AL1 (Inżynieria Biomedyczna)
Z4
1. Rozwiązać układ równań jednorodnych. W przykładach (a) i (b) podać układ fundamen-
talny rozwiązań.
Å„Å‚
ôÅ‚
x + 2y + 3z + w = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ x + 4y + 5z + 2w = 0
òÅ‚
(a) 2x + 9y + 8z + 3w = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x
ôÅ‚ - 2y - z - w = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
5x + 7y + 9z + 2w = 0
Å„Å‚
ôÅ‚ 3x + 4y - 5z + 7w = 0
òÅ‚
(b) 2x - 3y + 3z - 2w = 0
ôÅ‚
ół
-2x + 3y - 3z - 8w = 0
Å„Å‚
x + y - 3z = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
2x + y - 2z = 0
(c)
ôÅ‚
x + y + z = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x + 2y - 3z = 0
2. Wyznaczyć, jeśli istnieje, rozwiązanie układu równań
Å„Å‚
ôÅ‚ - 2y + 5z + 4w = 2
3x
òÅ‚
(a) 6x - 4y + 4z + 3w = 3
ôÅ‚
ół
3x - 2y - z = 1
Å„Å‚
ôÅ‚ x + 3y - w = 1
òÅ‚
(b) 3x - 5y + 2z + 4w = 2
ôÅ‚
ół
5x + 7y - 4z - 6w = 1
Å„Å‚
5x
ôÅ‚ - 3y + 2z + 4w = 3
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
4x - 2y + 3z + 7w = 1
(c)
ôÅ‚ - 6y - z - 5w = 9
8x
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
7x - 3y + 7z + 17z = 0
Å„Å‚
2x
ôÅ‚ - y + 3z = 3
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
5x - 2z = 0
(d)
ôÅ‚ - y + z = 3
4x
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
7x - y + z = 3
3. Wykazać, że
Ä„
(a) arcsin x + arccos x = dla każdego x " -1 ; 1 ;
2
Ä„
(b) arctg x + arcctg x = dla każdego x " R.
2
Podać interpretację geometryczną tych równości.
4. Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji
(a) f(x) = sin x , x " Ä„/2 ; Ä„ ;
(b) f(x) = cos 2x , x " Ä„/2 ; Ä„ .
5. Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji hiperbolicznej
(a) sh x , x " R;
(b) ch x , x " (-" ; 0 .
6. Dowieść prawdziwości równości
2 2
(a) ch x - sh x = 1;
2 2
(b) ch x + sh x = ch 2x;
(c) sh 2x = 2sh xch x;
1
2
(d) = 1 - th x.
2
ch x