CAA
KA NIEWA
AŚCIWA
Definicja Punkt c " a, b jest punktem osobliwym funkcji f(x) jeżeli:
1. c = " lub c = -"
albo
2. limxc f(x) lub limxc- f(x) nie jest właściwa.
+
Definicja całki niewłaściwej.

" B
f(x)dx =def lim f(x)dx
B"
a a

b b
f(x)dx =def lim f(x)dx
A-"
" A

b b
f(x)dx =def lim f(x)dx gdy a jest punktem osobliwym
0+
a a+

b b-
f(x)dx =def lim f(x)dx gdy b jest punktem osobliwym
0+
a a

" c "
f(x)dx =def f(x)dx + f(x)dx gdzie c nie jest punktem osobliwym
-" -" c
Mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna, gdy odpowiadająca jej granica jest właścwa.
Mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna, gdy odpowiadająca jej granica jest niewłaścwa lub nie istnieje.
Zad 1
Zbadać zbieżność całek:
Ą
" e 1
2
dx dx dx sin xdx
a) " b) " c) " d) "
x(x + 1) x cos x
x ln x
1 1 0 0

1 " 1
dx exdx dx
e) " f) g)
3x - 5 1 + e2x x2 - 1
-" -" -1
Zad 2
Obliczyć pole obszaru zawartego między krzywymi:
a) y = 0, y = x-2 dla x 1
b) y = ex, y = e-x, y = 0
1
c) y = i jej asymptotą
x2+1
1
"
d) y = 0, y =
x(1+ x)
1
e) y = , y = 0 w II ćwiartce układu współrzędnych
2+e-x
Zad 3
1
Dana jest funkcja f(x) = x " 0, ")
1+ex
a) Znalez
ć pole obszaru ograniczonego osiami układu i krzywą y = f(x)
b) Znalez
ć objętość bryły powstałej z obrotu krzywej y = f(x) wokół osi OX.
Zad 4
Zlalez
ć objętość bryły powstałej z obrotu krzywej y = f(x) wokół osi OX
1
"
a) f(x) = , x " R
x2+1
" 2
b) f(x) = x2 xe-x , x 0.
mgr Dorota Grott SNM PG