Algebra liniowa 1
II kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
E6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Rozwiązać równanie macierzowe
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 0 3 0 21 -7
= 5 X + .
4X
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 2 0 3 35 -14
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2. Znalez
ć macierz C-1 i sprawdzić poprawność otrzymanego wyniku dla
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1
ïÅ‚ śł
C =
2 2 1
ïÅ‚ śł .
ïÅ‚ śł
Odpowiedzi do zestawu E6
3 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚
3. StosujÄ…c wzory Cramera wyznaczyć liczbÄ™ t z ukÅ‚adu równaÅ„ îÅ‚ Å‚Å‚
-3 1
1. X = ;
ïÅ‚ śł
-5 2
Å„Å‚ ðÅ‚ ûÅ‚
4x + 4y + 4z + 4t = 4
ôÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
0 -1 1
ôÅ‚ x + 4y + 4z + 4t = 0
ïÅ‚ śł
.
òÅ‚
2. C = -1 2 -1
ïÅ‚ śł;
x + y + 4z + 4t = 0
ôÅ‚
ïÅ‚ śł
ôÅ‚
2 -1 0
ðÅ‚ ûÅ‚
x + y + z + 4t = 0
ół
3. t = - 1 ;
3

5 1
4. Znalez
ć rzuty prostokątny i ukośny w kierunku wektora v = ( 0, 1, 1 ) 4. rzuty prostokątny ( , , 0 ) , ukośny ( 2, -3, -2 ) .
2 2
punktu Q = ( 2, 0, 1 ) na płaszczyznę Ą : x + y - 2z = 3 .
Algebra liniowa 1
II kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
F6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego za- dania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać prze- bieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Rozwiązać równanie macierzowe
îÅ‚ Å‚Å‚
-1 4
Å" Y = YT.
ïÅ‚ śł
0 -1
ðÅ‚ ûÅ‚
2. Metodą bezwyznacznikową obliczyć macierz
-1
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 1
ïÅ‚ śł
.
1 1 3
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 1 3 Odpowiedzi do zestawu F6
ðÅ‚ ûÅ‚
3. Dobrać parametr p tak, aby podany układ równań był układem Cramera:
îÅ‚ Å‚Å‚
2c -c
1.
ïÅ‚ śł, c " R ;
c 0
Å„Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
x + y + 2t = 2
ôÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 -1
ôÅ‚ -2x - y + 3z + 3t = p
ïÅ‚ śł
.
òÅ‚
2. -3 3 -2
ïÅ‚ śł ;
y + 2z + 5t = p
ôÅ‚
ïÅ‚ śł
ôÅ‚
1 -1 1
ðÅ‚ ûÅ‚
x + z + pt = 1
ół
3. p `" 3 ;
8 1 4
4. Wyznaczyć punkt R położony symetrycznie do punktu P = ( 2, 1, 0 ) 4. ( , , ) .
3 3 3
względem płaszczyzny Ą : x - y + 2z = 3 .
Algebra liniowa 1
II kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
G6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
29
Ä„ Ä„
îÅ‚ Å‚Å‚
cos -sin
6 6
ïÅ‚ śł
1. Obliczyć .
ïÅ‚ śł
Ä„ Ä„
ïÅ‚ śł
sin cos
ðÅ‚ 6 6 ûÅ‚
2. Wyznaczyć macierz Y z warunku
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 0 1 0 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
Q-1 Å" Y Å" Q = dla Q =
1 0 0 1 1 3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 0 0 0 1 3
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Odpowiedzi do zestawu G6
3. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układ równań
3
îÅ‚
- -1 Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
2 2
Å„Å‚
x + 4y + 2z - t = 3
1.
ïÅ‚ śł;
3
ôÅ‚ 1
ïÅ‚ śł
ôÅ‚ 2x + 9y + 6z - 2t = 8 -
ðÅ‚ 2 2 ûÅ‚
.
òÅ‚
x + 2y - z - t = 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚ -3 3 -2
ôÅ‚
ïÅ‚ śł
-2x - 7y + z + 3t = -1
2. Y = -3 4 -3
ół ïÅ‚ śł;
ïÅ‚ śł
0 1 -1
ðÅ‚ ûÅ‚
4. Znalez
ć kąt między parą prostych
3. x = z = 1, y = t = 0 ;
Ä„
y + 2 Å„Å‚
3x - z + 4 = 0
x - 1 z
4. .
l1 : = = 2 oraz l2 : .
3
òÅ‚
3 -1
5x - y - z + 1 = 0
ół
Algebra liniowa 1
II kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
H6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3 0 0 1 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1. Wyznaczyć macierz B z równania B = .
0 5 1 0 1 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 6 2 0 0 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2. Obliczyć
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 -3
det ( AAT ) + det ( ATA ) dla A =
ïÅ‚ śł .
2 1 1
ðÅ‚ ûÅ‚
3. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układ równań
Odpowiedzi do zestawu H6
Å„Å‚
x + 3y + 3z = 4
ôÅ‚ 1
îÅ‚ Å‚Å‚
0 0
.
2x + 5y + 2z = 5
òÅ‚
3
ïÅ‚ śł
1
ôÅ‚
1. B = 0 -1 śł ;
3x + 7y - z = 4 ïÅ‚
ół 2 4
ïÅ‚
0 -3 5 śł
ðÅ‚ 2 4 ûÅ‚
4. Punkty A = ( 1, -5, 2 ), B = ( 0, 1, 0 ), C = ( 3, 2, 1 ) sÄ… trzema
2. 59 ;
kolejnymi wierzchołkami równoległoboku. Znalez
ć odległość czwartego
3. x = 4, y = -1, z = 1;
wierzchołka D od osi Oz.
4. 4 2 .