ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRI
ANALITYCZN

Zadania:
- zastosowanie wzorów redukcyjnych do obliczania wartości funkcji trygonometrycznych za pomocą kąta
ostrego; dwumian Newtona; trójkąt Pascala.
- pojęcie liczby zespolonej i jej interpretacja geometryczna; postać kartezjańska, trygonometryczna i
wykładnicza liczby zespolonej; działania na liczbach zespolonych; potęgowanie i pierwiastkowanie liczb
zespolonych; rozwiązywanie równań zmiennej zespolonej;
Literatura:
 Matematyka dla studentów studiów technicznych część I, K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow, wyd.
sp. Cyw. Autorów HELPMATH TH, A
ódz
2001
Funkcje trygonometryczne
Definicje
Funkcje trygonometryczne kÄ…ta ostrego a:
I ćwiartka
II ćwiartka
y
x Y
sin Ä… = cosÄ… =
r r
y
(x `" 0)
tgÄ… =
r y
x
IV ćwiartka
III ćwiartka
Ä…
x
ctgÄ… = (y `" 0)
y
0 x
X
Wzory podstawowe
Między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta zachodzą związki:
sin2 Ä… + cos2 Ä… =1 (jedynka trygonometryczna)
sin Ä…
tgÄ… =
cosÄ…
Ä„ 6 Ä„ 4 Ä„ 3 Ä„ 2
cosÄ…
30o 45o 60o 90o
ctgÄ… =
sin Ä…
1 2 3
sina 1
1
2 2 2
tgÄ… =
ctgÄ…
3 2 1
cosa
0
tgÄ… ctgÄ… =1
2 2 2
3
tga 1 -----
3
3
3
ctga 1 0
3
3
Funkcje podwojonego kÄ…ta
2tgÄ…
sin 2Ä… = 2sin Ä… cosÄ… =
1+ tg2Ä…
1- tg2Ä…
cos 2Ä… = cos2 Ä… - sin2 Ä… = 2cos2 Ä… -1 =1- 2sin2 Ä… =
1+ tg2Ä…
2tgÄ…
2
tg2Ä… = =
ctgÄ… - tgÄ…
1- tg2Ä…
ctg2Ä… -1 ctgÄ… - tgÄ…
ctg2Ä… = =
2ctgÄ… 2
Funkcje sumy i ró\
nicy kątów
sin(Ä… + ²) = sin Ä…cos ² + cosÄ… sin ²
sin(Ä… - ²) = sin Ä… cos ² - cosÄ… sin ²
cos(Ä… + ²) = cosÄ… cos ² - sin Ä…sin ²
1
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRI
ANALITYCZN

