Elektromagnetyzm
jedno z czterech podstawowych oddziaływań w przyrodzie
" Elektrostatyka
8.1 Elektrostatyka
" 8.1.1. A
adunek elektryczny
" 8.1.2. Prawo Coulomba
" 8.1.3. Pole elektryczne
" 8.1.4. Natężenie pola
" 8.1.5. Napięcie i potencjał pola
" 8.1.6. Dipol w polu elektrycznym
8.1 A
adunek elektryczny
" elektryzowanie przedmiotów przez pocieranie
(bursztyn - elektron) - elektryczność
" przyciÄ…ganie i odpychanie - dwa rodzaje
elektryczności
" ilościowa ocena - ładunek elektryczny - q
" dodatni (np. szkło) i ujemny (np.ebonit)
" [q] = 1 C (kulomb) = 1 A·s
8.1 Prawo Coulomba
" w 1785 r. Coulomb zmierzył siły pomiędzy ładunkami
na wadze skręceń
q1
q
q1q2
F 2
F
F =
r
r 4Ä„µ0r2
dla ładunków
jednoimiennych
" µ0 = 8,85 ·10-12 C2/Nm - staÅ‚a dielektryczna próżni
µ
µ
µ
" 1/4Ä„µ0 = 9·109 Nm2 / C2
Ä„µ
Ä„µ
Ä„µ
8.1 Pole elektryczne
" przestrzeń w której w każdym punkcie na ładunki
elektryczne działa siła
" linie sił pola - do nich są styczne siły pola
_
+
F
+
+
pole jednorodne
pole centralne
8.1 Natężenie pola
" zależy tylko od położenia
F
E =
=
=
=
q
" n.p. dla pola centralnego
(tj. od Å‚adunku punktowego):
F Qqr Qr Ć
r - wersor
E = = =
= = =
= = =
= = =
2 2
q 4Ä„µ r q 4Ä„µ r
Ä„µ Ä„µ
Ä„µ Ä„µ
Ä„µ Ä„µ
wektor o kierunku r
0 0
Q
E =
2
4Ä„µ r
0
" [E] = 1 N/C
8.1 Energia w polu elektrycznym
/potencjalna/
Praca w polu elektrycznym
" Praca potrzebna do zbliżenia ładunków jednoimiennych: q2,
poczÄ…tkowo znajdujÄ…cego siÄ™ w spoczynku, do q1 z
nieskończoności na odległość r
q1
q2
+
+
r
r r
q1q2 q1q2 r dr
Ep = W = dr = -
+"FÅ"ds = -+" +"
4Ä„µ0 "
Ep
4Ä„µ0r2 r2
" "
r
q1q2 q1q2
1
Ep = - Å" = = V(r)q2
(- )
4Ä„µ0 4Ä„µ0r
r 0
"
0,2 0,4 0,6 0,8 1
r
Å‚. jednoim.
" V(r) - Potencjał elektryczny w punkcie r
ł. różnoim.
8.1 Potencjał pola; Napięcie
" przeniesieniu ładunku w polu sił od A do
B towarzyszy praca sił zewnętrznych albo
wewnętrznych:
B B B
F
+
+
W = F Å" ds = - qE Å" ds = -q E Å" ds
+" +" +"
A B
A A A
" różnica potencjałów UAB czyli napięcie
jest równe pracy sił zewnętrznych
podzielonej przez wartość przenoszonego
Å‚adunku
U = VB -VA; dla VA = 0 VB = U
AB AB
B
B B
W
U = = - E Å" ds
= = - Å"
= = - Å"
= = - Å"
AB
+" VB = - E Å"ds = - E Å"dscos(E,ds)
+"
+"
+"
+" +"
q
A
" "
" [U] = 1 V(wolt) = 1 J/C potencjał w nieskończoności jest równy zeru
8.1. Potencjał pola; Napięcie, cd.
" potencjał umownie, jest równy zeru
na powierzchni Ziemi (uziemienie)/
" potencjał w polu ładunku punktowego:
E
F ds
+
+
B B
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ Q öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
VB = - Edscos(E,ds) = - =
= - = - =
= - = - =
= - = -
ìÅ‚ ÷Å‚dscos(E,ds) =
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
+" +"íÅ‚4Ä„µ Å‚Å‚
+" +"íÅ‚ Ä„µ Å‚Å‚
+" +"íÅ‚ Ä„µ0r2Å‚Å‚
+" +"íÅ‚ Ä„µ Å‚Å‚
" "
" "
" "
" "
B
B
Q Q 1 Q
ëÅ‚dröÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
= - =
= - =
= - =
= -
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
+"ëÅ‚ öÅ‚ = -4Ä„µ0 -r = 4Ä„µ0rB
+"ìÅ‚ ÷Å‚ = - Ä„µ -
+"ìÅ‚ ÷Å‚ = - Ä„µ -
+"íÅ‚ Å‚Å‚ = - Ä„µ -
( )
( )
( )
( )
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
4Ä„µ0 "íÅ‚ r2Å‚Å‚ Ä„µ
Ä„µ Ä„µ
Ä„µ Ä„µ
Ä„µ
"
"
"
"
"
"
"
