Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ Całki niewłaściwe. 1
Chemia - Zestaw 9. Całki niewłaściwe.
" Całka niewłaściwa funkcji f(x) na przedziale nieskończonym:
+"
B
ć% na przedziale a, +") : f(x) dx = lim f(x) dx
B+"
a a
b b
ć% na przedziale (-", b : f(x) dx = lim f(x) dx
A-"
-"
A
+"
" d
ć% na przedziale (-", +") : f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx
-" -"
d
(gdzie d może być wybrane dowolnie, np. d = 0)
0 B
= (na mocy poprzednich definicji, gdzie przyjęto d = 0) = lim f(x) dx + lim f(x) dx
A-" B+"
A 0
" Całka niewłaściwa funkcji f(x) nieograniczonej w sąsiedztwie pewnego punktu c " a, b :
b b b
ć% c = a �! f(x) dx = lim f(x) dx = lim f(x) dx
�0+ a1a+
a a+� a1
b-�
b b1
ć% c = b �! f(x) dx = lim f(x) dx = lim f(x) dx
�0+ b1b-
a a a
b c b
ć% c " (a, b) �! f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx
a a c
= (na mocy poprzednich definicji, gdy funkcja jest nieograniczona w lewo- i prawostronnym sąsiedztwie)
c-�
c1 b
b
= lim f(x) dx + lim f(x) dx = lim f(x) dx + lim f(x) dx;
�0+ �0+ c1c- c2c+
c+�
a a c2
jeżeli funkcja f jest nieograniczona tylko w lewo- albo tylko w prawostronnym sąsiedztwie punktu
c, to odpowiednią całkę niewłaściwą (drugi albo odpowiednio pierwszy składnik w sumie) można
zastąpić całką zwykłą, tzn.  właściwą .
ć% Osobliwości w obu punktach a i b:�!
b d b
f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx (gdzie d wybrane dowolnie, tak aby a < d < b)
a a
d
= (na mocy poprzednich definicji)
d
b-�
= lim f(x) dx + lim f(x) dx
�0+ �0+
d
a+�
d
b1
= lim f(x) dx + lim f(x) dx
a1a+
b1b-
d
a1
ć% Ogólnie - jeżeli w całce niewłaściwej występuje więcej niż jedna osobliwość (licząc punkty, w przy-
najmniej jednostronnym sąsiedztwie których funkcja jest nieograniczona i/lub jedną lub dwie nie-
skończone granice całkowania), to całka ta jest, z definicji, sumą całek niewłaściwych takich, że w
Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ Całki niewłaściwe. 2
każdej z nich występuje tylko jedna osobliwość, tzn. nieograniczoność funkcji w jednostronnym są-
siedztwie danego punktu lub jedna nieskończona granica całkowania. (Podział punktami pośrednimi,
tzn. rozdzielającymi osobliwości, można tu wybrać dowolnie.) Np. jeżeli a jest skończone, a < c i
funkcja f jest nieograniczona zarówno w lewostronnym, jak i prawostronnym sąsiedztwie punktu c (i
+"

poza punktem c nie ma innych osobliwości w przedziale a, +")), to całka f(x) dx jest z definicji
a
sumą trzech całek niewłaściwych o granicach odpowiednio od a do c, od c do d i od d do +", gdzie
d jest punktem wybranym dowolnie tak, aby a < c < d < +".
1. Zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych i obliczyć je, o ile są zbieżne:
" " 2
1 1 1
a) dx b) dx c) dx
x2 + x - 2 x2 + 2x + 2 (x - 1)2/3
2 -" -1
0 " "
arc tg x x ln x
d) xex dx e) dx f) dx
(x2 + 1)3/2 (1 + x2)2
-" 0 1
1 1 "
x ln x x + 1 dx
g) dx h) dx i) dx
(1 + x2)2 x(x2 + 1)
sin2 x
0 0 1
Uwaga. Polecenie zadania jest nieco przewrotne, ponieważ tak naprawdę w trakcie bieżącego wykładu i ćwiczeń
nie podaje się żadnych kryteriów które pozwoliłyby zbadać zbieżność całki niewłaściwej bez jej obliczenia z
definicji jako pewnej granicy. (Kryteria takie istnieją, pozwalają niekiedy rozstrzygnąć zbieżność lub rozbieżność
danej całki mimo że nie da się ona (przynajmniej bezpośrednio, przez znalezienie funkcji pierwotnej) obliczyć.)
Z drugiej strony, jeżeli w poleceniu nie jest wyraz
nie podane, że chodzi o całkę niewłaściwą, to grozi to błędnym
1
1
potraktowaniem jej jako zwykłej,  właściwej , np.  Obliczyć całkę dx : całka ta jest niewłaściwa i rozbieżna
x
-1
(osobliwość, z obu stron, w zerze!!), natomiast błędne potraktowanie jej jako całki zwykłej, właściwej prowadzi
do (w istocie bezsensownego) wyniku, że całka ta jest równa zeru.
2. Policzyć, że dla a < b całka niewłaściwa
b
dx

(x - a)(b - x)
a
jest równa Ą.
Wskazówka. Przy liczeniu najwygodniej jest rozbić na
a+b
2 b
dx dx
+ ;
(x - a)(b - x) (x - a)(b - x)
a+b
a
2
z symetrii wynika że wystarczy obliczyć jedną z tych całek, wartość drugiej jest taka sama  obie są równe Ą/2.
Wyrażenie podpierwiastkowe -x2 + (a + b)x - ab można sprowadzić do postaci
2 2 2 2
b - a a + b b - a 2 a + b
- x - = 1 - x - ,
2 2 2 b - a 2
więc całka nieoznaczona wyraża się przez arcus sinus. Można również zastosować bezpośrednio trzecie podsta-

wienie Eulera (x - a)(b - x) = t(x - a).