przechodzimy z przyspieszeniem średnim (3.9) do granicy, przy
"t 0
"v dv
& &&
a = lim = = = v = r . (3.10)
"t0
"t dt
Podstawiając (3.3) do (3.10) otrzymujemy
&
a = v = axi + ay j + azk , (3.11)
gdzie składowe wektora a liczymy ze wzorów
& && & &&y & &&
ax = vx = rx , ay = vy = r , az = vz = rz , (3.12)
natomiast wartość wektora przyspieszenia
a = ax2 + ay2 + az2 . (3.13)
Należy podkreślić, że wektor przyspieszenia na ogół nie jest styczny do toru.
Prof. Edmund Wittbrodt