Liczby zespolone
Postać algebraiczna liczby zespolonej
z = x + jy , x, y " R, zbiór liczb zespolonych oznaczany jest przez C.
ozn ozn
= =
x Re z - część rzeczywista liczby zespolonej z; y Im z - część urojona liczby zespolonej z.
Ważne z1 = z2 Ô! Re z1 = Re z2 '" Im z1 = Im z2.
Działania na liczbach zespolonych (dla postaci algebraicznej)
df
=
1. Ä… " R , z = x + jy " C : Ä… · (x + jy) Ä… · x + jÄ… · y  mnożenie przez liczby rzeczywiste;
df
=
2. z1 + z2 = (x1 + jy1) + (x2 + jy2) (x1 + x2) + j(y1 + y2)  dodawanie liczb zespolonych;
df
=
3. z1 · z2 = (x1 + jy1) · (x2 + jy2) (x1x2 - y1y2) + j(x1y2 + x2y1)  mnożenie liczb zespolonych;
df
=
4. z = x + jy x - jy  sprzężenie liczby zespolonej;
Ważne z · z = x2 + y2 " R+ *" {0}.
z1 df z1 · z2
=
5. z2 = 0 :  dzielenie liczb zespolonych.

z2 z2 · z2
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
"
df
=
|z| = |x + jy| x2 + y2  moduł liczby zespolonej;
x y
" "
Ć " R taka, że cos Ć = i sin Ć = - argument liczby zespolonej z(ozn.Argz).
x2 + y2 x2 + y2
Każdą liczbę zespoloną z = 0 można zapisać w postaci

z = |z|(cos Ć + j sin Ć)  postać trygonometryczna liczby zespolonej.
Ważne
1. Jeśli Ć " (-Ą; Ą , to Ć  argument główny liczby zespolonej (ozn.argz).
2. z1 = z2 Ô! |z1| = |z2| '" argz1 = argz2.
3. z1 · z2 = |z1||z2|(cos(Ć1 + Ć2) + j sin(Ć1 + Ć2)), gdy zi = |zi|(cos Ći + j sin Ći), i = 1, 2,
z1 |z1|
= (cos(Ć1 - Ć2) + j sin(Ć1 - Ć2)) gdy zi = |zi|(cos Ći + j sin Ći), i = 1, 2,i z2 = 0.

z2 |z2|
4. zn = |z|n(cos(nĆ) + j sin(nĆ)) - wzór Moivre a, gdy z = |z|(cos Ć + j sin Ć) , n " N.
Pierwiastek n  tego stopnia. n N, z liczby zespolonej z jest to każda liczba zespolona w, że
""
n
wn = z. Oznaczany jest przez z.
Ważne
"
n
1. jeśli z = 0, to dla każdej liczby naturalnej n: z = 0;
2. dla 0 = z = |z|(cosĆ + j sin Ć), n " N, istnieje n różnych pierwiastków n-tego stopnia



" Ć + 2kÄ„ Ć + 2kÄ„
n n
danych wzorami: zk = |z| cos( ) + j sin( ) , k = 0, 1 . . . , n - 1.
n n