ALGEBRA LINIOWA 1
Wydział Mechaniczny / AiR, MT
Semestr zimowy 2007/2008
Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz
Liczby zespolone (część II)
Moduł i argument liczby zespolonej
Zadanie 10 [<"1.7] Obliczyć moduły podanych liczb zespolonych:
a) 2 + 7i; b) ( 2 - 20i ) ( 3 + 30i ); c) (1 + i )5 ;
4 - i
d) ; e) sin2 Ą + i cos2 Ą ; f) 1 - cos ą + i sin ą, gdzie ą " R .
3 4
5i - 2
Zadanie 11 Część rzeczywista liczby zespolonej z2 jest równa 5, zaś jej moduł wynosi 13. Znalez
ć z.
Zadanie 12 Naszkicować zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki::
a) z - 5 - 4i = 5; b) i z2 + z2 = 16 + 8i; c) 6z > z2 + 5;
d) z2 d" Re ( 2z ) + 3; e) z2 - i = z2 + i ; f*) z + 1 + z - 1 = 2.
Zadanie 13 [<"1.8] W oparciu o interpretację geometryczną modułu różnicy liczb zespolonych narysować
zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki:.
a) z + 5 - i = 3; b) 6 - i - z < 2; c) 2z + 3 + 2i e" 4; d) z - 2 + 3i d" 1;
3i + 4 z - 3 2z + 3 z2 + 9
e) < 1; h)
e" 5; f) e" 1; g) e" 2 ;
z - 2i 2i - z 2iz + 5 z + 3i
i) arcsin z + i > Ą ; j*) z2 - 4iz - 4 > z + 2i ; k*) z2 + 3iz - 2z - 6i e" z2 + 6iz - 9 .
6
Zadanie 14 W oparciu o interpretację geometryczną modułu różnicy liczb zespolonych znalez
ć najmniejszą
i największą wartość:
a) modułu liczby zespolonej z, jeżeli z - 4 + 3i d" 2; b) wyrażenia 2i - 3 - z , jeżeli z d" 1.
Zadanie 15 Przedstawić w postaci algebraicznej i zaznaczyć na płaszczyz
nie zespolonej wszystkie liczby
Ą Ą
zespolone z o modułach równych 1 i argumentach będących wielokrotnościami kątów a) ; b) .
4 6
Zadanie 16 Argumenty główne liczb zespolonych 3 + 2i, 2 + 3i, -3 + 2i, -2 - 3i wyrazić w zależ-
ności od arctg x dla pewnych dodatnich wartości x. Sporządzić rysunek.
Zadanie 17 [<"1.10] Dla z0 = 0 oraz z0 = 2 - i narysować zbiory (z dokładnym zaznaczeniem brzegów)
liczb zespolonych z spełniających podane warunki:
Ą
a) arg ( z - z0 ) = 7Ą ; b) arg ( z - z0 ) < 3Ą ; c) arg ( z0 - z) e" Ą; d) d" arg ( z - z0 ) < 2Ą .
6 4 3 3
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Zadanie 18 [<"1.9] Podane liczby zespolone zapisać w postaci trygonometrycznej:
a) 2 ; b) -9; c) i - 3 ; d) -5 - 5i; e) 1 + 4i; f) 2 - i.
8Ą
Zadanie 19 [<"1.9] Dla ą = 5Ą oraz ą = podane liczby zespolone zapisać w postaci trygonometrycznej:
12 9
a) sin ą + i cos ą; b) -cos ą + i sin ą; c*) 1 + cos ą - i sin ą; d*) sin ą + i ( 1 - cos ą ).
Zadanie 20 [<"1.11] Stosując wzór de Moivre'a podać w postaci algebraicznej wartości podanych wyrażeń:
5 + 7 i
a) ( 2 + 2i )10 ; b) ( 3 - i )14 ; c) ( 5 + 5 3 i )20; d) ( )21 ; e) 2007 i2007 + 2008 i2008.
1 - 6i
Zadanie 21 [<"1.11] Wyznaczyć moduły i argumenty główne podanych liczb zespolonych:
Ą
1 - i tg
( 1 - i )14 ( 3 + i )16 ( 1 + i 3 )17 ( 1 - i 3 )13
21
a) ; b) ; c) ; d) ; e) (
)7 .
Ą
1 + i tg
( 1 + i )7 ( 1 - i )28 ( 1 + i )25
( 3 - i )10
21
Zadanie 22 [1.12] Korzystając ze wzoru de Moivre'a wyrazić:
a) sin 3x przez funkcję sin x; b) cos 4x przez funkcje sin x i cos x;
c*) tg 6x przez funkcję tg x; d*) ctg 5x przez funkcję ctg x;
Zadanie 23 [1.13] Narysować zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki:
( 1 + i ) z
a) Im z3 < 0; b) Re z4 e" 0; c) Im z2 e" Re z2 ; d) Im ( 1 - i ) z e" 0.
Zadanie 24 [1.14] Obliczyć następujące sumy:
1 + i 3
1 + i 3 1 + i 3
a) 1 + ( 1 - i ) + ( 1 - i )2 + ... + ( 1 - i )9; b) )2 + ... + ( )2007 .
+ (
2 2 2
Postać wykładnicza liczby zespolonej
Zadanie 25 [<"1.15] Stosując postać wykładniczą liczby zespolonej wyznaczyć i przedstawić graficznie
zbiory liczb z spełniających podane warunki:
z5
6 4
a) z = 4i z2 ; b) z4 = z oraz z3 e" 9z ; c) z3 = i ; d) 2z z2 = ( i 3 - 1 ) z3 .
z z
Zadanie 26 [1.16] Stosując wzory Eulera wyrazić podane funkcje w postaci sum sinusów i cosinusów
wielokrotności kąta x:
a) sin2x; b) cos3x; c) sin5x; d) sin4x + cos4x.
Pierwiastkowanie liczb zespolonych
Zadanie 27 [<"1.17] Korzystając z definicji obliczyć podane pierwiastki zespolone:
3 4
a) 24 + 10i ; b) -11 + 60i ; c) -i ; d) -9 .
Zadanie 28 [<"1.18] Stosując wzór na pierwiastki zespolone wyznaczyć w postaci trygonometrycznej:
3 4
5 6
a) 2 - 2i ; b) 16i ; c) i 8 - 24 ; d) 32 + 32 3 i .
Zadanie 29 [<"1.18] W oparciu o interpretację geometryczną narysować na płaszczyz
nie zespolonej podane
pierwiastki, a następnie zapisać je w dogodnej postaci:
3 4 6
a) 1 + 3 i ; b) -8i ; c) -4 ; d) -64 .
Zadanie 30 [<"1.19] Odgadując jeden z elementów podanych pierwiastków wyznaczyć pozostałe:
4 4 3
a) ( 6 + i )4 ; b) (5 + 2i )4 ; c) ( 3 + 4i )2 ; d) ( 1 + 2i )9 .
Zadanie 31 [<"1.21] Znalez
ć rozwiązania podanych równań:
a) ( z + 2i )3 = 8z3; b) ( z + 3 )4 = ( 1 - i )12; c) ( 3 - z )4 = ( iz + 1 )4.
Teresa Jurlewicz, 15 paz
dziernika 2007