Liczby zespolone
j2 = -1
Liczby zespolone
Niech
C = {x + yj; x " R, y " R}
Wprowadzamy w zbiorze C działania
(Å")
(•")
dodawania i mnożenia :
(x + yj)•" (x'+ y' j) = (x + x') •" (y + y') j
(1)
(2)
(x + yj)Å"(x'+ y' j) = (xx'- yy')+ (xy'+x' y) j
(x + yj),(x'+ y' j)"C
dla dowolnych
Twierdzenie 1
Å"
Zbiór C z działaniami i określonymi wzorami (1) i (2) oraz z
•"
wyróżnionym elementem neutralnym dodawania i
neutralnym mnożenia jest ciałem.
Ciało to nazywamy ciałem liczb zespolonych.
Dowód polega na sprawdzeniu, że spełnione są aksjomaty teorii ciał.
-Przemienność i łączność dodawania wynika z przemienności i łączności
dodawania liczb rzeczywistych.
-Elementem neutralnym dodawania jest 0+0j.
z = x + yj
- z = -x - yj
-Elementem przeciwnym do jest .
(odejmowanie to dodawanie liczby przeciwnej)
•"
UWAGA: Zamiast będziemy pisać +.
- Przemienność i łączność mnożenia wynika przemienności
i łączności mnożenia liczb rzeczywistych.
- Elementem neutralnym mnożenia jest 1+0j.
- Elementem odwrotnym do z=x+yj `" 0+0j
x - y
z-1 = + j
jest
x2 + y2 x2 + y2
(student potrafi to udowodnić)
- Rozdzielność mnożenia względem dodawania wynika z
rozdzielności mnożenia względem dodawania dla liczb
rzeczywistych.
(dzielenie to mnożenie przez liczbę odwrotną)
Sposoby przedstawienia liczby zespolonej z = x + yj
z = (x, y)
1. postać algebraiczna
x y
liczby rzeczywiste i nazywamy odpowiednio częścią
z
rzeczywistÄ… i urojonÄ… liczby zespolonej i oznaczamy:
x = Re z y = Im z
2. postać (interpretacja) geometryczna
punkt płaszczyzny o odciętej x i rzędnej y, lub wektor [x, y]
oś OX (części rzeczywistych) nazywamy osią rzeczywistą,
oś OY (części urojonych) nazywamy osią urojoną,
zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, reprezentujących
liczby zespolone nazywamy płaszczyzną zespoloną.
3. postać trygonometryczna z = r(cosÕ + j sinÕ) , (z `" 0)
ozn
r = x2 + y2 = z
nazywamy modułem liczby z
Õ
jest liczbą rzeczywistą spełniającą układ równań:
Å„Å‚cosÕ = x
ôÅ‚
r
òÅ‚
y
ôÅ‚
sinÕ =
ół
r
Õ
Każdą liczbę
spełniającą powyższy układ nazywamy
arg z
argumentem liczby z i oznaczamy
Jeżeli argument Õ " (0,2Ä„ )
Arg z
to nazywamy go argumentem głównym i oznaczamy
jÕ
4. Postać wykładnicza
z = re
Õ
gdzie argumentem liczby
jest modułem, a
r
z
Z rozwiniÄ™cia w szereg Taylora (Maclaurina) funkcji eÕ , sinÕ, cosÕ
(będzie w drugim semestrze)
ëÅ‚ Õ2 Õ4 Õ6 öÅ‚ ëÅ‚ Õ3 Õ5 Õ7 öÅ‚
jÕ
e = 1- + - + ... + j Õ - + - + ... =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2! 4! 6! 3! 5! 7!
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
= cosÕ + jsinÕ
i po przemnożeniu przez r mamy:
jÕ
re = r[cosÕ + j sinÕ]
jÕ
Z powyższego wynika, że funkcja jest
e
okresowa i ma okres równy
2Ä„
Definicja
LiczbÄ™ z = x - yj
nazywamy liczbą sprzężoną do z = x + yj
Wnioski
2
z Å" z = z
z = z
Arg z = 2Ä„ - Arg z
z Ä… z = z Ä… z
1 2 1 2
z1 Å" z2 = z1 Å" z2
z1 z1
z2 = z2
Interpretacja geometryczna dodawania, odejmowania, mnożenia i
dzielenia liczb zespolonych
- dodawaniu dwóch liczb odpowiada dodawanie geometryczne
wektorów reprezentujących te liczby
- odejmowaniu dwóch liczb odpowiada odejmowanie geometryczne
wektorów reprezentujących te liczby
- mnożeniu dwóch liczb odpowiada mnożenie modułów tych liczb
i dodawanie ich argumentów, to znaczy
z1 Å" z2 = z1 z2 , arg(z1 Å" z2 ) = arg z1 + arg z2
- dzieleniu dwóch liczb odpowiada dzielenie modułów tych liczb
i odejmowanie ich argumentów, to znaczy
z1
z1 ëÅ‚ z1 öÅ‚
= , argìÅ‚ ÷Å‚ = arg z1 - arg z2
ìÅ‚
z2 z2 z2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Przykład
Przedstawić w postaciach 1- 4 następujące liczby zespolone:
1)
z1 = 1- 3 j
2)
z2 = -5 - 5 j
3)
z1 + z2
(tylko postaci 1,2)
4)
z1 - z2
(tylko postaci 1,2)
5)
z1 Å" z2
z1
6)
z2
POT
GOWANIE LICZB ZESPOLONYCH
Twierdzenie 2 (wzór de Moivre a (1667-1754))
Jeżeli
z = r[cosÕ + j sinÕ]
to dla dowolnego n " N
n
zn = r [cos(nÕ)+ j sin(nÕ)]
Dowód: indukcja względem n
1Ú (sprawdzenie dla n=1) Oczywiste jest, że wzór jest prawdziwy dla n=1
2Ú (zaÅ‚ożenie indukcyjne) ZakÅ‚adamy, że
n
zn = r [cos(nÕ)+ j sin(nÕ)]
3Ú (teza) Pokażemy, że
n+1
zn+1 = r [cos((n +1)Õ)+ j sin((n +1)Õ)]
dowód tezy:
zal. ind.
zn+1 = zn Å" z = rn[cos(nÕ)+ jsin(nÕ)]Å" r[cosÕ + jsinÕ]=
= rn+1[cos(nÕ)cosÕ +cos(nÕ)jsinÕ + jsin(nÕ)cosÕ + jsin(nÕ)jsinÕ]=
= rn+1[(cos(nÕ)cosÕ -sin(nÕ)sinÕ)+ j(cos(nÕ)sinÕ +sin(nÕ)cosÕ)]=
= rn+1[cos((n +1)Õ)+ j sin((n +1)Õ)]
c.n.d.
Przykład
( 3 - j)7
Przedstawić w postaciach 1- 4 liczbę
z =
(- 2 - 2 j)5
Twierdzenie 3
Jeżeli
z = r[cosÕ + jsinÕ], z `" 0, n " N
to istnieje n różnych pierwiastków n-tego stopnia z liczby z
danych wzorem:
îÅ‚cosÕ + 2kÄ„ + j sin Õ + 2kÄ„ Å‚Å‚
n
zk = r ,
ïÅ‚ śł
n n
ðÅ‚ ûÅ‚
k = 0,1, 2, ..., n -1
Dowód gimnastyczny :&.
n
n
Uwaga: sÄ… liczbami rzeczywistymi
r, r
Przykład
x6 + (8 - j)x3 - 8 j = 0
Rozwiązać równania
z4 +16 = 0,