Informacja o szeregu trygonometrycznym Fouriera
Funkcję f(x) , ograniczoną w przedziale (a ; b), nazywamy przedziałami monotoniczną w tym
przedziale, jeżeli przedział (a ; b) można podzielić na skończoną liczbę podprzedziałów, we-
wnątrz których funkcja f(x) jest monotoniczna.
Funkcja f(x) spełnia w przedziale < a ; b >warunki Dirichleta, jeżeli
1. f(x) jest przedziałami monotoniczna w przedziale (a ; b) ,
2. f(x) jest ciągła w przedziale (a ; b), z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów
nieciągłości pierwszego rodzaju, przy czym w każdym punkcie nieciągłości x0 spełniony
jest warunek

1
f(x0) = lim f(x) + lim f(x) ,
2
xx- xx+
0 0
3. w końcach przedziału < a ; b > spełnione są równości

1
f(a) = f(b) = lim f(x) + lim f(x) .
2 xa+ xb-
Warunki te nazywamy odpowiednio: pierwszym, drugim i trzecim warunkiem Dirichleta.
Twierdzenie (Dirichleta) Jeżeli funkcja f(x) spełnia w przedziale < -l ; l >, l > 0, warunki
Dirichleta, to jest rozwijalna w tym przedziale w szereg trygonometryczny Fouriera
"
a0 nĄx nĄx
f(x) = + an cos + bn sin (1)
2 l l
n=1
dla każdego x "< -l ; l >, przy czym
l
1 nĄx
an = f(x) cos dx , n = 0, 1, 2, ... ,
l l
-l
l
1 nĄx
bn = f(x) sin .dx , n = 1, 2, 3, ...
l l
-l
Uwaga.1. Jeżeli funkcja f(x) spełnia założenia tw.Dirichleta oraz
1. jeżeli funkcja f(x) ma okres 2l , to równość (1) jest prawdziwa dla każdego x " Df .
2. jeżeli funkcja f(x) jest parzysta, to bn = 0 dla n = 1, 2, 3, ... i
l
2 nĄx
an = f(x) cos dx , n = 0, 1, 2, ...
l l
0
3. jeżeli funkcja f(x) jest nieparzysta, to an = 0 dla n = 0, 1, 2, ... i
l
2 nĄx
bn = f(x) sin dx , n = 1, 2, 3, ...
l l
0
Przykład 1. Rozwinąć w szereg Fouriera w przedziale -2; 2 funkcję określoną wzorem: f(x) =
sgn x dla x " (-2; 2) , f(x) = 0 dla |x| = 2.
Funkcja f jest nieparzysta, zatem an = 0 , n = 1, 2 . . ., a
Å„Å‚
2 2
òÅ‚ 0 dla n parzystych
2 nĄx 2 nĄ 2
bn = 1·sin dx = - cos = (1 - (-1)n) = 4
ół
2 2 nĄ 2 nĄ dla n nieparzystych
0
0
nĄ

" "

2 nĄx 4 (2n - 1)Ąx
Zatem f(x) = (1 - (-1)n) sin = sin
nĄ 2 (2n - 1)Ą 2
n=1 n=1
Uwaga.2. Jeżeli funkcja f spełnia w przedziale (0; l) pierwszy i drugi warunek Dirichleta, to
można ją przedłużyć do funkcji określonej w -l; l tak aby spełniała wszystkie trzy warunki
Dirichleta w tym przedziale.
W szczególności można ją przedłużyć w sposób parzysty do funkcji f" wtedy rozwinięcie w
szereg samych cosinusów funkcji f" będzie dla x " (0; l) rozwinięciem funkcji f.
Można funkcję f rozwinąć w sposób nieparzysty do funkcji f" wtedy rozwinięcie w szereg sa-
mych sinusów funkcji f" będzie dla x " (0; l) rozwinięciem funkcji f.
Przykład 2. Dla funkcji f(x) = x w przedziale (0; Ą) rozwinięcie w szereg samych cosinusów
ma postać
"

Ä„ 4 1
f(x) = x = - cos[(2n - 1)x]
2 Ä„ (2n - 1)2
n=1
Rozwinięcie tej samej funkcji w szereg samych sinusów ma postać
"

(-1)n-1
f(x) = x = 2 sin nx
n
n=1