Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 12  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
Całki niewłaściwe
b
Definiując całkę Riemanna f (x)dx przyjmowaliśmy dwa fundamentalne założenia
+"
a
" przedział [a,b] jest ograniczony
" funkcja f :[a,b] R jest ograniczona
Naruszenie któregokolwiek z tych założeń powoduje, że nie możemy zdefiniować całki Riemanna.
W tej sytuacji zdefiniujemy tzw. całki niewłaściwe
I . Całki o granicach nieskończonych
Załóżmy
" f :[a, ") R
" "Ae"a f" R[a,A] ( stąd wynika , że f jest ograniczona na [a,A]
Def. Całką funkcji f w granicach [a, ") nazywamy granicę (skończoną lub nie)
A "
lim f (x)dx = f (x)dx . Jeżeli powyższa granica istnieje i jest skończona, to mówimy, że
+" +"
A"
a a
" "
f (x)dx jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest nieskończona lub nie istnieje to f (x)dx jest
+" +"
a a
rozbieżna.
a a
Analogicznie definiujemy f (x)dx = lim f (x)dx
+" +"
A-"
-" A
+" a "
Def. Mówimy, że f (x)dx jest zbieżna jeżeli istnieją skończone całki: f (x)dx i f (x)dx ;
+" +" +"
-" -" a
+" df a "
=
wtedy f (x)dx f (x)dx + f (x)dx .
+" +" +"
-" -" a
Uwaga. Wartość całki nie zależy od wyboru punktu a.
"
zbieżna dla ą > 1
ńł
dx
Przykład. =�ł
+"
xą
ółrozbieżna dla ą d" 1
1
Zbieżność całki funkcji nieujemnej
" f :[a, ") R , f e" 0
" "Ae"a f " R[a, A]
A
F(A) = f (x)dx - funkcja niemalejąca (bo f e" 0 )
+"
a
Wobec tego zawsze istnieje granica lim F(A) (skończona lub nie). Granica ta jest skończona wtedy i
A"
tylko wtedy, gdy funkcja F(A) jest ograniczona. Mamy wobec tego
1
Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 12  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
Tw. (kryterium zbieżności)
" A
Jeżeli f e" 0 , to f (x)dx - jest zbieżna �! "M "A>a f (x)dx d" M
+" +"
a a
To ogólne kryterium pozwala wyprowadzić dwa kryteria porównawcze.
Tw. (I kryterium porównawcze)
Niech 0 d" f (x) d" g(x) . Wówczas:
" "
" g(x)dx - zbieżna �! f (x)dx - zbieżna,
+" +"
a a
" "
" f (x)dx - rozbieżna �! g(x)dx - rozbieżna.
+" +"
a a
g
f
a
Uwaga. W powyższym kryterium wystarczy że nierówności 0 d" f (x) d" g(x) są prawdziwe
począwszy od pewnego A>a czyli dla xe"A>a.
Tw. (II kryterium porównawcze -asymptotyczne)
f (x)
Załóżmy, że istnieje lim = K (skończona lub nie). Wówczas:
x"
g(x)
" "
" K < " ; g(x)dx - zbieżna �! f (x)dx - zbieżna,
+" +"
a a
" "
" K > 0 ; g(x)dx - rozbieżna �! f (x)dx - rozbieżna,
+" +"
a a
" "
" 0 < K < " ; f (x)dx i g(x)dx są obie zbieżne albo obie rozbieżne.
+" +"
a a
ex
" "
x(ex -1)
ex ex 1
Przykład. Całka dx jest rozbieżna, bo lim = lim = 1 i dx jest rozbieżna.
x
+" -1) 1 ex -1
+"
x(ex
x" x"
5 x 5
Zbieżność całki funkcji dowolnego znaku
"
Rezygnujemy z założenia f e" 0 . Zagadnienie istnienia całki f (x)dx sprowadza się zgodnie z
+"
a
A
definicją do zagadnienia istnienia skończonej granicy funkcji F(A) = f (x)dx , gdy A".
