Chemia - Zestaw nr 1. Liczby zespolone.
z = x + i y  liczba zespolona ;
x = Rez  część rzeczywista liczby z; y = Imz  część urojona liczby z

z = x - i y  liczba sprzężona do liczby z; |z| = x2 + y2  moduł liczby zespolonej z.
1. Jeżeli liczbę z = x + i y interpretujemy jako punkt na płaszczyżnie o współrzędnych (x, y), to |z| jest
odległością tego punktu od punktu (0, 0). Uwaga: zz = |z|2 (iloczyn liczb zespolonych  zobacz niżej)
Å»
2. Argumentem liczby zespolonej z = x + i y = 0 nazywamy kÄ…t Õ (okreÅ›lony z dokÅ‚adnoÅ›ciÄ… do

wielokrotności 2Ą), jaki tworzy promień wodzący punktu z = (x, y) z dodatnim kierunkiem osi Ox.
Jeżeli zaÅ‚ożymy że 0 Õ < 2Ä„, to Õ nazywamy argumentem głównym liczby z (oznaczamy Õ = argz -
[maÅ‚e a]). JeÅ›li Õ jest argumentem liczby z, to liczba ¸ = Õ + 2kÄ„ (k = 1, 2, ...) także jest argumentem
liczby z (oznaczamy ¸ = Argz  przez duże A). Liczbie z = 0 nie przypisujemy żadnego argumentu.
3. z = r(cos Õ + i sin Õ)  postać trygonometryczna liczby zespolonej, r = |z|, cos Õ = x/r, sin Õ = y/r
(te warunki wyznaczajÄ… kÄ…t Õ = Argz z dokÅ‚adnoÅ›ciÄ… do wielokrotnoÅ›ci 2Ä„). [Uwaga: Przytaczany
y
niekiedy wzór Õ = arc tg (dla x = 0) nie jest prawdziwy ogólnie  dlaczego?]

x
Niech z1 = x1 + i y1 oraz z2 = x2 + i y2.
1. Suma (różnica) liczb zespolonych: z1 ą z2 = (x1 ą x2) + (y1 ą y2)i.
2. Iloczyn liczb zespolonych: Liczby zespolone mnożymy tak jak wielomiany, pamiętając, że i2 = -1.
Tak więc z1z2 = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + x2y1) (w istocie - nie ma potrzeby zapamiętywania tego wzoru).
z1 z1 · z2 x1x2 + y1y2 x2y1 - x1y2
Å»
3. Dzielenie liczb zespolonych: = = + i
2 2
z2 z2 · z2 x2 + y2 x2 + y2
Å»
2 2
Po wymnożeniu licznika i podzieleniu przez mianownik, który jest liczbą rzeczywistą otrzymujemy wynik
dzielenia.
4. Interpretacja geometryczna mnożenia i dzielenia liczb zespolonych Jeżeli liczby dane są w
postaci trygonometrycznej, tzn. zk = rk(cos Õk + i sin Õk), k = 1, 2, to wtedy z1z2 = r1r2(cos(Õ1 +
z1 r1
Õ2) + i sin(Õ1 + Õ2)) oraz = (cos(Õ1 - Õ2) + i sin(Õ1 - Õ2)) {Tak wiÄ™c przy mnożeniu (dzieleniu)
z2 r2
liczb zespolonych, ich moduły mnożą (dzielą) się przez siebie, a argumenty dodają (odejmują)}. W
szczególności, |z1z2| = |z1| |z2|, |z1/z2| = |z1| / |z2|.
5. Wzór Moivre a: JeÅ›li z = r(cos Õ+i sin Õ), to zn = rn(cos nÕ+i sin nÕ) (n = 1, 2, ...). W szczególnoÅ›ci,
|zn| = |z|n.
6. Związki między działaniami na liczbach zespolonych a braniem sprzężenia:

z1 z1
(z1 Ä… z2) = z1 Ä… z2; (z1z2) = z1 z2; = ; (zn) = zn.
z2 z2
n
7. Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby w nazywamy dowolną liczbę zk, spełniającą równanie zk = w.
"
n
Zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z liczby w oznaczamy przez w. Dla dowolnej liczby zespolonej
w = 0 istnieje dokładnie n różnych pierwiastków zespolonych n tego stopnia z w. Mianowicie, jeżeli


" Õ + 2kÄ„ Õ + 2kÄ„
n
w = r(cos Õ + i sin Õ), to zk = r cos + i sin , k = 0, 1, ..., n - 1. W szczególnoÅ›ci,
n n
wszystkie pierwiastki n tego stopnia z danej liczby zespolonej w leżą w wierzchołkach pewnego n kąta

