Wykład trzynasty
Równania różniczkowe
Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
F (x, y, y , y , ..., y(n)) = 0 (1)
w którym y = y(x) jest niewiadomą funkcją zmiennej rzeczywistej x; n " N- jest rzędem
najwyższej pochodnej funkcji y(x), zaś funkcja F , określona na pewnym zbiorze D ą" Rn+2 o
wartościach w R jest dana.
Całką szczególną (rozwiązaniem szczególnym, CS) równania różniczkowego (1) na zbiorze X na-
zywamy każdą funkcję spełniającą to równanie w każdym punkcie zbioru X.
Zagadnienie Cauchy go dla równania różniczkowego (1) polega na wyznaczeniu całki szczególnej
tego równania spełniającej warunki początkowe
y(x0) = y0, y (x0) = y1, ..., y(n-1)(x0) = yn-1
gdzie liczby x0, y0, y1, ..., yn-1 , zwane wartościami początkowymi, są dane.
Przykłady.
1. Całką szczególną równania y = 3x2 jest np. funkcja y1 = x3, jak i każda funkcja postaci
y = x3 + C , C " R. Wstawiając warunek początkowy y(x0) = y0 otrzymujemy stałą
C0 = y0 - x3;
0
2. Całkami szczególnymi równania y + y = 0 są funkcje y1 = sin x , y2 = cos x i każda
funkcja postaci y = C1 cos x + C2 sin x , C1, C2 " R. WstawiajÄ…c warunek poczÄ…tkowy:
y(x0) = y0 , y (x0) = y1 wyznaczamy wartości stałych C1, C2 jednoznacznie;
"
3
3. Dla równania y = 3 y2 istnieją dwa różne rozwiązania szczególne: y1 = x3 i y2 a" 0
spełniające warunek początkowy y(0) = 0.
Def. Całką ogólną (rozwiązaniem ogólnym, CO) równania różniczkowego (1) nazywamy n 
parametrowÄ… rodzinÄ™ funkcji {Åš(x, y, C1, . . . , Cn)}, gdzie (C1, . . . , Cn) " A ‚" Rn, speÅ‚niajÄ…cÄ…
warunki:
1. dla każdych wartości (C1, . . . , Cn) " A istnieje CS y(x) równania (1) spełniająca warunek:
Åš(x, y(x), C1, . . . , Cn) = 0
2. dla każdego układu wartości początkowych x0, y0, y1, ..., yn-1 (dla których istnieje rozwiąza-

nie równania (1)) istnieją stałe (C1, . . . , Cn) " A takie, że równanie Ś(x, y, C1, . . . , Cn) = 0
określa w pewnym otoczeniu punktu x0 funkcję uwikłaną y = y(x) spełniającą równanie
(1) i warunek poczÄ…tkowy y(x0) = y0, y (x0) = y1, ..., y(n-1)(x0) = yn-1.
x
PrzykÅ‚ad. Z równania y = - Ô! y · y = -x wynika, że y2 = -x2 + C , C > 0. Wówczas
y
Åš(x, y) = x2 + y2 - C , C > 0.
1
Uwaga.1 Rozwiązać równanie różniczkowe oznacza znalez
ć jego całkę ogólną.
Uwaga 2. Całka ogólna nie musi zawierać wszystkich całek szczególnych tego równania.
Uwaga.3 Dla pewnych typów równań różniczkowych (np. dla równania o zmiennych rozdzie-
lonych, równania jednorodnego, równania liniowego pierwszego rzędu, równania Bernoulliego,
równania liniowego o stałych współczynnikach) istnieją metody umożliwiające znalezienie zbio-
ru wszystkich rozwiązań tych równań po wykonaniu skończonej liczby operacji elementarnych.
Dla większości równań takie algorytmy nie są znane.
Równania rzędu pierwszego
Równanie o zmiennych rozdzielonych.
Równanie różniczkowe pierwszego rzędu
dy f(x)
=
dx h(y)
gdzie f - funkcja określona i ciągła na przedziale (a ; b), zaś h - funkcja określona i ciągła na
przedziale (c ; d), h(y) = 0 dla y " (c ; d), nazywamy równaniem różniczkowym o zmiennych

rozdzielonych.

Rodzina krzywych określona wzorem h(y)dy = f(x)dx + C, gdzie C " R
dy f(x)
jest całką ogólną równania = .
dx h(y)
Równanie jednorodne.
Równanie jednorodne jest to równanie różniczkowe pierwszego rzędu postaci

dy y
= f
dx x
gdzie f(u) = u jest funkcją ciągłą na pewnym przedziale (a ; b). Równanie to można sprowadzić