+"
a
Istnienie skończonej granicy funkcji sprowadza się do istnienia skończonej granicy ciągu wartości
funkcji dla każdego rozbieżnego do +" ciągu argumentów. Z kolei istnienie granicy ciągu liczbowego
jest równoważne spełnieniu przez ten ciąg warunku Cauchy'ego. Wobec tego mamy więc następujące
2
Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 12  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
Tw. Kryterium zbieżności:
"
2
A
f (x)dx - jest zbieżna �! "� >0"M "A,A2 e"M f (x)dx d" �
+"
+"
A
a
b b
Z nierówności f (x)dx d" f (x) dx i powyższego kryterium stwierdzamy, że jeżeli całka
+" +"
a a
" "
f (x) dx - jest zbieżna , to całka f (x)dx - jest zbieżna ale nie na odwrót!
+" +"
a a
" "
Jeżeli f (x) dx - jest zbieżna, to f (x)dx nazywamy bezwzględnie zbieżną.
+" +"
a a
" "
Tw. f (x)dx - jest bezwzględnie zbieżna�! f (x)dx - jest zbieżna.
+" +"
a a
" " "
Jeżeli f (x)dx - jest zbieżna, a f (x) dx - rozbieżna, to f (x)dx nazywamy warunkowo zbieżną.
+" +" +"
a a a
"
sin x
Ą
Przykład. dx - jest zbieżna (do ) natomiast nie jest bezwzględnie zbieżna.
+" 2
x
0
II Całka niewłaściwa funkcji nieograniczonej
Niech
" f :[a,b] R , 0 < a < b < "
" "c"[a,b) f" R[a,c]
" "c"[a,b) f jest nieograniczona na [c,b] , czyli b jest jedynym punktem osobliwym.
Np.:
1
ńł
x "< 0;1)
f (x) =�ł 1- x2
�ł
�ł0
x = 1
ół
Uwaga: Wartość funkcji w punkcie osobliwym jest nieistotna, tzn. nie ma wpływu na ewentualną
wartość całki, bo zmiana wartości funkcji podcałkowej w skończonej ilości punktów nie wpływa na
wartość całej całki.
3
Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 12  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
c
Def. Jeżeli istnieje granica (skończona lub nie) lim f (x)dx to tę granice nazywamy całką
+"
cb-
a
b
niewłaściwą funkcji f na [a,b] i oznaczamy f (x)dx . Jeżeli powyższa granica jest skończona
+"
a
to mówimy, że całka jest zbieżna, a funkcję f nazywamy całkowalną na [a,b] . Jeżeli granica ta
jest niewłaściwa nie istnieje to całkę nazywamy rozbieżną.
b
Podobnie definiujemy całkę f (x)dx , gdy jedynym punktem osobliwym jest a
+"
a
b b
f (x)dx = lim f (x)dx
+" +"
ca+
a c
Def. Jeżeli a i b są jedynymi osobliwymi punktami to wybieramy dowolny punkt c " (a,b) i
b c b
przyjmujemy, ze z definicji f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx , o ile obie całki po prawej stronie
+" +" +"
a a c
istnieją i są skończone.
Uwaga: Wynik nie zależy od wyboru punktu c.
Jeżeli [a,b] zawiera n +1 punktów osobliwych a = x0 < x1 < ... < xn = b , to mówimy, że funkcja f
xk
jest całkowalna na [a,b] jeżeli istnieją skończone całki f (x)dx , k = 1,2,..., n . Wówczas
+"
xk -1
xk
b
n
"
+"f (x)dx = +"f (x)dx .
k =1
a xk -1
4
Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 12  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
1
zbieżna dla ą < 1
ńł
dx
Przykład. =�ł
+"
xą
ółrozbieżna dla ą e" 1
0
" b
Podobnie jak w przypadku całki f (x)dx można sformułować kryteria zbieżności dla całki f (x)dx ,
+" +"
a a
gdy b jest jedynym punktem osobliwym funkcji f.