cos(Ä… - ²) = cosÄ… cos ² + sin Ä…sin ²
tgÄ… + tg² tgÄ…tg²
tg(Ä… + ²) = tg(Ä… - ²) =
1- tgÄ… tg² 1+ tgÄ…tg²
ctgÄ… ctg² -1 ctgÄ… ctg² +1
ctg(Ä… + ²) = ctg(Ä… - ²) =
ctgÄ… + ctg² ctg² - ctgÄ…
Sumy i ró\
nice funkcji trygonometrycznych
sin(Ä… + ²)
Ä… + ² Ä… - ² tgÄ… + tg² =
sin Ä… + sin ² = 2sin cos cosÄ… cos ²
2 2
sin(Ä… - ²)
Ä… - ² Ä… + ²
tgÄ… - tg² =
sin Ä… - sin ² = 2sin cos
cosÄ… cos ²
2 2
Ä… + ² Ä… - ²
sin(Ä… + ²)
cosÄ… + cos ² = 2cos cos
ctgÄ… + ctg² =
2 2
sin Ä… sin ²
Ä… + ² Ä… - ²
sin(Ä… - ²)
cosÄ… - cos ² = -2sin sin
ctgÄ… - ctg² =
2 2
sin Ä… sin ²
Inne własności funkcji trygonometrycznych
Funkcje trygonometryczne sÄ… okresowe. Okresem podstawowym dla funkcji sin i cos jest 360o (2p),
a dl funkcji tg i ctg 180o (p).
sin(Ä… + 2Ä„) = sinÄ… tg(Ä… + Ä„) = tgÄ…
cos(Ä… + 2Ä„) = cosÄ… ctg(Ä… + Ä„) = ctgÄ…
Funkcja cos jest funkcjÄ… parzystÄ…, czyli
cos(ą) = cos(-ą) (wykres symetryczny względem osi rzędnych)
Zaś pozostałe funkcje są nieparzyste
sin(-Ä…) = -sin(Ä…)
tg(-ą) = -tg(ą) (wykres symetryczny względem prostej y=x)
ctg(-Ä…) = -ctg(Ä…)
Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta mo\
na sprowadzić do liczenia
wartości tych funkcji dla odpowiednich kątów ostrych za pomocą wzorów redukcyjnych. Choć
wzorów tych jest wiele, mo\
na je łatwo zapamiętać znając znaki wartości funkcji trygonometrycznych
w poszczególnych ćwiartkach oraz wiedząc, \
e jeśli we wzorze występuje kąt 90o lub 270o sin
zamienia się na cos i odwrotnie, zaś tg na ctg i na odwrót.
Wzory redukcyjne do obliczania wartości funkcji trygonometrycznych za pomocą kąta
ostrego
-a 90o-a 90o+a 180o-a 180o+a 270o-a 270o+a 360o-a 360o+a
j =
Ä„ Ä„ 3Ä„ 3Ä„
- Ä… + Ä… - Ä… Ä„ + Ä… - Ä… + Ä… - Ä… 2Ä„ + Ä…
-a Ä„ 2Ä„
2 2 2 2
sinj -sina cosa cosa sina - sina - cosa - cosa - sina sina
cosj cosa sina - sina - cosa - cosa - sina sina cosa cosa
tgj -tga ctga - ctga - tga tga ctga - ctga - tga tga
ctgj -ctga tga - tga - ctga ctga tga - tga - ctga ctga
2
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRI
ANALITYCZN

Liczby zespolone
Jednostką urojoną, oznaczaną symbolem i, nazywamy liczbę spełniającą warunek i2 = -1.
Liczby postaci z = x + iy , gdzie x, y e R oraz i oznacza jednostkÄ™ urojonÄ…, nazywamy liczbami zespolonymi.
Ponadto x nazywamy częścią rzeczywistą, zaś y  częścią urojoną liczby zespolonej z i oznaczamy x = Re z,
y = Im z.
Zbiór liczb zespolonych oznaczamy przez Z (czasem C).
Powiemy, \
e dwie liczby zespolone z1 = a + i b oraz z2 = c + i d są równe, je\
eli mają takie same części
rzeczywiste oraz urojone
z1 = z2 9 a + ib = c + id 9 a = c D b = d
Sposoby przedstawiania liczb zespolonych
Postać Składniki Interpretacja geometryczna
x = Re z : część rzeczywista liczby z Liczby zespolone mo\
na interpretować
Algebraiczna
z = x + i y
jako punkty płaszczyzny (płaszczyzna
y = Im z : część urojona liczby z
(ogólna,
Gaussa). Ka\
dej liczbie zespolonej
kartezjańska)
z = x, y z : moduł liczby zespolonej z = x + i y
( )
z = x + i y odpowiada dokładnie jeden
(inaczej wartość bezwzględna liczby
punkt o współrzędnych (x,y)
zespolonej) to długość wektora
Wykładnicza z = z eiĆ
zaczepionego w początku układu
Y
z = x + iy
współrzędnych i o końcu w punkcie
= x, y
( )
y
odpowiadającym liczbie z. Właściwości
z
modułu:
Ć
z1Å" z2 = z1 z2
x
0
X
z1
z1
Gdzie
z2 = , je\
eli z2 `" 0
z2
x
Å„Å‚
z1 + z2 d" z1 + z2
cosĆ =
ôÅ‚
z
òÅ‚
z = z cosĆ + isinĆ y
Trygonometryczna ( )
ôÅ‚sinĆ =
z
ół
Ć = arg z : argument liczby zespolonej
z = x + i y, z `" 0, to kÄ…t jaki tworzy w.w. z = x2 + y2
y
Ć = arc tg (x `" 0)
wektor z osią rzeczywistą. Jeśli
x
j e  0;2pÚ to nazywamy go
argumentem głównym liczby z. Liczba
z=0 nie ma argumentu.
Działania na liczbach zespolonych
dodawanie, (a + i b) + (c + i d) = (a + c) + (b + d) i
odejmowanie, (a + i b) - (c + i d) = (a - c) + (b - d) i
mno\
enie, (a + i b) ÿ (c + i d) = (a c  b d) + (a d + b c) i
z1z2 = z1 z2 cos Ć1 + Ć2 + isin Ć1 + Ć2
( ( ) ( )
)
a + ib ac + bd bc - ad
= + i (c + id `" 0)
dzielenie (z wyjÄ…tkiem dzielenia przez zero),
2 2
c + id
c2 + d c2 + d
3
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRI
ANALITYCZN

