WYKA
AD 2
Wielomiany
Definicja 1. Funkcję f : C C określoną wzorem
df
=
w(x) anxn + an-1xn-1 + · · · + a1x + a0, gdzie a0, . . . , an = 0 " K

nazywamy wielomianem stopnia n, n " N *" {0}, o
współczynnikach ze zbioru K (K = R lub K = C).
n - stopień wielomianu - oznaczamy przez st(w).
ozn
=
R[x], C[x] zbiór wielomianów o współczynnikach rzeczywistych, odp.zespolonych.
Definicja 2. Wielomian w(x) jest nierozkładalny, jeśli nie da się przedstawić w postaci:
w(x) = w1(x) · w2(x), gdzie st(w1), st(w2) > 0.
Uwaga 1. Wielomianami nierozkładalnymi w R[x] sa wielomiany stopnia pierwszego i te wie-
lomiany stopnia drugiego, dla których " < 0.
Definicja 3. Pierwiastek wielomianu w(x) jest to taka liczba zespolona xo, że w(xo) = 0.
Twierdzenie 1. (Bezou a) Liczba zespolona zo jest pierwiastkiem wielomianu w(x) Ô! wielo-
mian w(x) jest podzielny przez (x - zo)
(tzn. w(x) = (x - zo) · w1(x), gdzie st(w1) = st(w) - 1).
Twierdzenie 2. (Zasadnicze twierdzenie algebry) Każdy wielomian stopnia n, n 1, o
współczynnikach zespolonych, ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony.
Wniosek 1. Każdy wielomian stopnia n, n 1, o współczynnikach zespolonych ma dokładnie
n pierwiastków (niekoniecznie różnych).
Wniosek 2. JeÅ›li w(x) = anxn + an-1xn-1 + · · · + a1x + a0 i x1, x2, . . . , xn sÄ… pierwiastkami tego
wielomianu, to
w(x) = an(x - x1) · (x - x2) · . . . · (x - xn)
Wniosek 3. Wielomianami nierozkładalnymi w C[x] są tylko wielomiany pierwszego stopnia.
Macierze
Definicja 4. Macierz (liczbowa) wymiaru  m na n jest to tablica prostokÄ…tna postaci
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n
ïÅ‚
a21 a22 . . . a2n śł df
ïÅ‚ śł
=
A = ïÅ‚ śł [aij]m,n
ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn
gdzie wszystkie aij " K , (K = R lub K = C);
wiersze macierzy - rzędy poziome,
kolumny macierzy - rzędy pionowe .
1
" macierz zerowa
Macierz A = [aij]m,n jest zerowa, jeśli aij = 0 dla wszystkich i,j.
" macierz kwadratowa
Macierz A = [aij]m,n jest kwadratowa, jeśli m = n. Wspólny wymiar nazywamy stopniem
tej macierzy.
" macierz jednostkowa
Macierz kwadratowa En = [eij]n jest jednostkowa, jeśli eij = 1 gdy i = j oraz eij = 0 gdy
i = j.

Definicja 5. Macierze A = [aij]m,n i B = [bij]k,l są równe, jeśli m = k, n = l oraz aij = bij dla
wszystkich i, j.
Działania na macierzach
" mnożenie przez liczby rzeczywiste
df
=
Ä… · A = Ä… · [aij]m,n [Ä… · aij]m,n ;
" dodawanie macierzy
jeśli A = [aij]m,n i B = [bij]m,n, to
df
=
A + B [aij + bij]m,n ;
" mnożenie macierzy
df
=
jeÅ›li A = [aij]m,n i B = [bij]n,r to A · B [cij]m,r, gdzie
df
=
cij ai1b1j + ai2b2j + · · · + ainbnj
Własności działań
1. A + B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C)
3. A · (B + C) = A · B + A · C
4. A · En = En · A = A, jeÅ›li A jest m. kwadratowÄ… stopnia n
5. (A · B) · C = A · (B · C)
Przy założeniu, ze odpowiednie działania są wykonalne.
2
Macierz transponowana
Definicja 6. MacierzÄ… transponowanÄ… macierzy A = [aij]m,n jest macierz
df
=
AT = [a" ]n,m, gdzie a" aji.
ij ij
Uwaga 2. 1. (AT )T = A
2. (A + B)T = AT + BT
3. (A · B)T = BT · AT
Wyznaczniki
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej stopnia n
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n
ïÅ‚
a21 a22 . . . a2n śł
ïÅ‚ śł
A = ïÅ‚ śł jest liczba rzeczywista oznaczana
ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
przez:


a11 a12 . . . a1n


a21 a22 . . . a2n

det A , |A| lub .

. . . . . . . . . . . .


an1 an2 . . . ann
df
=
Dla n = 1 i A = [a11] : det A a11;

a11 a12 df
=
dla n = 2 i A = : det A a11a22 - a12a21;
a21 a22
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 a13
ïÅ‚
dla n = 3 i A = a21 a22 a23 śł :
ðÅ‚ ûÅ‚
a31 a32 a33
df
=
det A a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 - a13a22a31 - a23a32a11 - a33a12a21.
Własności wyznaczników (sformułowane dla wierszy)
" przestawienie dwóch wierszy powoduje zmianę znaku wyznacznika;
" jeżeli w wyznaczniku występuje wiersz zerowy, to wyznacznik jest równy 0;
" jeżeli dwa wiersze są proporcjonalne, to wyznacznik jest równy 0;
" jeżeli wszystkie elementy danego wiersza zawierają wspólny czynnik, to ten czynnik można
wyłączyć przed wyznacznik;
3
" jeżeli do wiersza dodamy kombinację liniową innych wierszy, to wartość wyznacznika nie
zmieni siÄ™;
" jeżeli wszystkie elementy pod główną przekątną są równe 0, to wartość wyznacznika jest
równa iloczynowi elementów na głównej przekątnej.
Definicja 7. Dopełnieniem algebraicznym elementu aij, gdzie 1 i n i 1 j n nazywamy
wartość
df
=
Aij (-1)i+j · Mij,
gdzie Mij oznacza wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z A przez skreślenie i  tego
wiersza i j  tej kolumny.
Twierdzenie 3. Dla każdego n 2 i dowolnych 1 i n oraz 1 j n prawdziwe są wzory:
det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · · + ainAin,
det A = a1jA1j + a2jA2j + · · · + anjAnj.
4