Wykład czternasty
Wyznaczanie CO równania niejednorodnego
Równanie liniowe jednorodne rzędu n o stałych współczynnikach ma postać:
y(n) + pn-1y(n-1) + . . . + p1y + p0y = 0. (1)
gdzie p0, p1, . . . , pn-1 " R.
Poszukujemy rozwiązań równania (1) w postaci funkcji wykładniczej erx, gdzie r jest liczbą
zespoloną. Wstawiając tę funkcję i jej kolejne pochodne do równania (1) otrzymujemy równanie
algebraiczne, zwane równaniem charakterystycznym,
rn + pn-1rn-1 + . . . + p1r + p0 = 0. (2)
Dla znalezienia CORN stosujemy metodę przewidywań lub metodę uzmienniania stałych (me-
toda uniwersalna). Wykorzystujemy przy tym twierdzenie:
Twierdzenie. CORN=CORJ+CSRN
Metoda przewidywań
Metodę przewidywań stosujemy, gdy dla wszystkich k =0, 1, . . . , n-1 funkcje pk(x)a" pk, pk " R
zaÅ› funkcja f jest postaci f(x) = eÄ…x(W1(x) · cos ²x + W2(x) · sin ²x), gdzie Wi(x) , i = 1, 2 sÄ…
wielomianami zmiennej x. CSRN przewidujemy w postaci: xk · eÄ…x(V1(x) · cos ²x + V2(x) · sin ²x),
przy czym Vi(x) , i = 1, 2 sÄ… wielomianami zmiennej x i st(V1) = st(V2) = max( st(W1),st(W2))
zaÅ› liczba caÅ‚kowita k 0 jest równa krotnoÅ›ci pierwiastka Ä… + j² w równaniu charakterystycz-
nym (2).
Przykłady.
1. Znalez
ć całkę ogólną równania
y - 4y = -32x2
CORJ jest: y = C · e4x . Ponieważ f(x) = 32x2 , wiÄ™c CSRN przewidujemy w postaci
y1 = Ax2 + Bx + C.

Wstawiając y1 i y1 do równania niejednorodnego i przyrównując współczynniki otrzymu-
jemy: A = 8, B = 4, C = 1. Zatem CORN jest równa
y = Ce4x + 8x2 + 4x + 1 , C " R
2. Znalez
ć całkę ogólną równania
y + 2y = 9xex
CORJ jest tu y = Ce-2x. CSRN przewidujemy w postaci y1 = (Ax + B)ex.
Otrzymujemy A = 3, B = -1.
y = Ce-2x + (3x - 1)ex , C " R
przedstawia CORN.
1
3. Znalez
ć całkę ogólną równania y + 3y + 2y = 5 cos x.
Równanie charakterystyczne r2 + 3r + 2 = 0 ma pierwiastki r1 = -1, r2 = -2. CORJ ma
postać y = C1e-x + C2e-2x , C1, C2 " R. CSRN przewidujemy w postaci: y = A cos x +
1 3
B sin x. Różniczkując dwa razy i wstawiając do równania otrzymujemy: A = , B = .
2 2
CORN jest określona wzorem
1 3
y = C1e-x + C2e-2x + cos x + sin x , C1, C2 " R .
2 2
4. Wyznaczyć CORN y + 3y + 2y = e-x.
Ponieważ ą = -1 jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, więc CSRN przewi-
dujemy w postaci: y = xAe-x. Po obliczeniach otrzymujemy: A = 1. CORN określa wzór
y = C1e-x + C2e-2x + xe-x , C1, C2 " R .
5. Znalez
ć całkę ogólną równania y + y = 4x cos x.
Równanie charakterystyczne r2 + 1 = 0 ma dwa pierwiastki: r1 = j, r2 = -j, a zatem
y = C1 sin x + C2 cos x jest CORJ. CSRN przewidujemy w postaci
y1 = x (A1x + B1) sin x + x (A2x + B2) cos x

Po obliczeniu i wstawieniu y1 , y1 , y1 do równania niejednorodnego otrzymujemy
2A1 sin x + 2(2A1x + B1) cos x + 2A2 cos x - 2(2A2x + B2) sin x a" 4x cos x
Ta równość jest spełniona dla każdego x, gdy A1 = 1, A2 = 0, B1 = 0, B2 = 1 Zatem:
y1 = x2 sin x + x cos x i CORN ma postać
y = C1 sin x + C2 cos x + x2 sin x + x cos x , C1, C2 " R .
6. Wyznaczyć CORN y + y = 2ex + x2.
Równanie charakterystyczne r2 + r = 0 ma pierwiastki: r1 = 0, r2 = -1. CORJ jest równa
y = C1·1+C2e-x , C1, C2 " R. CSRN przewidujemy w postaci: y1 = Aex+x(Bx2+Cx+D).
1
Po obliczeniach otrzymujemy: A = 1, B = , C = -1, D = 2. CORN dana jest wzorem
3
1
y = C1 + C2e-x + ex + x3 - x2 + 2x , C1, C2 " R
3
2
Metoda uzmienniania stałej dla n = 1
Metoda uzmienniania stałej polega na tym, że we wzorze na całkę ogólną równania jednorod-

nego, y(x) = C · exp(- p(x)dx) , C " R zastÄ™pujemy staÅ‚Ä… C - nieznanÄ… funkcjÄ… C(x) ,

którÄ… dobieramy w ten sposób, aby funkcje postaci C(x) · exp(- p(x)dx) speÅ‚niaÅ‚y równanie
niejednorodne. Zakładając, że taka funkcja C(x) istnieje, otrzymujemy wówczas