8.1. Potencjał pola, napięcie c.d.
" powierzchnie ekwipotencjalne - powierzchnie
o jednakowym potencjale; nie przecinajÄ… siÄ™ ani
nie stykają, linie sił są do nich prostopadłe, zatem
praca wykonana przy przeniesieniu Å‚adunku
po nich jest równa zeru
+
8.1.6. Dipol w polu elektrycznym
" Dipol - dwa jednakowe Å‚adunki o
przeciwnych znakach /i stałej odległości/
" w polu jednorodnym:
L
+
-
q
F
q
+
Ć
Ć
Ć
Ć
F
-
L L
M = FsinÕ + FsinÕ = LFsinÕ = LqEsinÕ
Õ Õ Õ Õ
Õ Õ Õ Õ
Õ Õ Õ Õ
2 2
( ) ( )- elektryczn y moment dipolowy
M = qL × E; qL
8.1b. Elektrostatyka cd.
" 8.1.7. Prawo Gaussa
" 8.1.8. Przewodnik izolowany
" 8.1.9. Pojemność elektryczna. Kondensator
" 8.1.10. Dielektryki
" 8.1.11. Potencjalna energia elektryczna
" 8.1.12. Energia pola elektrycznego
8.1.b Prawo Gaussa
Strumień pola elektrycznego przez powierzchnię jest
równy całce z natężenia pola po danej powierzchni
1777 - 1855
E
ÅšE = Å"
Åš = Å"
Åš = Å"
Åš =
+"EÅ"dS
+"
+"
+"
S
S
dS
dS
E
8.1.b Prawo Gaussa, c.d.
" Prawo Gaussa:
Strumień pola elektrycznego przez dowolną
powierzchnię zamkniętą jest równy całkowitemu
wypadkowemu ładunkowi objętemu wewnątrz
tej powierzchni
µ0Åš = q
µ ÅšE
µ Åš
µ Åš
µ0 E Å" dS = q
µ
µ
µ
+"
S
8.1.b. Prawo Gaussa. Przykład
" powierzchnia walcowa
dS
a b
wektor powierzchni
dS
dS
jest skierowany na
zewnÄ…trz
c
µ E Å" dS = q
µ Å"
µ Å"
µ Å"
0
+"
+"
+"
+"
S
" prawo Coulomba wynika
E Å" dS + E Å" dS + E Å" dS = 0
Å" + Å" + Å" =
Å" + Å" + Å" =
Å" + Å" + Å" =
z prawa Gaussa
+" +" +"
+" +" +"
+" +" +"
+" +" +"
a b c
- ES + 0 + ES = 0
- + + =
- + + =
- + + =
8.1.9. Pojemność elektryczna
Kondensator
" własność przewodnika lub układu przewodników
" przewodnik:
q
C =
=
=
=
V - potencjał na powierzchni V
q
" układ dwu przewodników - kondensator:
C =
=
=
=
U
U - napięcie pomiędzy przewodnikami
" [C] = 1 F (farad) = 1 C/V
8.1.b Pojemność elektryczna.
/przykład/
" pojemność kuli o promieniu R
- potencjał na powierzchni
V
naładowanej kuli
Q
+Q
V =
r
4Ä„µ R
Ä„µ
Ä„µ
Ä„µ
0
q Q
C = = = 4Ä„µ R
Ä„µ
Ä„µ
Ä„µ
0
V Q 4Ä„µ R
Ä„µ
Ä„µ
Ä„µ
0
8.1.b. Kondensator płaski
" jednakowe różnoimienne ładunki Q na obu
przewodnikach; napięcie - U
" powierzchnia płytek - S, odległość - d
+ +
-
W
+
U
U = = - E Å" ds = - Eds cos( E , ds )
+" +"
-
+
q
- -
-
+
+
-
Q
+
U = E ds = Ed = d
+"
ds E -
+
µ S
µ
µ
µ
0
-
-
+
Q Q µ S
µ
µ
µ
+ -
0
C = = =
+
-
U Qd µ S d
µ
µ
µ
0
d
8.1.b Dielektryki
" Umieszczenie w kondensatorze izolatora
(dielektryka) powoduje wzrost pojemności
" dielektryki: polarne i zwykłe
 drobiny dielektryka polarnego mają trwały
µ C
µ
µ
µ
µr
µ
µ
elektryczny moment dipolowy, n.p. H2O µ = =
µ0 C0
µ
µ
µ
 zwykłe - moment indukowany polem
zewnętrznym:
-
+ -
-
+ + -
+
-
+ -
+ - E E
+
- - -+ + -
- - -+ + + -
-
+
+
+ -
+
+ -
-
- +
+ - -
-+ + + -
+ -
+
-
-
+
+
- + +
+
+ -
- + +
+ + -
+
- + -
-
-
-+-
- -
+
+ + -
+ + E0 -
-
-
-
+ +
+
+
+
+
+ -
-+ -
- -+ - -
+
-
E0=0
E0
8.1.b Dielektryki, c.d.
