Algebra liniowa 1
II kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
I6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Zbadać, czy równość A2 - B2 = ( A + B ) ( A - B ) jest spełniona
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 2 1
dla macierzy A = , B = .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
3 1 0 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
6 9 4 3 8
9 0 6 0 0
2. Metodą rozwinięć Laplace'a obliczyć wyznacznik .
4 2 5 0 7
2 0 7 0 1
8 0 5 0 0
3. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układ równań
Å„Å‚
y + z + t = 0
ôÅ‚
ôÅ‚ x + z + t = 6
.
òÅ‚
Odpowiedzi do zestawu I6
x + y + t = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
x + y + z = 0
ół
1. Równość nie jest spełniona;
2. -18 .
4. Obliczyć pole trójkąta ograniczonego prostymi
3. x = z = t = 2, y = -4 .
k : x = y = -z,
4. 1 42 .
l : x = 3 + t, y = 2, z = -7 - 5t, t " R,
2
m : x = 1, y = 3 - s, z = 7 - 4s, s " R.
Algebra liniowa 1
II kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
J6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Wyznaczyć macierz A z warunku
T
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 0 1 2 0 0 5
Å" Å" A =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł .
0 1 2 0 1 2 0 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 4 4 4
3 0 3 3
2. Obliczyć wyznacznik .
2 2 0 2
1 1 1 0
3. Rozwiązać podany układ równań wykorzystując wzory Cramera
Odpowiedzi do zestawu J6
Å„Å‚
2x + y + 2z = 1
ôÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
0 1
.
2x
òÅ‚ - 2y + 3z = 0
1.
ïÅ‚ śł .
ôÅ‚
0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
x - 3y + 4z = 3
ół
2. -72 .
3. x = -2, y = 1, z = 2 .
4. Obliczyć objętość czworościanu ograniczonego płaszczyznami
8
4. .
3
Ä„1 : x + 2y - z = 3, Ä„2 : x + z = 1, Ä„3 : y = 1, Ä„4 : x = 3 .
Algebra liniowa 1
II kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
K6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Wyznaczyć wszystkie macierze Y z równania
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 -1 -1 1
Y Å" = Å" Y .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
-1 0 -1 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 3 0 5
1 5 -2 9
2. Obliczyć wyznacznik .
2 5 4 17
3 10 1 24
3. Stosując metodę macierzy odwrotnej rozwiązać układ równań
Å„Å‚
x + y = 6
Odpowiedzi do zestawu K6
ôÅ‚
..
x - z = 8
òÅ‚
ôÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
c + d c + 2d
x - 3y + z = -1
ół
1. .
ïÅ‚ śł, c, d " R .
c d
ðÅ‚ ûÅ‚
4. Obliczyć pole powierzchni i objętość równoległościanu rozpiętego na
2. 6 .
wektorach
3. x = 5, y = 1, z = -3 .

4. pole powierzchni 6 + 2 29 + 2 14 , objętość 1 .
u = ( 0, 1, 2 ), v = ( 1, 0, 2 ), w = ( -2, 1, -1 ) .
Algebra liniowa 1
II kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma
L6
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
3
îÅ‚ 1 Å‚Å‚
-
ïÅ‚ śł
2 2
1. Obliczyć macierz B2 + B11 dla B = .
ïÅ‚ śł
3
1
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 2 2 ûÅ‚
-1
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0 1
ïÅ‚ śł
0 2 0 2
ïÅ‚ śł
2. Obliczyć macierz .
ïÅ‚ śł
Odpowiedzi do zestawu L6
ïÅ‚ 0 0 3 3 śł
ïÅ‚ śł
0 0 0 4
ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
0 0
1.
ïÅ‚ śł ;
3. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układ równań
0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
Å„Å‚
x + 3y - z + 2t = 3
îÅ‚
1 0 0 -1 Å‚Å‚
4
ôÅ‚
ïÅ‚ śł
1
ôÅ‚ 2x + 9y - 5z + 10t = 6
0 0 -1 śł
ïÅ‚
.
òÅ‚ 2 4
2. ;
ïÅ‚ śł
-x - 3y + z + 3t = -8
1
ôÅ‚
ôÅ‚ 0 0 -1 śł
ïÅ‚
3 4
3x + 7y + z + 6t = 5
ïÅ‚ śł
ół 1
0 0 0
ðÅ‚ 4 ûÅ‚
4. Napisać równanie ogólne płaszczyzny zawierającej prostą
3. x = t = -1, y = 2, z = 0 ;
k : x - 2y + z = 0, x + y - 2z = 3 oraz punkt Q = ( 4, 3, 1 ) .
4. x - y - 1 = 0 .