WYKA
AD 3
Twierdzenie 1. (Cauchy go) Jeżeli A i B są macierzami kwadratowymi tego samego stopnia,
to
det(A · B) = det(A) · det(B).
Jeśli A = [aij]n  macierz kwadratowa stopnia n , n 1, to
macierz [Aij]n - macierz dopełnień dla macierzy A,
ozn
=
macierz [Aij]T AD macierz dołączona macierzy A.
n

AD
Uwaga 1. A · AD = AD · A = det(A) · En. (a" · A = En)
det(A)
Macierz odwrotna
Niech A i B  macierze kwadratowe stopnia n
Definicja 1. Macierz B nazywamy macierzą odwrotną do macierzy A, jeśli
A · B = B · A = En.
Macierz odwrotną do macierzy A, jeśli istnieje, oznaczamy przez A-1.
Uwaga 2. Jeżeli A-1 istnieje, to det(A) · det(A-1) = 1. Zatem, macierz odwrotna do A istnieje
Ô! det(A) = 0.

Przekształcenia elementarne Gaussa Przekształceniami elementarnymi wierszy są
" mnożenie wierszy przez stałe
" przestawianie wierszy
" dodawanie do wierszy kombinacji liniowej innych wierszy
Metoda Gaussa wyznaczania A-1:
p.el. wierszy
Ò!
A | En En | A-1
Układy równań liniowych = pierwszego stopnia
Å„Å‚
a11x1+ a12x2+ . . . +a1nxn = b1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
a21x1+ a22x2+ . . . +a2nxn = b2
Układ równań liniowych to układ postaci (") ,
ôÅ‚
. . . . . . . . . . . . . . .
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
am1x1+ am2x2+ . . . +amnxn = bm
gdzie x1, . . . , xx - niewiadome, a aij, bj " R, aij  współczynniki, bj  wyrazy wolne .
1
îÅ‚ Å‚Å‚
x1
ïÅ‚ śł
ozn x2 ozn
ïÅ‚ śł
= =
[aij] A - macierz współczynników, ïÅ‚ śł X - macierz niewiadomych,
ðÅ‚ ûÅ‚
. . .
xn
îÅ‚ Å‚Å‚
b1
ïÅ‚ śł
b2 ozn
ïÅ‚ śł
=
ïÅ‚ śł B - macierz wyrazów wolnych.
ðÅ‚ ûÅ‚
. . .
bn
Twierdzenie 2. (Cramera) Jeżeli m = n, to układ (") ma (dokładnie) jedno rozwiązanie
Ô! det(A) = 0.

Metody rozwiązania takiego układu:
det(Ai)
" wzory Cramera: xi = , gdzie Ai , i = 1, . . . , n , jest macierzą kwadratową powstałą
det(A)
z A przez zastąpienie i tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.
" metoda macierzowa: A · X = B. StÄ…d X = A-1 · B.
" metoda eliminacji Gaussa: przekształcamy elementarnie strony równania tak długo, dopó-
ki macierz współczynników po lewej stronie nie będzie macierzą trójkątną. Wyznaczamy
kolejno: xn, xn-1, . . . x1.
RzÄ…d macierzy
A  dowolna macierz prostokÄ…tna, A = [aij]m,n. Niech 1 k min (m, n).
Definicja 2. Minor k  tego rzędu macierzy A jest to wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia
k powstałej z A przez skreślenie odpowiedniej liczby wierszy i kolumn.
Definicja 3. Rząd macierzy A jest to najwyższy stopień niezerowego minora macierzy A. Rząd
macierzy A jest oznaczany przez R(A).
(in.rząd macierzy A jest równy r , r " N *" {0}, jeśli istnieje niezerowy minor stopnia r macierzy
A i każdy minor stopnia większego od r jest równy 0).
Własności rzędu macierzy
1. R(A) = 0 Ô! A jest macierzÄ… zerowÄ…,
2. R(A) min (m, n),
3. jeśli A jest macierzą kwadratową stopnia n, to
R(A) = n Ô! det(A) = 0.

2
Operacje nie zmieniające rzędu macierzy: (dla wierszy)
" wykreślenie wierszy proporcjonalnych do danego wiersza,
" przestawienie wierszy,
" dodanie do danego wiersza kombinacji liniowych innych wierszy.
3