Wykład dziesiąty
Szeregi liczbowe - c.d.
WW zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych
Uwaga 1. Jeśli (an 0, to ciąg sum (Sn) jest niemalejący. Zatem ciąg sum (Sn) jest zbieżny
wtw gdy jest ograniczony z góry.
Tw.1.(kryterium całkowe zbieżności szeregów liczbowych) Niech m oznacza dowolną liczbę na-
turalną. Jeżeli funkcja f jest nierosnąca i nieujemna na przedziale m; +"), to szereg liczbowy

"
+"

f(n) i całka f(x)dx
m
n=m
są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne.
" "

Tw.2. (kryterium porównawcze) Jeżeli an oraz bn są szeregami o wyrazach nieujemnych
n=1 n=1
oraz an bn dla n > n0, to
" "

1. jeżeli szereg an jest rozbieżny, to rozbieżny jest szereg bn;
n=1 n=1
" "

2. jeżeli szereg bn jest zbieżny, to zbieżny jest szereg an.
n=1 n=1
"

Tw.3. (kryterium d Alemberta) Jeżeli an jest szeregiem o wyrazach dodatnich i istnieje
n=1
an+1
granica lim = g (właściwa lub niewłaściwa), to
n"
an
"

1. jeśli 0 g < 1, to szereg an jest zbieżny;
n=1
"

2. jeśli g > 1, to szereg an jest rozbieżny.
n=1
"

Tw.4. (kryterium Cauchy go) Jeżeli an jest szeregiem o wyrazach nieujemnych i istnieje
n=1
"
n
granica lim an = g (właściwa lub niewłaściwa), to
n"
"

1. jeśli 0 g < 1, to szereg an jest zbieżny;
n=1
"

2. jeśli g > 1, to szereg an jest rozbieżny.
n=1
W obu twierdzeniach jeśli g = 1, to kryterium nie rozstrzyga zbieżności badanego szeregu.
1
Szeregi liczbowe o wyrazach dowolnego znaku
"

Def Szereg (-1)n+1an, gdzie an > 0 dla n " N nazywamy szeregiem naprzemiennym.
n=1
Tw.5. (kryterium Leibniza) Jeżeli (an)n"N jest ciągiem nierosnącym i lim an = 0, to szereg
n"
"

(-1)n+1an jest zbieżny.
n=1
" "

Def. Szereg zbieżny an jest zbieżny bezwzględnie, jeśli zbieżny jest szereg |an|. Jeśli szereg
n=1 n=1
"

|an| jest rozbieżny, to dany szereg jest zbieżny warunkowo.
n=1
" "

Tw.6. Jeżeli szereg |an| jest zbieżny, to szereg an jest zbieżny (bezwzględnie).
n=1 n=1
Szeregi potęgowe
Def. Szeregiem potęgowym nazywamy szereg funkcyjny postaci
"

an(x - x0)n = a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)2 + · · · ,
n=0
gdzie an " R  współczynniki liczbowe, x0  ustalona liczba rzeczywista, a x oznacza zmienną.
"

Dla x0 = 0 szereg potęgowy ma postać : anxn. Wystarczy rozpatrywać własności szeregów
n=0
potęgowych tej postaci.
"

Uwaga 2. Jeżeli szereg anxn jest zbieżny w punkcie x = a, to jest zbieżny w przedziale
n=0
(-|a|; |a|).
"

df
=
Niech X {x " R : anxn jest zbieżny}. X = ", bo 0 " X. Zatem zbiór {|x| : x " X} jest

n=0
niepustym podzbiorem R, więc posiada kresy; jego kres dolny jest równy 0, a jego kres górny
"

oznaczamy przez R i nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego anxn. Oczywiście
n=0
0 R +".
Uwaga 3. Jeżeli promień zbieżności R jest
"

1. równy 0, to szereg anxn jest zbieżny tylko w punkcie x = 0;
n=0
"

2. równy +", to szereg anxn jest zbieżny dla każdego x " R;
n=0
2
"

3. 0 < R < +", to szereg anxn jest zbieżny w przedziale (-R; R) i jest rozbieżny w
n=0
zbiorze (-"; -R) *" (R; +").



an+1
n

Tw.7 Jeżeli istnieje lim =  lub lim |an| = , to promień zbieżności R szeregu

n" n"
an
"

potęgowego anxn jest równy
n=0
Å„Å‚
ôÅ‚
0 ,  = +"
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
1
R =
, 0 <  < +"
ôÅ‚
ôÅ‚ 
ôÅ‚
ół
+" ,  = 0
3