Wyznaczniki
�ł łł
a11 a12 . . . a1n
�ł
a21 a22 . . . a2n śł
�ł śł
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej stopnia n A = �ł śł jest liczba rzeczy-
�ł �ł
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann


a11 a12 . . . a1n


a21 a22 . . . a2n

wista oznaczana przez: det A , |A| lub .

. . . . . . . . . . . .


an1 an2 . . . ann
df
=
Dla n = 1 i A = [a11] : det A a11;
�ł łł

a11 a12 a13
a11 a12 df
�ł
=
dla n = 2 i A = : det A a11a22 - a12a21; dla n = 3 i A = a21 a22 a23 śł :
�ł �ł
a21 a22
a31 a32 a33
df
=
det A a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 - a13a22a31 - a23a32a11 - a33a12a21.
Własności wyznaczników (sformułowane dla wierszy)
1. przestawienie dwóch wierszy powoduje zmianę znaku wyznacznika;
2. jeżeli w wyznaczniku występuje wiersz zerowy, to wyznacznik jest równy 0;
3. jeżeli dwa wiersze są proporcjonalne, to wyznacznik jest równy 0;
4. jeżeli wszystkie elementy danego wiersza zawierają wspólny czynnik, to ten czynnik można
wyłączyć przed wyznacznik;
5. jeżeli do wiersza dodamy kombinację liniową innych wierszy, to wartość wyznacznika nie
zmieni się;
6. jeżeli wszystkie elementy pod główną przekątną są równe 0, to wartość wyznacznika jest
równa iloczynowi elementów na głównej przekątnej.
Wyznacznik macierzy A stopnia n 3 najlepiej obliczać ze wzorów
det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + � � � + ainAin lub det A = a1jA1j + a2jA2j + � � � + anjAnj,
prawdziwych dla dowolnego 1 i n i dla dowolnego 1 j n.
df
=
Aij (-1)i+jMij nazywane jest dopełnieniem algebraicznym elementu aij;
Mij oznacza wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z A przez skreślenie i  tego wiersza i
j  tej kolumny.