Wykład 15
Szeregi liczbowe
(an)n"N  dowolny ciąg liczbowy (nieskończony);
n

df
=
Definiujemy nowy ciÄ…g (Sn) o wyrazie ogólnym Sn a1 + · · · + an = ak.
k=1
Def. Ciąg liczbowy (Sn) nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazie ogólnym an i oznaczamy:
"

an = a1 + a2 + a3 + · · ·
n=1
"

Szereg an nazywamy zbieżnym, jeśli istnieje granica właściwa S = lim Sn. W przeciwnym
n"
n=1
wypadku szereg jest rozbieżny.
" "

Liczbę S nazywamy sumą szeregu an, piszemy też S = an.
n=1 n=1
" "

Def. Szeregi an i bn sÄ… równe Ô! an = bn dla każdego n " N.
n=1 n=1
" " "

Sumą szeregów an i bn nazywamy szereg (an + bn). Jeżeli oba szeregi są zbieżne i
n=1 n=1 n=1
" " "

an = A oraz bn = B, to (an + bn) = A + B.
n=1 n=1 n=1
" "

Przyjmujemy ponadto: k · an = k · an dla dowolnej liczby rzeczywistej k.
n=1 n=1
"

Tw.1(WK zbieżności szeregów liczbowych) Jeżeli an jest zbieżny, to lim an = 0.
n"
n=1
WW zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych
Uwaga 1. Jeśli an 0, to ciąg sum (Sn) jest niemalejący. Zatem ciąg sum (Sn) jest zbieżny
wtw gdy jest ograniczony z góry.
Tw.2(kryterium całkowe zbieżności szeregów liczbowych) Niech m oznacza dowolną liczbę na-
turalną. Jeżeli funkcja f jest nierosnąca i nieujemna na przedziale m; +"), to szereg liczbowy

"
+"

f(n) i całka f(x)dx
m
n=m
są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne.
" "

Tw.3(kryterium porównawcze) Jeżeli an oraz bn są szeregami o wyrazach nieujemnych
n=1 n=1
oraz an bn dla n > n0, to
" "

1. jeżeli szereg an jest rozbieżny, to rozbieżny jest szereg bn;
n=1 n=1
1
" "

2. jeżeli szereg bn jest zbieżny, to zbieżny jest szereg an.
n=1 n=1
"

Tw.4 (kryterium d Alemberta) Jeżeli an jest szeregiem o wyrazach dodatnich i istnieje gra-
n=1
an+1
nica lim = g (właściwa lub niewłaściwa), to
n"
an
"

1. jeśli 0 g < 1, to szereg an jest zbieżny;
n=1
"

2. jeśli g > 1, to szereg an jest rozbieżny.
n=1
"

Tw.5 (kryterium Cauchy go) Jeżeli an jest szeregiem o wyrazach nieujemnych i istnieje
n=1
"
n
granica lim an = g (właściwa lub niewłaściwa), to
n"
"

1. jeśli 0 g < 1, to szereg an jest zbieżny;
n=1
"

2. jeśli g > 1, to szereg an jest rozbieżny.
n=1
W obu twierdzeniach jeśli g = 1, to kryterium nie rozstrzyga zbieżności badanego szeregu.
"

Def Szereg (-1)n+1an, gdzie an > 0 dla n " N nazywamy szeregiem naprzemiennym.
n=1
Tw.6 (kryterium Leibniza) Jeżeli (an)n"N jest ciągiem nierosnącym i lim an = 0, to szereg
n"
"

(-1)n+1an jest zbieżny.
n=1
" "

Def. Szereg zbieżny an jest zbieżny bezwzględnie, jeśli zbieżny jest szereg |an|. Jeśli szereg
n=1 n=1
"

|an| jest rozbieżny, to dany szereg jest zbieżny warunkowo.
n=1
" "

Tw.7 Jeżeli szereg |an| jest zbieżny, to szereg an jest zbieżny (bezwzględnie).
n=1 n=1
2