C(x) = f(x) · exp( p(x)dx) dx + C1 , gdzie C1 " R
Wzór

y(x) = C1 · exp(- p(x)dx) + exp(- p(x)dx) · f(x) · exp( p(x)dx) dx
przedstawia CORN y + p(x) · y = f(x), przy czym wszystkie caÅ‚ki wystÄ™pujÄ…ce w tym wzorze
rozumiane sÄ… jako dowolne, lecz ustalone funkcje pierwotne.
Metoda uzmienniania stałych dla n 2
Metoda ta polega na zastąpieniu stałych C1 , C2 , . . . , Cn we wzorze na CORJ funkcjami C1(x) ,
C2(x) , . . . , Cn(x), których pochodne wyznaczamy z układu równań algebraicznych
Å„Å‚

ôÅ‚
C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x) + . . . + Cn(x)yn(x) = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚

òÅ‚
C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x) + . . . + Cn(x)yn(x) = 0
ôÅ‚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
(n-1) (n-1)
ół (n-1)
C1(x)y1 (x) + C2(x)y2 (x) + . . . + Cn(x)yn (x) = f(x)
gdzie funkcje y1 , y2 , . . . , yn stanowią układ podstawowy całek równania równania jednorodnego.
Dla n = 2 ten układ równań ma postać


C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x) = 0

C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x) = f(x)
skÄ…d obliczamy


0 y2(x) y1(x) 0




f(x) y2(x) y1(x) f(x)
C1(x) = dx + A , C2(x) = dx + B , A, B " R
W (x) W (x)
gdzie W (x) oznacza wrońskian. Wzór


0 y2(x) y1(x) 0




f(x) y2(x) y1(x) f(x)
y = Ay1(x) + By2(x) + y1(x) · dx + y2(x) · dx
W (x) W (x)
określa CORN.
Przykłady.
3
1. Znalez
ć całkę ogólną równania
dy
- ctg x · y = sin3 x
dx
RozwiÄ…zanie. CORJ
y = C sin x , C " R
Dla znalezienia CORN stosujemy metodę uzmiennienia stałej.
Przyjmujemy y = C(x) sin x. Wówczas y = C (x) sin x + C(x) cos x. Wstawiając y oraz y
do RN otrzymujemy
1 1
C (x) = sin2 x , a następnie C(x) = x - sin 2x + C1
2 4
1 1
StÄ…d CORN: y(x) = C1 sin x + x sin x - sin2 x cos x.
2 2
2. Znalez
ć CORN: y - 3y + 2y = sin (e-x).
RozwiÄ…zanie. CORJ jest: y = C1ex + C2e2x. CORN wyznaczamy metodÄ… uzmienniania
stałych (metody przewidywań nie można tu zastosować!). Należy więc rozwiązać układ
równań


C1(x)ex + C2(x)e2x = 0

C1(x)ex + 2C2(x)e2x = sin (e-x)

z niewiadomymi funkcjami C1(x) i C2(x). Mamy


0 e2x




sin (e-x) 2e2x


C1(x) = = -e-x sin e-x

ex e2x



ex 2e2x


ex 0




ex sin (e-x)


C2(x) = = e-2x sin e-x ,

ex e2x



ex 2e2x
skÄ…d C1(x) = - cos (e-x) + A , C2(x) = e-x cos (e-x) - sin (e-x) + B, a zatem CORN jest

y = Aex + Be2x - e2x sin e-x .
Dodatek
Wyznaczanie układu podstawowego całek dla równania liniowego o
stałych współczynnikach rzędu n 2
1. Równanie (2) ma n różnych pierwiastków rzeczywistych r1, r2, . . . , rn. Wówczas funkcje
1 2 n
y1(x) = er x , y2(x) = er x , . . . , yn(x) = er x
tworzą układ podstawowy całek RJ.
4
2. Równanie (2) ma n różnych pierwiastków r1, r2, . . . , rn, wśród których znajdują się pier-
wiastki zespolone. Niech np. r1 = Ä… + j² , r2 = Ä… - j² oraz r3 , . . . , rn " R. Wówczas funkcje
3 n
y1(x) = eÄ…x cos ²x , y2(x) = eÄ…x sin ²x , y3(x) = er x , . . . , yn(x) = er x
tworzą układ podstawowy całek RJ.
3. Równanie (2) ma n pierwiastków rzeczywistych r1, r2, . . . , rn, wśród których znajdują się
pierwiastki wielokrotne. Niech np. r1 = r2 = . . . = rk = r oraz pozostałe rk+1, . . . , rn są różne
między sobą i różne od r.
Wówczas funkcje erx , xerx , x2erx, . . . , xk-1erx są rozwiązaniami równania (1). Funkcje
k+1 n
erx , xerx , x2erx, . . . , xk-1erx, er x, . . . , er x
tworzą układ podstawowy całek RJ.
4. Równanie (2) ma n pierwiastków r1, r2, . . . , rn, wśród których są pierwiastki zespolone wie-
lokrotne. Niech np. r1 = r2 = . . . = rk = Ä… + j² oraz rk+1 = rk+2 = . . . = r2k = Ä… - j²
zaś pozostałe pierwiastki r2k+1, . . . , rn są rzeczywiste i różne między sobą. Wówczas funkcje
eÄ…x cos ²x , xeÄ…x cos ²x , . . . , xk-1eÄ…x cos ²x , eÄ…x sin ²x , xeÄ…x sin ²x , . . . , xk-1eÄ…x sin ²x sÄ… sÄ… roz-
wiązaniami równania (1). Funkcje
eÄ…x cos ²x , xeÄ…x cos ²x , . . . , xk-1eÄ…x cos ²x , eÄ…x sin ²x , xeÄ…x sin ²x ,
2k+1 n
. . . , xk-1eÄ…x sin ²x, er x , . . . , er x
tworzą układ podstawowy całek RJ.
5