AL1 (Inżynieria Biomedyczna)
Z7-8
1. Wyprowadzić wzory, zakładając, że mają sens liczbowy
-1 1
"
(arccos x) = , (arctg x) =
1 + x2
1 - x2
2x - 1
2. Obliczyć na podstawie definicji f (1), jeśli f(x) = .
x + 3

cos 2x
3. Obliczyć  zakładając, że istnieje  pochodną funkcji: f(x) = ,
(1 + sin 2x)2 + 3

"
1
3
3
f(x) = esin x2, f(x) = arcsin , f(x) = x4 + 12 · ln(esin x + 1) · tg x, f(x) = xln x,
2x
f(x) = log(x +1) cos x.
2
Å„Å‚
1
òÅ‚
xk · sin , x = 0

4. Obliczyć, jeśli istnieje, f (0) dla f(x) = , k = 3, 4 .
x
ół
0 , x = 0
5. Wyprowadzić wzór na n  tÄ… pochodnÄ…, n " N, funkcji: f(x) = sin x, f(x) = x · ex.
6. Obliczyć granice funkcji
(a) lim x · ln x
x0+
(x - 2)2
(b) lim · ln(x - 2)
x2+ x + 1

3x + 5x 1/x
(c) lim
x0+ 2

3x + 1 2/(3-x)
(d) lim
x3
2x + 4
(e) lim (Ä„ - 2arctg x) · ln x
x+"
(2 + x)x - x · ln 2 - 1
(f) lim
x0
x2
2
(g) lim(tg x)x -x
x0
7. Wykazać, że jeżeli w pewnym przedziale (a ; b) funkcja f ma własność f (x) = f(x), to
istnieje staÅ‚a A " R taka, że f(x) = A · ex dla każdego x " (a ; b). (wsk.rozważyć funkcjÄ™
g(x) = f(x) · e-x).
Ä„
8. Wykazać, że arctg x + arctg (1/x) = dla każdego x > 0.
2
9. Wykazać prawdziwość nierówności
x2
(a) x - < ln(1 + x) < x , dla x > 0
2
(b) 2x · arctg x ln (x2 + 1) , dla x 0
10. Wyznaczyć ekstrema funkcji
(a) f(x) = ex · sin x;
2
(b) f(x) = x3 · e-x .
1
11. Napisać wzór Taylora dla funkcji f(x) = , x0 = -1 i n = 5.
x
"
12. Napisać wzór Maclaurina dla funkcji f(x) = 1 + x i n = 4. Na tej podstawie podać
"
przybliżenie funkcji 1 + x wielomianem trzeciego stopnia.
13. Napisać wzór Maclaurina dla funkcji f(x) = x · ln(2 + x) i n = 4.
14. Napisać wzór Maclaurina dla dowolnego n dla funkcji
(a) f(x) = x · ex
(b) f(x) = ln(x + a) , a > 0