n
foremnego wpisanego w koło o promieniu |w| (jeden z tych wierzchołków odpowiada jednej n-tej
argumentu liczby pierwiastkowanej w).
8. Zasadnicze twierdzenie algebry: Każdy wielomian stopnia n e" 1 o współczynnikach zespolonych
posiada (przynajmniej jeden) pierwiastek zespolony.
9. Wniosek: Każdy wielomian stopnia n o współczynnikach zespolonych posiada dokładnie n (zespolo-
nych) pierwiastków, licząc krotności  i (nad ciałem liczb zespolonych) rozkłada się na czynniki liniowe.
1
10. Własność wielomianów o współczynnikach rzeczywistych: Jeżeli W jest wielomianem o współ-
czynnikach rzeczywistych i z = a + bi jest jego pierwiastkiem nierzeczywistym tzn. o części urojonej
b = 0, to liczba z = a - bi sprzężona do z jest również pierwiastkiem tego wielomianu, i to o tej samej

krotności co z.
11. Wniosek: Wielomian W (x) o współczynnikach rzeczywistych rozkłada się nad ciałem liczb rzeczywi-
stych na pewną ilość czynników liniowych (x - a) (odpowiadających rzeczywistym pierwiastkom a tego
wielomianu) i pewną ilość trójmianów kwadratowych (x - a - bi)(x - a + bi) = (x2 - 2ax + (a2 + b2))
o ujemnym wyróżniku, odpowiadających parom nierzeczywistych sprzężonych pierwiastków a ą bi tego
wielomianu.
3
z1 z1 1 - 2i
2
1) Obliczyć: a) z1 + z2, 2z1 + 3z2, z1z2, z1z2, , , gdzie z1 = 2 - 3i, z2 = -1 - 2i; b) Re ; c)
2
z2 z2 2 + 3i
2
1
Im(3 - i)2(2 + i); d) Re .
-3 + i
" "
2) Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby zespolone: a) 1 + i 3; b) -1 + i; c) 2i + 2; d) 3 - i;
e) 1 - i; f) -i; g) -1; h) i; i) sin Õ + i cos Õ j) (cos Õ - 1) + i sin Õ (Wsk.: wyrazić poprzez funkcje kÄ…ta Õ/2).
" " "
(1 + i)10 (2 + i)2 (1 + 2i)3
3) Policzyć (1 - i 3)6, (1 - i 3)25, " , + ; -9 + 40i (ogólnie, por. zad. 8).
(1 - 2i)3 (2 - i)2
1 - i 3
4) Rozwiązać w liczbach zespolonych równania (kwadratowe i dwukwadratowe): a) (1 + i)z2 - (6 + 2i)z +
14 - 2i = 0; b) (1 + i)z2 - (4 + 2i)z + 7 + i = 0; c) z2 - 2z + 2 = 0; d) z4 + z2 + 1 = 0; e) z2 + z - i + 1 = 0; f)
z2 -(1+i)z -2-i = 0; g) z2 +(3i-1)z -(i+2) = 0; h) z2 +(2-4i)z -11+2i = 0; i) z2 -(1+i)z +2+2i = 0;
j) iz2 - (1i)z + 2 + 2i = 0.
" " " " " " " " "
3 3 4 6 8 12
4 6 8
5) Obliczyć 1, i, 1, -1, 1, -1, 1, -1 (zastosować wzory połówkowe i symetrię), 1,

"
4
-8 + 8 3 i
" "
6) Rozwiązać równania: a) z3 + 1 = 0; b) z4 + 4 + 4i 3 = 0; c) 8 2z3 + 1 - i = 0.
7) Na płaszczyz
nie zespolonej naszkicować zbiór wszystkich liczb spełniających podane warunki:
1
a) |z - i| < 4, 0 < arg z < Ä„ b) |2z + 3| > 4
2
1 3
c) |z|2 Re z + Im z, - Ä„ < arg z < Ä„ d) |z + 1 - i| < 2
4 4
1 1
e) |z - 4| > |z| f) |z| > 2, |z| < 3, Ä„ < arg z < Ä„
4 2
8) Podać geometryczną interpretację następujących zbiorów liczb zespolonych:

z + 1 3
a) {z " C : Im(z4) 0} b) z " C : arg = Ä„
i 2

4i - 3
1 z(1 + i) 1

c) z " C : Ä„ arg Ä„ d) z " C : > 1
3i - z
-1 + i 3
6
z - 1

e) z " C : > 1, arg z < Ä„ f) {z " C : |z - 1| = Re(z + 1)}

z - i
9) Wyrazić cos 5Õ oraz sin 5Õ za pomocÄ… sin Õ i cos Õ. (Wskazówka: rozważyć z = cos Õ+i sin Õ, skorzystać
ze wzoru Moivre a na z5, a także z dwumianu Newtona i ew. trójkąta Pascala, aby otrzymać rozwinięcie piątej
potęgi sumy dwóch wyrażeń).
10) Wykazać metodą algebraiczną (tzn. rozwiązując odpowiednie równanie dwukwadratowe) lub try-
gonometryczną (stosując wzory połówkowe), że dwa zespolone pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej


