Nazwisko:.................................. Indeks:.................
Formularz testu
Nr testu: 37-070
Kurs: Algebra Liniowa z GeometriÄ…
Kod testu
Test: kolokwium-1
x x
Termin: 2007-11-23
Sala:
x
Seria: 344:2007-11-23:202
***** Nim rozpoczniesz, przepisz numer testu
***** i kod testu na formularz odpowiedzi
1. Niech F będzie zbiorem wszystkich funkcji ze zbioru [0, 1] w zbiór R (F = {f :
[0, 1] - R}). W zbiorze F definiujemy działania wewnętrzne
•" oraz ":
"f, g " F, "x " [0, 1]
(f •" g)(x) = f(x) + g(x)
(f " g)(x) = f(x) · g(x).
Wówczas
A) (F, ") jest grupÄ…
B) DziaÅ‚anie " jest rozdzielne wzglÄ™dem •"
C) Zbiór wszystkich funkcji stałych (przyjmujących stałą wartość na całym zbiorze
[0, 1]) wraz z dziaÅ‚aniem •" jest grupÄ…
D) (F, •") jest grupÄ…
E) Funkcja identycznościowa id ("x " [0, 1]id(x) = x) jest elementem neutralnym
dla działania "
2. W zbiorze liczb naturalnych wprowadzamy relacjÄ™ R ‚" N2 okreÅ›lonÄ… nastÄ™-
pujÄ…co
nRm Ð!Ò! NW D(m, n) = 1
Wskaż zdania prawdziwe
A) Relacja R jest przechodnia
B) Relacja R jest symetryczna
C) Relacja R jest zwrotna
D) Relacja R jest relacją równoważności
E) jeśli nRm to npRmk dla dowolnych p, k " N
3. Niech R ‚" [-1, 1]2 bÄ™dzie relacjÄ… takÄ…, że
"x, y " [-1, 1]
xRy Ð!Ò! x, y " [-1, 0) lub x, y " (0, 1].
Relacja R jest relacjÄ…
A) zwrotnÄ… i symetrycznÄ…
B) symetrycznÄ…
C) przechodniÄ…
D) zwrotnÄ…
E) równoważności
4. Wskaż relacje w grupie (R", ·) dla których klasami równoważnoÅ›ci sÄ… zbiory
dwuelementowe:
"x " R" [x] = {x, -x}.
A) S =<"{-1,1},
gdzie ({-1, 1}, ·) jest podgrupÄ… grupy (R", ·)
B) S =<"R+,
1
gdzie (R+, ·) jest podgrupÄ… grupy (R", ·)
C) "x, y " R" xSy Ô! x2 = y2
D) "x, y " R" xSy Ô! |x| = |y|
E) "x, y " R" xSy Ô! xy-1 > 0
5. Wskaż relacje zgodne z mnożeniem w R".
"x, y " R"
A) xSy Ô! x2 = y2
B) xSy Ô! |x| = |y|
C) xSy Ô! xy-1 > 0
D) xSy Ô! x - y " Z
E) xSy Ô! x - y " Q
6. Dla n > 2 wskaż podgrupy grupy (Sn, ·)
A) {Ã " Sn : Ã(1) = 2}
B) {Ã " Sn : sgn(Ã) = -1}
C) {Ã " Sn : Ã(1) = 1}
D) {Ã " Sn : sgn(Ã) = 1}
E) {Ã " Sn : Ã(1) = 1 lub Ã(2) = 2}
7. Dane sÄ… permutacje Ã1 = (2 4 6 8 1 3 5 7 9) , Ã2 = (1 3 5 7 9 2 4 6 8) , Ã3 =
(9 8 7 6 5 4 3 2 1) " S9. JeÅ›li dla permutacji à " S9 prawdziwa jest równość
Ã1 · Ã · Ã2 = Ã3,
to
A) sgn(Ã) = -1
B) Ã(3) = 4
C) |Ã| = 6
D) permutacja à rozkÅ‚ada siÄ™ na iloczyn dwóch niezależnych cykli, odpowiednio
rzędu 6 i 3.
E) permutacja à jest permutacją cykliczną
8. W zbiorze permutacji Sn wprowadzamy relację R określoną następująco
ÃRÄ Ð!Ò! permutacje à i Ä majÄ… wspólny cykl
Wskaż zdania prawdziwe
A) Relacja R jest zwrotna
B) "Ã " Sn i dla dowolnej liczby naturalnej k > 1 zachodzi ÃRÃk
C) Relacja R jest przechodnia
D) jeÅ›li ÃRÄ to sgn(Ã) = sgn(Ä)
E) Relacja R jest symetryczna