AL1 (Inżynieria Biomedyczna)
Z0
1. Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n i liczby całkowitej k " {0, 1, 2, . . . , n - 1}

n n n + 1
zachodzi: + = .
k k + 1 k + 1

n n n
2. Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n: + + . . . + = 2n.
0 1 n
n
"
1
6
3. Suma wszystkich współczynników liczbowych rozwiniÄ™cia x + " jest równa 215.Wyznaczyć
3
x
wszystkie wyrazy tego rozwinięcia, w których nie występuje x.
4. Wiadomo, że liczby x1, x2 są pierwiastkami równania x2 + bx + c = 0. Napisać równanie
1 1
kwadratowe, którego pierwiastkami sa liczby: a) , ; b) x1 + 2, x2 + 2.
x1 x2
5. Wyznaczyć wartość parametru rzeczywistego a, dla której reszta z dzielenia wielomianu
x4 + ax3 + (a + 1)2x - 120 przez dwumian x + 3 jest równa 48.
6. Wiadomo, ze liczby 1 , -3 są pierwiastkami wielomianu x3 + bx2 + cx + 6. Zapisać ten
wielomian w postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnych.
7. Zapisać wielomian w(x) = 2x3 + x2 - 2x - 6 w postaci iloczynu wielomianów nierozkła-
dalnych.
8. Wyznaczyć x " (-Ą ; Ą > taki, że
Å„Å‚
"
Å„Å‚
1 ôÅ‚
2
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
sin x = -
òÅ‚ òÅ‚
sin x =
sin x = 0
2
"
2
"
a) , b) , c) .
ôÅ‚ 3 ôÅ‚
cos x = 1
- 2
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ôÅ‚
cos x =
ół
cos x =
2
2
9. Rozwiązać równanie trygonometryczne
(a) sin 2x = - sin (3x + Ä„);
(b) cos x = - cos (x + Ä„/2);
(c) sin 2x + cos 3x = 0.