LICZBY ZESPOLONE przygotował Grzegorz Urban
1. Sposób zapisu liczb zespolonych
z = a + iÅ" b - postać dwumianowa
z = z Å" cosÕ + isinÕ - postać trygonometryczna
( )
z = z Å"eÕi - postać wykÅ‚adnicza
gdzie:
z = a2 + b2 - moduł liczby zespolonej
Õ = arg z - argument główny liczby zespolonej - Õ " 0, 2Ä„ )
a
cosÕ = Ò! a = z cosÕ
z
b
sinÕ = Ò! b = z sinÕ
z
2. Działania na liczbach zespolonych
a) Dodawanie i odejmowanie
(a + bi)+(c + di)= (a + c)+ (b + d)i
(a + bi)-(c + di)= (a - c)+ (b - d)i
b) Mno\
enie
1° (a + bi)Å"(c + di)= ac + adi + bci + bdi2 = ac + bd(-1)+ (ad + bd)i =
= (ac + bd)+ (ad + bd)i
2° z1 Å"(cosÕ1 + isinÕ1)Å" z2 Å"(cosÕ2 + isinÕ2)= z1 Å" z2 Å"[cos(Õ1 +Õ2)+ isin(Õ1 +Õ2 )]
c) Dzielenie
a + bi a + bi c - di ac - adi + bci - bdi2 ac - bd(-1)+ (bc - ad)i
1° = Å" = = =
2 2
c + di c + di c - di c2 + d c2 + d
(ac + bd)+ (bc - ad)i ac + bd bc - ad
= = + i
2 2 2
c2 + d c2 + d c2 + d
z1 Å"(cosÕ1 + isinÕ1) z1
2° = [cos(Õ1 -Õ2 )+ isin(Õ1 -Õ2 )]
z2 Å"(cosÕ2 + isinÕ2 ) z2
d) Potęgowanie - wzór de Moivre a
n n
zn = [z Å"(cosÕ + isinÕ)] = z Å"(cosnÕ + isin nÕ)
e) Pierwiaskowanie
îÅ‚ Õ + 2kÄ„ Õ + 2kÄ„ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
n
n
z = wk = z Å"
ïÅ‚cosìÅ‚ n ÷Å‚ + isinìÅ‚ n ÷łśł dla k = 0,1,K,n -1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
LICZBY ZESPOLONE przygotował Grzegorz Urban
3. Wykresy i tabela
Funkcja y sin x
Funkcja y = sin x
1
Ä„ 3
Ä„ 3
2
2Ä„
Ä„
Ä„
2 2
2 2
-1
Funkcja y cos x
Funkcja y = cos x
1
Ä„ Ä„
3 2
3 2Ä„
Ä„
Ä„
2
2
2
2
-1
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„ 2 3 5
Õ Ä„ Ä„ Ä„
0
6 4 3 2 3 4 6
1 1
2 3 3 2
sinÕ 0 1
2 2
2 2 2 2
1 1
3 2 2 3
cosÕ -
1 0
- -
2 2
2 2 2 2
7 5 4 3 5 7 11
Õ Ä„ Ä„ Ä„ Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
Ä„
6 4 3 2 3 4 6
1 1
2 3 3 2
- -
sinÕ 0
- - -1 - -
2 2
2 2 2 2
1 1
3 2 2 3
cosÕ -
-1 - -
0
2 2
2 2 2 2