Wykład dwunasty
Pochodne czÄ…stkowe
ZaÅ‚. n 2 , f : D R , D ‚" Rn, i  ustalona liczba naturalna, 1 i n. Wybieramy punkt
P0 , P " D, przy czym tylko i  te współrzędne tych punktów są różne.
"f
Def. Pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej xi w punkcie P0 (ozn. |P ) nazywamy
0
"xi
wartość granicy właściwej
"f df f(P ) - f(P0)
=
|P lim
0
"xi0
"xi "xi
"f "f
Dla n = 2 można więc określić dwie pochodne cząstkowe: |P oraz |P .
0 0
"x "y
Niech P0(x0, y0). Wówczas
"f f(x0 + "x, y0) - f(x0, y0) "f f(x0, y0 + "y) - f(x0, y0)
|(x ,y0) = lim i |(x ,y0) = lim
0 0
"x0 "y0
"x "x "y "y
Jeżeli pochodne cząstkowe funkcji f istnieją w każdym punkcie zbioru D, to można mówić o
"f "f
funkcjach pochodnych cząstkowych: oraz - to są funkcje dwóch zmiennych.
"x "y
Uwaga 1. Pochodne cząstkowe funkcji względem różnych zmiennych istnieją niezależnie od sie-
bie.
Uwaga 2. Ciągłość funkcji nie jest WK istnienia pochodnych cząstkowych.
Uwaga 3. Ciągłość funkcji nie jest WW istnienia pochodnych cząstkowych.
Def. Pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji f są to pochodne cząstkowe pochodnych cząst-
"f
kowych , i = 1, . . . , n. Oznaczenia
"xi

"f "f "2f "2f
ozn
=
dla i = j oraz dla i = j.

"xj "xi "xj"xi "x2
j
Podobnie określamy pochodne cząstkowe wyższych rzędów.
Tw.(Schwarza) Jeżeli funkcja f ma w pewnym obszarze D ‚" Rn n 2 ciÄ…gÅ‚e pochodne mie-
"2f "2f
szane drugiego rzędu oraz , to są równe w tym obszarze.
"xj"xi "xi"xj
Cm(D) oznacza zbiór wszystkich funkcji, które na obszarze D mają ciągłe pochodne cząstkowe
do m  tego rzędu włącznie.
Ekstremum funkcji
Niech f : D R , D ‚" Rn , n 1. Niech P0 " D bÄ™dzie punktem wewnÄ™trznym zbioru D.
1
Def. Funkcja f ma w punkcie P0 minimum lokalne (odp. maksimum lokalne), jeśli istnieje
sąsiedztwo S punktu P0 takie, że
"P " S f(P ) f(P ) (odp."P " S f(P ) f(P ))
Jeżeli w definicji jest nierówność ostra, to mówimy o minimum (odp.maksimum) właściwym.
Funkcja f ma w punkcie P0 ekstremum, jeśli ma w tym punkcie minimum lub maksimum.
Uwaga 4. Funkcja f ma w punkcie P0 ekstremum, jeśli w pewnym otoczeniu Q tego punktu
przyrost "f = f(P ) - f(P0) ma stały znak.
Tw.(WK istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f ma w punkcie P0 ekstremum i istnieją pochodne
"f "f
cząstkowe pierwszego rzędu |P0 , i = 1, . . . n, to |P0 = 0 dla każdego i = 1, . . . n.
"xi "xi
"f
Uwaga 5. Ekstremum funkcji f poszukujemy wśród takich punktów P0, że |P0 = 0 dla
"xi
"f
każdego i = 1, . . . n , lub |P0 nie istnieje dla co najmniej jednego i.
"xi
"f
Punkt P0 taki, że |P0 = 0 dla i = 1, . . . n nazywamy punktem stacjonarnym funkcji f.
"xi
Tw. (WW istnienia ekstremum dla n = 2) Jeżeli funkcja f jest klasy C2(Q(x0, y0); r) oraz
"f "f
1. |(x0, y0) = |(x0, y0) = 0,
"x "y


"2f "2f



"x2 "y"x
2. W (x0, y0) = > 0
"2f "2f


"x"y "y2 |(x0,y0)
"2f
to funkcja f ma w punkcie W (x0, y0) ekstremum właściwe: maksimum, jeśli |(x0, y0) < 0;
"x2
"2f
minimum, jeśli |(x0, y0) > 0.
"x2
Uwaga 6. Jeśli spełnione są dwa pierwsze założenia poprzedniego tw., ale W (x0, y0) < 0, to w
punkcie W (x0, y0) funkcja f nie ma ekstremum.
Pochodne funkcji złożonych
Niech D1 ‚" Rm , D2 ‚" Rn n, m " N; oraz okreÅ›lone sÄ… funkcje: x : D1 D2 , f : D2 R.
1. n = m = 1 , f(x(t))  funkcja jednej zmiennej i (f(x(t))) = f (x(t)) · x (t);
2. n 1, m = 1 , f(x1(t), . . . , xn(t))  funkcja jednej zmiennej;
3. n = 1, m 2 , f(x(t1, . . . , tm))  funkcja m zmiennych;
2
4. n 2, m 2 , f(x1(t1, . . . , tm), . . . , xn(t1, . . . , tm))  funkcja m zmiennych.
Tw.1 Jeżeli funkcja f(x1, . . . , xn) jest klasy C1(D2) oraz funkcje x1(t), . . . , xn(t) posiadają w
df
=
przedziale (Ä…; ²) pochodne x (t), . . . , x (t), to funkcja zÅ‚ożona z(t) f(x1(t), . . . , xn(t)) posiada
1 n
pochodnÄ… z (t) w przedziale (Ä…; ²) i zachodzi równość
"f "f
z (t) = · x (t) + · · · + · x (t)
"x1 1 "xn n
Tw.2 (o pochodnych czÄ…stkowych funkcji zÅ‚ożonej) Jeżeli funkcja f(x) jest klasy C1((Ä…; ²)) i
funkcja x(t1, . . . , tm) posiada pochodne cząstkowe I rzędu w obszarze D1, to funkcja złożona
df
=
z(t1, . . . , tm) f(x(t1, . . . , tm)) ma pochodne cząstkowe I rzędu w obszarze D1 i prawdziwe są
wzory
"z "x
= f (x(t1, . . . , tm)) · , i = 1, . . . , m
"ti "ti
Tw.3 (o pochodnych cząstkowych funkcji złożonej) Jeżeli funkcja f(x1, . . . , xn) jest klasy C1(D2)
i funkcje x1(t1, . . . , tm), . . . , xn(t1, . . . , tm) posiadają pochodne cząstkowe I rzędu w obszarze D1,
df
=
to funkcja złożona z(t1, . . . , tm) f(x1(t1, . . . , tm), . . . , xn(t1, . . . , tm)) posiada pochodne cząst-
kowe I rzędu w obszarze D1 i prawdziwe są wzory
"z "f "x1 "f "xn
= · + · · · + · , i = 1, . . . , m
"ti "x1 "ti "xn "ti
3