Wykład szósty
Całka nieoznaczona c.d.
Wzory podstawowe
Z definicji funkcji pierwotnej i wzorów na pochodne funkcji elementarnych wynikają następujące
wzory podstawowe:

0dx = C

dx = x + C

xÄ…+1
xÄ…dx = + C, Ä… = -1

Ä… + 1

dx
= ln |x| + C
x

sin xdx = - cos x + C

cos xdx = sin x + C

dx
= tg x + C
cos2 x

dx
= - ctg x + C
sin2 x

dx
= arctg x + C
1 + x2

dx
"
= arcsin x + C
1 - x2

exdx = ex + C,

ax
axdx = + C, a > 0 '" a = 1

ln a

sh xdx = ch x + C

ch xdx = sh x + C
Z reguł różniczkowania wynikają wzory:

(f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx , A · f(x)dx = A · f(x)dx , A " R
Tw. (o całkowaniu przez części) Jeżeli funkcje f , f , g , g są ciągłe na przedziale X, to

f(x)g (x)dx = f(x)g(x) - f (x)g(x)dx
Niech X oznacza przedział w R. Przez Cn(X) oznaczamy zbiór wszystkich funkcji, które mają
ciągłe pochodne do n  tego rzędu włącznie na przedziale X. Jeżeli funkcja f " Cn(X), to
mówimy, że f jest klasy Cn na zbiorze X.
g
h

Tw. (całkowaniu przez podstawienie t = h(x)). (X T R). Jeżeli
1. funkcja h jest klasy C1 na przedziale X i T = h(X);
2. funkcja g posiada funkcjÄ™ pierwotnÄ… G na przedziale T

to prawdziwa jest równość g(h(x))h (x)dx = g(t)dt = G(h(x)) + C , C " R.
Uwaga 1. Prawdziwe sÄ… wzory:

" " "
dx K x"
"
= ln |x + x2 + K| + C, x2 + Kdx = ln |x + x2 + K| + x2 + K + C
2 2
x2 + K

"
dx x a2 x"
"
= arcsin + C, a2 - x2dx = arcsin xa + a2 - x2 + C
a 2 2
a2 - x2

f (x) 1
Uwaga 2. Ogólnie: dx = ln |f(x)| + C oraz fÄ…(x) · f (x)dx = fÄ…+1(x) + C
f(x) Ä… + 1
Całkowanie funkcji wymiernych
A Ax + B
UÅ‚amki proste pierwszego rodzaju: ; drugiego rodzaju: , a, A, B, p, q " R,
(x - a)n (x2 + px + q)n
n " N i wielomian x2 + px + q jest nierozkładalny.
Całkowanie funkcji wymiernych właściwych (st L< st M) polega na rozkładzie tej funkcji na
ułamki proste i całkowaniu każdego składnika rozkładu.
Å„Å‚
A 1
ôÅ‚

òÅ‚
A · + C , n = 1

dx = - n) (x - a)n-1
(1
ôÅ‚
(x - a)n
ół
A · ln |x - a| + C , n = 1
Przy całkowaniu ułamków drugiego rodzaju, jeśli n 2, to korzysta się ze wzoru rekurencyjnego:
Å„Å‚

1 x 2n - 3 dx
ôÅ‚

òÅ‚
dx + , n = 1

=
2(n - 1) (x2 + 1)n-1 2n - 2 (x2 + 1)n-1
ôÅ‚
(x2 + 1)n
ół
arctg x + C , n = 1
Ć f

Tw. (o całkowaniu przez podstawienie x = Ć(t)) (T X R) Jeżeli
1. funkcja Ć jest różnowartościowa i klasy C1 na przedziale T i X = Ć(T );
2. funkcja f posiada funkcjÄ™ pierwotnÄ… na przedziale X
to prawdziwa jest równość

f(x)dx = f(Ć(t)) · Ć (t)dt = F (Ć-1(x)) + C ,
gdzie F oznacza funkcje pierwotną funkcji podcałkowej w całce po prawej stronie.