z1
z1
= cos Ć1 - Ć2 + isin Ć1 - Ć2
( ( ) ( )
)
z2
z2
n
potęgowanie liczby zespolonej zn = z cos nĆ + isin nĆ , z `" 0 wzór de Moivre a
( )
Ć + 2kĄ Ć + 2kĄ
n
n
z = z cos + isin k = 0,1,2,...,n -1
pierwiastkowanie
( )
n n
(n pierwiastków n-tego stopnia z liczby zespolonej z)
(Uwaga podstawowe tw. algebry: Ka\
dy wielomian n-tego stopnia o współczynnikach całkowitych
(z)
W = anzn + an-1zn-1 + ... + a2z2 + a1z + a0, ( z,an,an-1,...,a0 "! (l.całkowite) oraz an `" 0 ) ma dokładnie n
(z)
pierwiastków zespolonych takich, \
e W = an z - z1 Å" z - z2 Å" z - z3 Å"...Å" z - zn )
( ) ( ) ( ) ( )
SprzÄ™\
enie zespolone
Liczbę zespoloną z = a - ib = z cosĆ - isinĆ nazywamy sprzę\
onÄ… z liczbÄ… z = a - ib.
( )
Własności sprzę\
enia:
2 2
(z )
z z = z = z = a2 + b2 = z z1 + z2 = z1 + z2 z1 - z2 = z1 - z2
z1 z1
ëÅ‚ öÅ‚
z1 Å" z2 = z1Å" z2
ìÅ‚ ÷Å‚
z2 = z2
íÅ‚ Å‚Å‚
z = z Ô! Im z = 0
2 2
z + z = 2Re z = 2a z - z = 2iIm z = 2ib z z = z = z = a2 + b2 z = z
Wa\
niejsze relacje
(cosb )
ea+ib = eaeib = ea + isinb eiĄ +1 = 0 (równanie Eulera)
eiĆ = cosĆ + isinĆ
eiĆ - e-iĆ oraz cosĆ = eiĆ + e-iĆ
fl sinĆ =
2i 2
e-iĆ = cosĆ - isinĆ
Przykłady:
1
(210 ) (180 )
1) sin = sin + 30 = -sin30 = -
2
(90 )
tg135 = tg + 45 = -ctg45 = -1
3
(330 ) (360 )
cos690 = cos + 360 = cos330 = cos - 30 = cos30 =
2
2) z = 2 - 2i czyli z = (2,-2)
stÄ…d Re z = 2 Im z = -2
Y
(-2
)2
modół liczby z : z = 22 + = 4 + 4 = 8 = 2 2
x 1
Å„Å‚cos =
2
Ć =
ôÅ‚
z 2
ôÅ‚
7Ä„
Ô! Ć = Ć X
òÅ‚
y 4
1
ôÅ‚sinĆ = = -
z 2
ôÅ‚
ół
-2
z = 2 - 2i
7Ä„ 7Ä„
postać trygonometryczna liczby z : z = 2 2 cos + isin
( )
4 4
n
7Ä„ 7Ä„
( )
zn = 2 2 cosn + isin n
( )
4 4
(cos7Ä„ )
np : z4 = 64 + isin7Ä„ = -64
4
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRI
ANALITYCZN

3)
x2 + 2x + 4 = 0
" = 4 -16 = -10 = 10i2 < 0 Ò! " = i 10
Y
-2 Ä… -10 10
x = = -1Ä… i
2 2
********************************** Ć
rozwa\
ajÄ…c z = -10 szukamy z
z = -10 X
z = 10 Õ = Ä„
Ä„ Ä„
z0 = 10 cos + isin = i 10
( )
2 2
3Ä„ 3Ä„
z1 = 10 cos + isin = -i 10
( )
2 2
5