r + a r - a
w = a + b i, czyli rozwiÄ…zania równania z2 = w wyrażajÄ… siÄ™ wzorem z = Ä… + µ i , gdzie
2 2
"
r = |w| = a2 + b2 oraz µ = +1 gdy b 0, zaÅ› µ = -1 gdy b < 0.
11*) (Gwiazdką będą oznaczane zadania wykracza poza podstawowy materiał, tylko dla chętnych) Korzy-
stając ze wzoru na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego, znalez
ć wzory na Cn = cos x + cos 2x + ... + cos nx
oraz Sn = sin x+sin 2x+. . .+sin nx (wsk.: z = cos x+i sin x; obliczyć Cn +iSn = z +z2 +. . .+zn i wyodrębnić
część rzeczywistą i część urojoną tego wyrażenia). Uwaga. Dla ułatwienia rachunków można doprowadzić z -1
oraz zn+1 - z = z(zn - 1) do postaci zbliżonej do trygonometrycznej.
12) Wykazać prawdziwość tożsamości (dla dowolnych liczb zespolonych z1, z2):

a) |z1 + z2|2 +|z1 - z2|2 = 2 |z1|2 + |z2|2 (jest to szczególny - w przypadku liczb zespolonych - przypadek
tzw. reguły równoległoboku, prawdziwej dla normy zdefiniowanej jako pierwiastek kwadratowy z iloczynu
skalarnego wektora przez siebie);
2
b) |1 + z1z2|2 + |z1 - z2|2 = (1 + |z1|2)(1 + |z2|2)
Å»
c) |1 z1z2|2 - |z1 z2|2 = (1 - |z1|2)(1 - |z2|2)
- Å» 2- 2
z1(1 z1(1
d*) + |z2|2) - + |z2|2) = |z1 - z2|2 - (z1z2 - z1z2)2 (dosyć żmudne);
Å» Å»
we wszystkich przypadkach korzystać = uk
.
"intensywnie z tego, że |u|2
3
13) Obliczyć wszystkie wartości 1 + i (wsk.: wykorzystać wzory połówkowe, fakt, że


"
a + c a - c
(17/12)Ą = (18/12)Ą - (1/12)Ą = (3/2)Ą - (1/12)Ą oraz tożsamości a ą b = ą , gdzie
2 2
c2 = a2 - b i c > 0).
14) Rozwiązać równanie:
i - 1 1 z + 1
a) = b) = i + 1 c) 2z2z = (1 + i)|z|2
Å»
z - i z z
Å» Å»
15) Wiedząc, że podana liczba jest pierwiastkiem podanego wielomianu, znalez
ć jego pozostałe pierwiastki
i podać rozkład tego wielomianu na czynniki nierozkładalne (i) nad ciałem liczb zespolonych C; (ii) nad ciałem
liczb rzeczywistych R  jeżeli
a) w(z) = z4 + 11z2 + + 50, z1 1 + 3i;
"10z "= "
b) w(z) = z3 - (2 + 3)z2 + 2(1 + 3)x - 2 3, z1 = 1 - i;
c) w(z) = z4 - z3 + z2 + 9z - 10, z1 = 1 + 2i;
d) w(z) = z4 - 7z2 + 28z + 8, z1 = 2 - 2i.
16* a) (j.w.) Rozkładając wielomian x2n+1 - 1 na czynniki rzeczywiste, obliczyć iloczyn

n

kĄ
x2 - 2x cos + 1 .
2n + 1
k=1
b) Rozkładając wielomian x2n + 1 na czynniki rzeczywiste, obliczyć iloczyn

n-1

(2k + 1)Ä„
x2 - 2x cos + 1 .
2n
k=1
n
1 + iz
17*) Znalez
ć wszystkie zespolone rozwiązania równania = 1.
1 - iz
18*) a)Znalez
ć wszystkie zespolone pierwiastki stopnia 5 z jedynki, rozwiązując równanie z4 + z3 + z2 +
1
z + 1 = 0, po podzieleniu przez z2, za pomocÄ… podstawienia z + = w. Znalez
ć także pierwiastki 5 stopnia
z
z liczb -1, i oraz -i. b) J.w., korzystajÄ…c z tego, że 3 · 72 = 360 - 2 · 72, sin 3x = 3 sin x - 4 sin3 x.
19) Rozwiązać w ciele liczb zespolonych równanie:
" "
a) (z2 + 1)2 - (z2 - 1)2 = 4(1 + 2 2i) b) (z2 + 1)2 - (z2 - 1)2 = 4(1 + 3i).
20) Rozwiązać w liczbach zespolonych równanie z4 = - i)4.
(1 n
2Ä„ 2Ä„
21) Obliczyć wszystkie możliwe wartości wyrażenia: 1 + cos + i sin .
3 3
22) Rozwiązać w ciele liczb zespolonych równanie (z + 2)3 - (z + 1)3 - 9z = 4.
23) Rozwiązać w ciele liczb zespolonych równanie (z + 1)2 + (z - 1)2 = 2(2 + i).
24) Rozwiązać w ciele liczb zespolonych równanie z = z3.


"
(1 + 3i)7 (-1 + i)26
6
6
25) Obliczyć pierwiastki " ; " .
( 3 - i)4 ( 3 - i)9
26) Obliczyć wszystkie zespolone pierwiastki równania z5 = z.
z2
27) Niech z, w będą liczbami zespolonymi takimi, że |z - w| = |z + w|, w = 0. Pokazać, że jest liczbą

w2
rzeczywistÄ….
3