" rozsunięcie ładunków w indukowanych dipolach oraz
zgromadzenie się nadmiaru ładunków jednego znaku na
powierzchniach dielektryka wytwarza wewnÄ…trz niego
dodatkowe pole E , przeciwne do pola zewnętrznego E0
" µr dla różnych materiałów:
µ
µ
µ
porcelana - 6,5; woda - 78; Ti2O - 100
U0 E0
" prawo Gaussa w ośrodku
µr = =
µ = =
µ = =
µ = =
dielektrycznym:
U E
µ µ E Å" dS = q
µ µ Å"
µ µ Å"
µ µ Å"
+"
0+" r
+"
+"
S
8.1 Energia pola elektrycznego kondensatora
" naładowany kondensator także ma energię
potencjalnÄ… - praca potrzebna do przeniesienia
ładunku z jednej okładki na drugą
" q (t) - Å‚adunek przeniesiony do chwili t
" U(t) = q (t)/C - napięcie w chwili t
q'(t)
= =
= =
= =
= =
dW U (t)dq' dq'
C
q
q q
2
q'(t) 1 1 q2 = U2C Uq
= = = Å" = = = =
= = = Å" = = =
= = = Å" = = = =
= =
W dq'
+" +"q'(t)dq' =C Å"q' = 2C = 2 = 2 = Ep
+" +"
+" +"
+" +"
C C 2
0 0
0
8.1.b Energia pola elektrycznego, c.d.
" energia ta jest zwiÄ…zana z polem wewnÄ…trz
kondensatora
" można obliczyć energię przypadającą na jednostkę
objętości tego pola - gęstość energii
2
Ep U 2C 1
U µ0µrS µ0µr E2
µ µ µ µ
µ µ µ µ
µ µ µ µ
ep = = Å" = Å" =
V 2 Sd 2Sd d 2
" wyrażenie ważne dla każdego pola elektrycznego
8.1.8. Przewodnik izolowany
" Å‚adunek umieszczony na izolowanym przewodniku
rozkłada się na jego zewnętrznej powierzchni
" Å‚adunki jednoimienne odpychajÄ… siÄ™,
" zajmujÄ… miejsca najodleglejsze
jedwabna
powierzchnia
nić
Gaussa
+
+
od siebie +
+
+
+ +
+
µ
" pr. Gaussa: µ E Å" dS = 0
µ
µ
+
0
+"
+
+
+
S
+
+
E = 0
+
+
+
+
E = 0
=
=
=
+
+ +
8.1 Natężenie pola, c.d.
" dla ciągłego rozkładu ładunku całkujemy:
" po krzywej l, powierzchni S, objętości V
ds
+
+
Q
+
Ć Ć
dqr 1 dqr
a +
+
r dE = ;E =
+
+"
4Ä„µ0 l ,S,V
4Ä„µ0r2 r2
+
+
¸
¸
¸
¸
P
+
+
x
+
+
+
dE
1 2dq
dEx = 2dE cos¸; E = cos¸ =
= ¸ = ¸ =
= ¸ = ¸ =
= ¸ = ¸ =
+"
+"
+"
+"
L/2
4Ä„µ
Ä„µ
Ä„µ
Ä„µ
r2
0
1 2Qds x
=
=
=
=
+"
+"
+"
+"
L/2
4Ä„µ
Ä„µ
Ä„µ
Ä„µ
2Ä„a a2 + x2
Ä„ +
Ä„ +
Ä„ +
a2 + x2
+
+
+
0
( )
( )
( )
( )
Qx Qx
= ds =
= =
= =
= =
+"
+"
+"
+"
3/2 3/2
L/2
2
4Ä„ µ a a2 + x2 4Ä„µ a2 + x2
Ä„ µ + Ä„µ +
Ä„ µ + Ä„µ +
Ä„ µ + Ä„µ +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0