AL1 W1
Oznaczenia
N  zbiór liczb naturalnych
Z  zbiór liczb całkowitych
Q  zbiór liczb wymiernych
R  zbiór liczb rzeczywistych
"  kwantyfikator ogólny   dla każdego
"  kwantyfikator szczegółowy   istnieje
Liczby zespolone
Def. Liczba zespolona jest to wyrażenie postaci z = x+j ·y, gdzie x, y " R. Symbol j (oznaczany
też jako i) nazywamy jednostką urojoną. Ustalamy: j2 = -1.
Oznaczamy:
ozn
=
x Rez (realis) - część rzeczywista liczby zespolonej z;
ozn
=
y Imz (imaginalis) - część urojona liczby zespolonej z
Przyjmujemy:
1. z = 0 Ô! x = 0 '" y = 0;
2. z1 = z2 Ô! Rez1 = Rez2 '" Imz1 = Imz2.
Interpretacja geometryczna.
Liczbie zespolonej z = x + j · y przyporzÄ…dkowujemy w sposób jednoznaczny punkt (x, y) " R2.
W ten sposób otrzymujemy płaszczyznę liczb zespolonych.
Działania na liczbach zespolonych.
df
=
1. mnożenie przez liczby rzeczywiste - Ä… · z Ä…x + j · Ä…y , Ä… " R;
2. dodawanie - z1 + z2 = (x1 + x2) + j · (y1 + y2);
3. mnożenie - z1 · z2 = (x1x2 - y1y2) + j · (x1y2 + x2y1);
df
=
4. sprzężenie - z x - jy;
z1 z1 · z2
df
5. dzielenie - określone, gdy z2 = 0 - =
.
z2 z2 · z2
Własności sprzężenia
1. z · z = x2 + y2 0 (> 0 Ô! z = 0)

1
2. z1 + z2 = z1 + z2
3. z1 · z2 = z1 · z2

z1 z1
4. = .
z2 z2
"
df
=
Def. Modułem liczby zespolonej z (ozn.|z|) nazywamy liczbę nieujemną |z| x2 + y2.
Interpretacja geometryczna: moduł liczby z jest równy odległości liczby z od liczby 0.
Własności modułu
"
1. Jeśli z = x " R, to |z| = x2 + 02 = |x| - uogólnienie pojęcia
2. z · z = |z|2 , |z| = 0 Ô! z = 0;
3. |z1 - z2| - odległość liczb zespolonych z1 , z2;


z1 |z1|

4. |z1 · z2| = |z1| · |z2| , = , z2 = 0


z2 |z2|
5. |z1 + z2| |z1| + |z2|.
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Jeśli z = x + jy i z = 0, to z interpretacji geometrycznej l.z. wynika, że istnieje kąt Ć (między

osią rzeczywistą i promieniem wodzącym=|z| ), że x = |z| cos Ć i y = |z| sin Ć. Stąd
z = |z|(cos Ć + j · sin Ć)
gdzie Ć jest dowolną liczbą rzeczywistą. Tę równość nazywamy trygonometryczną postacią liczby
zespolonej. Liczba z = 0 nie ma postaci zespolonej.
Liczbę Ć nazywamy argumentem liczby zespolonej (ozn.Argz). Jeżeli Ć " (-Ą : Ą >, to Ć nazy-
wamy argumentem głównym (ozn.arg z).
Własności
1. z1 = z2 Ô! |z1| = |z2| '" arg z1 = arg z2 , z1 , z2 = 0

2. z1 · z2 = |z1| · |z2|(cos(Ć1 + Ć2) + j sin(Ć1 + Ć2))
z1 |z1|
3. = (cos(Ć1 - Ć2) + j sin(Ć1 - Ć2))
z2 |z2|
Postać wykładnicza liczby zespolonej
df
=
Przyjmujemy ejĆ cos Ć + j sin Ć, gdzie e = 2, 718 - jest stałą matematyczną.
Wtedy liczbÄ™ zespolonÄ… z = 0 , z = |z|(cos Ć + j sin Ć) można zapisać jako z = |z| · ejĆ = r · ejĆ -

to ostatnie wyrażenie to postać wykładnicza liczby zespolonej.
Wzory Eulera: ejy = cos y + j sin y , ex+jy = ex · ejy
2
ejĄ = -1
Potęgowanie liczb zespolonych
JeÅ›li z = |z|(cosĆ + j sin Ć), to dla każdej liczby n " N: zn = z · . . . · z = |z|n(cos(nĆ) + j sin(nĆ))
Wzór Moivre a: (|z|(cos Ć + j sin Ć))n = |z|n(cos(nĆ) + j sin(nĆ)).
Pierwiastkowanie liczb zespolonych
Def. Liczbę zespoloną w nazywamy pierwiastkiem n - n tego stopnia z liczby zespolonej z, jeśli
"
n
wn = z (ozn. z).
Uwaga
"
n
1. dla każdej liczby n " N: 0 = 0;
2. jeśli z = 0, to dla każdej liczby n " N istnieje n różnych pierwiastków n - tego stopnia z

liczby z danych wzorami:


"
Ć + 2kĄ Ć + 2kĄ
n n
zk = |z| cos + j sin , k = 0, 1, 2, . . . , n - 1
n n
3