y(x)
do równania o zmiennych rozdzielonych za pomocą podstawienia u(x) = . Z ostatniej
x
równości otrzymujemy zależność
dy du
= u(x) + x
dx dx
a następnie równanie różniczkowe z niewiadomą funkcją u
du dx
=
f(u) - u x
które jest równaniem o zmiennych rozdzielonych.
Przykłady
2
1. Równanie
dy
= e-y cos 2x
dx
jest równaniem o zmiennych rozdzielonych, w którym : f(x) = cos 2x , h(y) = ey. Całką
1
ogólną tego równania jest rodzina krzywych ey = sin 2x + C , C " R.
2
2. Równanie
dy x + y
=
dx x
jest równaniem jednorodnym, w którym f(u) = 1 + u. Wprowadzając nową funkcję nie-
y
wiadomą u = otrzymujemy dla niej równanie o zmiennych rozdzielonych
x
du
u + x = 1 + u
dx
którego całką ogólną jest
u = ln |x| + C , C " R
Całką ogólną danego równania jest
y = x ln |x| + Cx , C " R
Równania różniczkowe liniowe rzędu n 1
Niech n 1 będzie dowolną liczbą naturalną. Równanie różniczkowe
y(n) + pn-1(x)y(n-1) + . . . + p1(x)y + p0(x)y = f(x) (2)
gdzie pk , k = 0, 1, . . . , n - 1 oraz f są to dane funkcje ciągłe na pewnym przedziale, nazywamy
równaniem różniczkowym liniowym rzędu n. Jeżeli wszystkie funkcje pk , k = 0, 1, . . . , n - 1, są
stałe na tym przedziale, to jest to równanie o stałych współczynnikach.
Jeżeli f(x) a" 0, to równanie nazywamy jednorodnym(RJ), a w przeciwnym przypadku  niejed-
norodnym(RN).
Metoda rozwiązania RN wiedzie przez rozwiązanie RJ, które otrzymujemy z RN zastępując w
nim funkcję f przez funkcję tożsamościowo równą zeru
y(n) + pn-1(x)y(n-1) + . . . + p1(x)y + p0(x)y = 0. (3)
Układ n całek szczególnych y1 , y2 , . . . , yn równania (3) na przedziale (a ; b) jest układem podsta-
wowym całek tego równania, jeżeli wyznacznik W (x), zwany wrońskianem, spełnia warunek


y1(x) y2(x) . . . yn(x)




y1(x) y2(x) . . . yn(x)

W (x) = = 0


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


(n-1) (n-1)
(n-1)

y1 (x) y2 (x) . . . yn (x)
dla każdego x " (a ; b).
3
Twierdzenie Jeżeli funkcje y1 , y2 , . . . , yn stanowią układ podstawowy całek równania (3), to
wzór
n

y = Ck · yk(x) (4)
k=1
gdzie Ck " R , k = 1, 2, . . . , n , określa CO tego równania.
Wyznaczenie CO równania liniowego pierwszego rzędu
Równanie liniowe jednorodne pierwszego rzędu ma postać
y + p(x)y = 0
Funkcja y a" 0 jest CS tego równania, a dla y = 0 równanie jest równaniem o zmiennych

rozdzielonych.CO tego równania ma postać

y(x) = C · exp(- p(x)dx) , C " R

gdzie p(x)dx oznacza dowolnie ustalonÄ… funkcjÄ™ pierwotnÄ… funkcji p na danym przedziale .
Przykład. Wyznaczyć CO równania
y - ctg x · y = 0 , x " (0 ; Ä„)

cos xdx
p(x) = - ctg x oraz - p(x)dx = ctg xdx = = ln |sin x| + A. PrzyjmujÄ…c A = 0, w
sin x
każdym przedziale ciągłości funkcji ctg x otrzymujemy CO y = C sin x , C " R.
Wyznaczanie układu podstawowego całek dla równania liniowego dru-
giego rzędu o stałych współczynnikach
Równanie liniowe jednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach ma postać
y + py + qy = 0 (5)
a odpowiadające mu równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym
r2 + pr + q = 0. (6)
1 2
1. " > 0. Równanie (6) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste r1 i r2. Funkcje er x , er x tworzą
układ podstawowy całek równania (5), a CO tego równania przedstawia wzór
1 2
y = C1er x + C2er x , C1 , C2 " R.
2. " = 0. Równanie (6) ma jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty r. Funkcje erx , xerx tworzą
układ podstawowy całek równania (5), a CO tego równania przedstawia wzór
y = (C1 + C2x) erx , C1 , C2 " R.
4
3. " < 0. Równanie (6) ma dwa różne pierwiastki zespolone sprzężone r1 = Ä…+j² , r2 = Ä…-j².
Funkcje y1(x) = eÄ…x cos ²x , y2(x) = eÄ…x sin ²x tworzÄ… ukÅ‚ad podstawowy caÅ‚ek równania (5), a
CO tego równania przedstawia wzór
y = eÄ…x (C1 cos ²x + C2 sin ²x) , C1 , C2 " R.
Przykłady
a. Znalez
ć CORJ: y + 5y + 4y = 0. Równanie charakterystyczne
r2 + 5r + 4 = 0
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste: r1 = -1 , r2 = -4. Stąd
y = C1e-x + C2e-4x , C1 , C2 " R
jest całką ogólną danego równania.
b. Znalez
ć CORJ: y + 4y + 4y = 0. Ponieważ równanie charakterystyczne
r2 + 4r + 4 = 0
ma pierwiastek podwójny: r = -2 , więc całką ogólną tego równania jest
y = (C1 + C2x) e-2x , C1 , C2 " R.
c. Równanie różniczkowe: y + 4y = 0 ma równanie charakterystyczne
r2 + 4 = 0
którego pierwiastkami są liczby zespolone: r1 = 2j , r2 = -2j. Stąd
y = C1 sin 2x + C2 cos 2x , C1 , C2 " R
jest całką ogólną tego równania.
5