5.6. Całki niewłaściwe
Funkcja górnej granicy całkowania
Definicja
Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziale [a, b] oraz c " [a, b].
x
Funkcję F(x) = f (t)dt , gdzie x " [a, b] nazywamy funkcją górnej granicy całkowania.
+"
c
Rysunek przedstawia interpretację geometryczną całki górnej granicy całkowania.
Twierdzenie
Je\
eli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] oraz ciągła w punkcie x0 tego
x
przedziału, to dla ustalonego punktu c" [a, b] funkcja F(x) = f (t)dt , gdzie x " [a, b] ma
+"
c
pochodną w punkcie x0 oraz F (x0) = f(x0) (czyli pochodna górnej granicy całkowania jest
funkcją podcałkową).
Całki w przedziale nieskończonym
Definicja
Zakładamy, \
e f jest funkcją ciągłą ograniczoną w przedziale nieograniczonym. Jest ona
równie\
całkowalna w ka\
dym przedziale skończonym [a, n] , gdzie a jest daną liczbą, n 
dowolną liczbą.
Całką niewłaściwą funkcji w przedziale [a, "
") nazywamy granicę (skończoną)
"
"
A " A
f (x)dx , gdy A " (a, ") i zapisujemy ją następująco f (x)dx = f (x)dx .
lim +" lim
+" +"
A " A "
a a a
Definicje
Zakładamy, \
e f jest funkcją ciągłą ograniczoną w przedziale nieograniczonym. Jest ona
równie\
całkowalna w ka\
dym przedziale skończonym [n , b ] , gdzie b jest daną liczbą, n 
dowolną liczbą.
Całkę niewłaściwą funkcji w przedziale ( -"
", b] nazywamy granicę (skończoną)
"
"
b b
b
f (x)dx , gdy B " ( -", b). Zapisujemy f (x)dx = f (x)dx.
lim +"
+" lim
+"
B- "
B B-"
-" B
Całkę niewłaściwą funkcji w przedziale ( -" ") nazywamy sumę granic (skończonych)
", "
" "
" "
" a �
f (x)dx = lim f (x)dx + lim f (x)dx .
+" +" +"
� -" � "
-" � a
Je\
eli granica definiująca całkę niewłaściwą istnieje i jest skończona, to mówimy, \
e
całka niewłaściwa jest zbie\
na. W przypadku przeciwnym całkę niewłaściwą nazywamy
rozbie\
ną.
Przykład 1.
"
1
Zbadaj zbie\
ność całki dx .
+"
x2
1
Mamy:
" A
1 1 A
dx = dx = [- x-1] = [- A-1 +1]= 1
1
+" lim lim lim
+"
x2 A" 1 x2 A"
A"
1
Zatem całka ta jest zbie\
na i jej wartość wynosi 1.
Przykład 2.
0
Zbadaj zbie\
ność całki exdx .
+"
-"
 Mamy:
0 0
exdx = exdx =
+" lim lim(1- eB ) = 1, więi całka jest zbie\
na i jej wartość wynosi 1.
+"
B-" B-"
-" B
Przykład 3.
Rysunek przedstawia obszar D, którego brzegiem
jest prosta o równaniu y = 0 oraz krzywa o
2x
równaniu y = .
x4 +1
+"
| 2x |
Pole |D| tego obszaru jest równe |D| = dx .
+"
x4 +1
-"
+" 0 +"
| 2x | 2x 2x
|D| = dx = - dx + dx
+" +" +"
x4 +1 x4 +1 x4 +1
-" -" 0
2x
Obliczamy całkę dx przez podstawienie x2 = t;
+"
x4 +1
mamy dt = 2x dx.
2x dt
Zatem dx = = arc tg t = arc tg(x2)
+" +" 2
x4 +1 t +1
Obliczamy całki:
0 0
2x 2x 0 Ą
dx = dx = [arctg(x2 )] = - ,
B
+" lim lim
+"
2
x4 +1 x4 +1
B-" B-"
-" B
" A
2x 2x A Ą
dx = dx = [arctg(x2 )] = ,
0
+" lim lim
+"
2
x4 +1 x4 +1
A" A"
0 0
Ą Ą
Ostatecznie |D| = - ( - ) + = Ą.
2 2
Zadania do samodzielnego rozwiązywania
Zadanie 1.
Zbadaj zbie\
ność (istnienie granicy, która jest liczbą rzeczywistą) całki niewłaściwej:
" -1 " "
3 2
-4 -x
a) dx , b) dx , c) dx , d) dx .
+" +" +"x +"e
x3 x2
2 -" 3 5
Zadanie 2.
Zbadaj zbie\
ność (istnienie granicy, która jest liczbą rzeczywistą) całki niewłaściwej:
" 1 0
2x dx dx
a) dx , b) dx , c)
+" +" +"1+ (x +1)2 dx ,
4 + x2
52 - 3x
0 -" -"
" " "
1 1
-2 x
d) dx , e) dx , f) dx .
+" +" +"e
x2 + 9 x2 - 4x + 5
-" -" -"
Odpowiedzi:
3
Zad. 1.: a) ; b) 2; c) 9-2 ; d) e-5 .
8
3Ą
Zad. 2.: a) ", rozbie\
na , b) ", rozbie\
na, c) ,
4
Ą
d) , e) " , rozbie\
na, f) ", rozbie\
na.
3