Wykład trzeci
Pochodna funkcji
Zał. Funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu O punktu x0 ; "x = 0  przyrost argumentu

x taki, że x0 + "x " O.
f(x0 + "x) - f(x0)
Ułamek: nazywamy ilorazem różnicowym.
"x
f(x0 + "x) - f(x0)
Def. LiczbÄ™ lim nazywamy pochodnÄ… funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy
"x0
"x
przez f (x0).
Pochodne jednostronne (obliczane przy pomocy odpowiednich granic jednostronnych) funkcji f
oznaczamy przez: f (x-) , f (x+).
0 0
Interpretacja geometryczna Równanie siecznej wykresu f przechodzącej przez punkty (x0, f(x0))
f(x0 + "x) - f(x0)
(x0 + "x, f(x0 + "x)) ma postać y - f(x0) = · (x - x0).
"x
Granicznym położeniem tej siecznej ("x 0) jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie
(x0, f(x0)). JeÅ›li f (x0) istnieje, to równanie tej stycznej: y - f(x0) = f (x0) · (x - x0).
Y
y f x
3.0
2.5
x0 x, f x0 x
2.0
sieczna
1.5
1.0
styczna
x0, f x0
0.5
Ä™ x
Ä™
X
1 1 2 3 4
f(x0 + "x) - f(x0)
Uwaga 1 Jeżeli lim jest niewłaściwa, to styczną do wykresu f w punkcie
"x0
"x
(x0, f(x0)) jest prosta x = x0.
s(t0 + "t) - s(t0)
Int. fizyczna Jeżeli s(t) oznacza drogę zależną od czasu t, to iloraz różnicowy
"t
przedstawia prędkość średnią ruchu między chwilami t0 i t0 + "t, a s (t0) - prędkość w chwili t0.
1
Y
styczna do wykresu
w punkcie (1,0)
0.5
X
0.5 1.0 1.5
0.5
1.0
FunkcjÄ™ f nazywamy pochodnÄ… funkcji f.
Wzory na pochodne podstawowych funkcji elementarnych

f f · g - g · f
(f Ä… g) = f Ä… g ; (f · g) = f · g + f · g ; = , g = 0

g g2
(c) = 0 ; (xÄ…) = Ä…xÄ…-1 , Ä… = 0 ; (sin x) = cos x ; (cos x) = - sin x

1 1
(tg x) = = 1 + tg2 x ; (ctg x) = - ; (ax) = ax · ln a ; (ex) = ex
cos2 x sin2 x
Wyprowadzenie wzorów na pochodne funkcji: f(x) = c , c " R, f(x) = xn , n " N,
f(x) = ax , a > 0 '" a = 1, f(x) = sin x.

Tw. Jeżeli f (x0) istnieje, to funkcja f jest ciągła w punkcie x0 (WK istnienia pochodnej).
f(x0 + "x) - f(x0)
lim f(x0 + "x) - f(x0) = lim · "x = 0
"x0 "x0
"x
Tw. (O pochodnej funkcji odwrotnej) Jeżeli funkcja f jest ściśle monotoniczna i posiada po-
chodną f (x) = 0, to funkcja odwrotna f-1 posiada pochodną i prawdziwy jest wzór

1
(f-1(y)) = , gdzie y = f(x)
f (x)
2
Y
y x
y g x
Ä™
1.0
x0
y f x
Å‚
Ä™
y0
0.5
y0
x0
X
0.5 1.0
1
f (x0) = tg Ä…, g (y0) = tg ², tg ² = ctg Ä… =
tg Ä…
Dalsze wzory na pochodne:
1 1 1
"
(ln x) = ; (arcsin x) = ; (arccos x) = -"
;
x
1 - x2 1 - x2
1 1
(arctg x) = ; (arcctg x) = -
x2 + 1 x2 + 1
Wyprowadzenie wzorów na pochodne funkcji: f(x) = ln x, f(x) = arcsin x.
Tw. (O pochodnej funkcji złożonej) Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x i funkcja g ma
pochodną w punkcie y = f(x), to funkcja złożona g ć% f ma pochodną w punkcie x i prawdziwy
jest wzór
(g ć% f) (x) = g (f(x)) · f (x)
Uwaga Powyższy wzór można stosować wielokrotnie.
Pochodne wyższych rzędów
Zał. f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x0.
f (x0 + "x) - f (x0)
Def. Granicę właściwą lim nazywamy pochodną drugiego rzędu funkcji f
"x0
"x
w punkcie x0 i oznaczamy przez f (x0).
f  funkcja drugiej pochodnej funkcji f.

df
=
Ogólnie określamy pochodną n  tego rzędu funkcji f jako: f(n)(x) f(n-1)(x) , n = 2, 3, . . ..
Uwaga Jeżeli funkcja f ma pochodną n tego rzędu, to ma pochodne wszystkich rzędów niższych
niż n.
3
Tw. de l Hospitala
f f
Tw. Jeżeli funkcje oraz są określone na pewnym sąsiedztwie punktu x0 oraz
h h
1. lim f(x) = lim h(x) = 0 lub | lim h(x)| = +" ;
xx0 xx0 xx0
f (x)
2. istnieje granica lim ( właściwa lub niewłaściwa)
xx0
h (x)
f(x) f (x)
to istnieje granica lim = lim .
xx0 xx0
h(x) h (x)
Twierdzenie pozostaje prawdziwe dla granic jednostronnych oraz granic w nieskończoności.
Twierdzenie pozwala obliczyć wartości tzw.  symboli nieoznaczonych czyli granic typu:
0/0 , "/" , 0 · " , " - " , 1" , "0 , 00.
4