Zbieżność całki z funkcji nieujemnej
c
Jeżeli funkcja f jest nieujemna, to F(c) = f (x)dx jest niemalejącą funkcją, więc skończona
+"
a
granica lim F(c) istnieje , gdy F(c) jest ograniczona.
cb-
Tw. Kryterium zbieżności
b c
Jeżeli f e" 0 , to f (x)dx - jest zbieżna �! "M "c"+" +"
a a
Otrzymujemy stąd dwa kryteria porównawcze:
Tw. (I kryterium porównawcze)
Niech 0 d" f (x) d" g(x) , x "< a,b) . Wówczas:
b b
" g(x)dx - zbieżna �! f (x)dx - zbieżna,
+" +"
a a
b b
" f (x)dx - rozbieżna �! g(x)dx - rozbieżna.
+" +"
a a
P(g) > P( f ) [pole]
Tw. (II kryterium porównawcze - asymptotyczne)
f (x)
Załóżmy, że istnieje lim = K (skończona lub nie). Wówczas:
xb- g(x)
b b
" K < " ; g(x)dx - zbieżna �! f (x)dx - zbieżna,
+" +"
a a
b b
" K > 0 ; g(x)dx - rozbieżna �! f (x)dx - rozbieżna,
+" +"
a a
b b
" 0 < K < " ; g(x)dx i f (x)dx są obie zbieżne albo obie rozbieżne.
+" +"
a a
5
Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 12  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
Zbieżność całki z funkcji dowolnego znaku
" b
Podobnie jak w przypadku całki f (x)dx dla całki f (x)dx funkcji której jedynym punktem
+" +"
a a
osobliwym jest punkt b mamy następujące
Tw. Kryterium zbieżności:
2
b A
f (x)dx - jest zbieżna �! "� >0"� "b-� d" A,A2 +" +"
a A
b b
Def. Całkę f (x)dx nazywamy bezwzględnie zbieżną gdy f (x) dx - zbieżna
+" +"
a a
b b
i warunkowo zbieżną gdy f (x)dx - zbieżna, ale f (x) dx - rozbieżna.
+" +"
a a
b b
Tw. f (x)dx - jest bezwzględnie zbieżna�! f (x)dx - jest zbieżna.
+" +"
a a
Uwagi o innych całkach. (wartość główna w sensie Cauchy ego)
" M
(vp) f (x)dx = lim f (x)dx
+" +"
M "
-" -M
M +"
1. lim f (x)dx - istnieje f (x)dx - istnieje
+" +"
M "
-M -"
b c-� b
2. c "(a,b) jest jedynym punktem osobliwym (vp) f (x)dx = lim{ f (x)dx + f (x)dx}
+" +" +"
� 0+
a a c+�
b b
(vp) f (x)dx - istnieje f (x)dx - istnieje
+" +"
a a
6
Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 12  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
Funkcja �
� Eulera jest dla x > 0 definiowana wzorem
�
�
"
x-1
" �(x) = e-t dt .
+"t
0
" 1 "
x-1 x-1 x-1
Rozbijając całkę niewłaściwą na sumę całek e-tdt = e-tdt + e-tdt można
+"t +"t +"t
0 0 1
pokazać, że całka niewłaściwa z definicji funkcji � jest zbieżna. Rzeczywiście dla
1
1
x-1 x-1 x-1
t " (0,1] i dowolnego x > 0 mamy 0 d" t e-t d" t i dt = < " , natomiast dla
+"t
x
0
t "[1,") i dowolnego x > 0 prawdziwe jest oszacowanie
"
t[ x] t[ x] ([x] + 2)! ([x] + 2)!
x-1
0 d" t e-t d" d" = i dt = ([x] + 2)!
x ]+ 2
2 +" 2
et ([t[ t t
1
x]+2)!
Z definicji widać , że
" �(1) = 1
Całkując przez części łatwo pokazać , że
" �(x +1) = x�(x)
Stąd �(n +1) = n!
Ponadto wykorzystując całkę podwójną pokażemy, że
" �(1) = Ą
2
�HxL
40
30
20
10
x
1 2 3 4 5 6
7