Wykład jedenasty
Szeregi potęgowe c.d.
W zbiorze tych x  dla których dany szereg potęgowy jest zbieżny, można określić funkcjęS(x),
"

df
=
która jest jego sumą tzn. S(x) anxn.
n=0
"

Tw.1. Jeżeli R > 0 jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego anxn, to jego suma S(x)
n=0
"

jest funkcją ciągłą w przedziale (-R; R). Ponadto, jeżeli szereg liczbowy anRnjest zbieżny, to
n=0
"

funkcja S(x) jest ciągła (lewostronnie) w punkcie x = R; jeżeli szereg liczbowy an(-R)njest
n=0
zbieżny, to funkcja S(x) jest ciągła (prawostronnie) w punkcie x = -R.
"

Tw.2 Jeżeli R > 0 jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego anxn, to jego suma S(x)
n=0
1. jest funkcją R  całkowalną w przedziale (-R; R) oraz dla każdego x " (-R; R)


" " "
x x x

xn+1
S(t)dt = antn dt = antndt = an
0 0 0 n + 1
n=0 n=0 n=0
2. jest funkcją różniczkowalną w przedziale (-R; R) oraz dla każdego x " (-R; R)
"
" "

anxn = (anxn) = annxn-1
n=0 n=0 n=1
przy czym promienie zbieżności otrzymanych nowych szeregów są też równe R.
Szereg Taylora
Zał. x0 " Df i w pewnym otoczeniu Q(x0; r) funkcja f posiada pochodne wszystkich rzędów
(ozn. f " C"(Q(x0; r)) ). Wówczas dla każdej liczby naturalnej n można napisać wzór Taylora
dla funkcji f i punktu x0 tzn.
n-1

f(k)(x0) f(n)(c)
f(x) = (x - x0)k + (x - x0)n = Sn(x) + Rn(x) , c leży między x i x0.
k! n!
k=0
Zatem
"

f(n)(x0)
lim f(x) = f(x) = (x - x0)n + lim Rn(x)
n" n"
n!
n=0
Uwaga 1. Jeżeli w pewnym otoczeniu punktu x0 lim Rn(x) = 0, to
n"
"

f(n)(x0)
( ) f(x) = (x - x0)n  szereg Taylora funkcji f w otoczeniu punktu x0 .
n!
n=0
1
Równość nazywamy rozwinięciem funkcji f w szereg Taylora w otoczeniu punktu x0.
"

f(n)(0)
Dla x0 = 0 mamy równość: f(x) = xn  szereg Maclaurina funkcji f.
n!
n=0
Uwaga 2. Jeżeli w pewnym otoczeniu punktu x0 funkcja f jest klasy C" i pochodne wszystkich
rzędów są wspólnie ograniczone, to lim Rn(x) = 0.
n"
"

fn(x0)
Uwaga 3. Jeżeli w pewnym otoczeniu punktu x0 f(x) = an(x - x0)n, to an = (tzn.
n!
n=0
w otoczeniu punktu x0 rozwinięcie funkcji f w szereg Taylora jest jednoznaczne).
Rozwinięcia w szereg Maclaurina najważniejszych funkcji
"

(-1)n
1. sin x = x2n+1  prawdziwe dla każdego x " R
(2n + 1)!
n=0
"

(-1)n
2. cos x = x2n  prawdziwe dla każdego x " R
(2n)!
n=0
"

1
3. ex = xn  prawdziwe dla każdego x " R
n!
n=0
"

1
4. = xn prawdziwe dla każdego x " (-1; 1)
1 - x
n=0
Funkcje wielu zmiennych
Niech n  ustalona liczba naturalna.
Przestrzenią Rn nazywamy zbiór punktów {(x1, . . . , xn) : xi " R, i = 1, . . . , n}. Jeśli punkty
P (x1, . . . , xn) , P0(x0, . . . , x0) " Rn, to ich odległość (ozn.d(P, P0) ) określamy wzorem
1 n

df
=
d(P, P0) (x1 - x0)2 + . . . + (xn - x0)2
1 n
1. dla n = 1 i P (x) , P (x0): d(P, P0) = |x - x0|

2. dla n = 2 i P (x, y) , P (x0, y0): d(P, P0) = (x - x0)2 + (y - y0)2
Def. Otoczeniem o promieniu r punktu P0 (ozn.Q(P0; r)) nazywamy zbiór
{P " Rn : d(P, P0) < r}.
1. dla n = 1 Q(x0, r) = {x " R : |x - x0| < r}

2. dla n = 2 Q((x0, y0), r) = {(x, y) " R2 : (x - x0)2 + (y - y0)2 < r}
Def. Sąsiedztwem o promieniu r punktu P0 (ozn.S(P0, ; r)) nazywamy zbiór
{P " Rn : 0 < d(P, P0) < r}.
2
Def. Zbiór D ‚" Rn nazywamy zbiorem otwartym, jeÅ›li speÅ‚nia warunek
" P0 " D " r > 0 (Q(P0; r) ‚" D)
Def. Obszar w Rn jest to taki zbiór otwarty, którego każde dwa punkty można połączyć łamaną
zawartą w tym zbiorze. Obszar jest ograniczony, jeśli zawiera się w pewnym otoczeniu punktu
(0, . . . , 0).
Zbieżność ciągu punktów w Rn
k
Niech (P )  ciąg punktów w Rn i P0 " Rn.
k
k k
Def. Ciąg punktów (P ) jest zbieżny do punktu P0 (ozn. lim P = P0 lub P P0), jeśli
k"
k
lim d(P , P0) = 0.
k"
k
Uwaga 1. lim P (xk, . . . , xk) = P0(x1, . . . , x0) Ô! " 1 i n lim xk = x0.
1 n n i i
k" k"
Niech D ‚" R2 , funkcja f : D R jest okreÅ›lona w pewnym sÄ…siedztwie S punktu (x0, y0) .
Def. Liczba g jest granicą podwójną funkcji f w punkcie (x0, y0) (ozn. lim f(x, y) = g
(x,y)(x0, y0)
lub lim f(x, y) = g), jeśli spełniony jest warunek:
xx0
yy0


lim (xn, yn) = (x0, y0) Ò! lim f(xn, yn) = g definicja Heinego
n" n"
((xn,yn))‚"S
(xn,yn) =(x0,y0)
Niech D ‚" R2 , funkcja f : D R jest okreÅ›lona w pewnym otoczeniu punktu (x0, y0) .
Def. Funkcja f jest ciągła w punkcie (x0, y0), jeśli lim f(x, y) = f(x0, y0).
(x,y)(x0, y0)
Funkcja f jest ciągła w zbiorze, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
3